1044
.pdfdw |
d2w . |
t |
\ i |
\ |
(5.26) |
"a |
|
w(‘k.*.y)-v(tw ,x.y). |
|||
В задаче (5.25) начальным условием на отрезке [tb,tk+l] для функции v(t,x,y) выступает известное решение u(tk,x,y); в задаче (5.26) начальным условием для w(t,x,y) на том же отрезке - найденная из решения задачи (5.25) функция v(tы .х.у)-
Запишем ряд Тейлора для функции w(t,x,y):
w(‘k*i.x.y)=w(tk,x,y)+w(tk,x,y)t+o{Tl ).
Принимая во внимание уравнение (5.26) с начальным условием, получаем:
w(‘W.х»у)= w(‘k .X. у)+\v(tk ,х,у)т+ o(t2)=
= w(tk,x,y)+A yw(tk,x,y)r + o(x2)=(E + TAy)w(tk,x,y)+o(x2)=
= (Е + *Ay)v(tk+l,х,у)+о(х2).
Для дальнейших преобразований воспользуемся уравнением (5.26) с соответствующим начальным условием
w(tм »х, у) ? (Е+ тА,)(v(tk,х, у) + v(tk,х, у)т + о(х2))+ о(х2)=
= (Е + тАу][(Е+ тАхМ ‘к.х. У)+ о(х2]]+0(т2).
Раскрываем скобки и собираем все слагаемые, содержащие шаг интегрирования т в степени не ниже второй,
W(*k+1»X,у) = (е + тАу + тАх + т2АхАу)v(tk,х, у)+о(т2)=
= (Е + тАу + тАх )i(tk,х. у)+ 0(т2)= (Е + xA)u(tk,х. у)+ о(т2).
Сравнение правых частей последнего выражения и соотношения (5.24) позволяет сделать вывод, что
w(lWIX.у) = u(tk.|, X,у)+ о(х2).
Это означает, что последовательное решение двух одномерных задач (5.25) и (5.26) с соответствующими начальными условиями позволяет получить решение исходной двумерной задачи (5.19) с точностью до о(т2).
Уравнения гиперболического типа
Рассмотрим уже упоминавшееся дифференциальное уравнение гиперболического типа, которое описывает механические колебания тонкой однородной струны плотностью р, растянутой усилием F,
|
|
(527) |
с заданными начальными |
|
|
u(0, x)»U(x)i |
о(0, х) - V(x) |
(5.28) |
и граничными условиями |
|
|
u(t.0)-=U,(tX |
u(t,L)-U,.(t). |
(529) |
Схема “крест"
Для построения разностного аналога дифференциального уравнения (5.27) используем шаблон, представленный на рис. 5.4,
i f r j - 2ui + fli)= гг(ин - 2“j + UJ + fj • |
(5.30) |
Оценим погрешность аппроксимации уравнения (5.27) этой разностной схемой с помощью рядов Тейлора:
«(tiH4.X j)= u (ti.X j)+ ll(ti.Xj)c + a (ti.X j)^ - + \T(ti.X j)^ - + u(ti.Xj) ^ |
+ ..., |
“(ti-i.Xj)=u(ti.xj)-o(ti.xj)t+0(ti.xj ) y - 1l(ti.xj) y + u(ti,xj) ^ |
+.... |
“(‘i.xj.,)=u(ti,xj)+u'(ti.xj)il + “'(‘i.X j)y + u'(‘i.xj) y + “"(ti.Xj)^ +.
>+ ®*(*i.*j)y—u"(ti,xj) y + ui,(ti.xj) ^ +.
Заменяя узловые значения в выражении (5.30) с помощью этих соотношений, оцениваем величину погрешности
-[«(*,.* j)+ tt(t,.* j)^ + o (tO j- X ^ u'(l,.x J)+ u ,'(ti. * j) ^o(h4)+ •fi-
Учитывая исходное уравнение (5.27), определяем
Теперь становится очевидным, что погрешность аппроксимации
разностной схемой (5.30) уравнения (5.27) имеет второй порядок малости относительно шагов интегрирования т и h, то есть ^ * o(h2,T2).
Понятно, что полученная явная разностная схема (5.30) является трехслойной. В начальный момент времени (t 8 0) решение известно из начального условия (5.28). Для следующего временного слоя (t 8 т), используя второе начальное условие, получаем выражение
~[uj “ u(xj)]- v(xj),
из которого следует соотношение для нахождения решения на втором временном слое:
uj = u(xj)+xV(xj). |
(5.31) |
Теперь, зная решение для двух слоев, можно с помощью формул (5.30) найти искомые узловые значения йi для третьего слоя, и так далее.
Нетрудно показать, что формула (5.31) дает первый порядок
аппроксимации начального условия (5.28) по шагу |
г, что приводит к |
повышенной погрешности по сравнению со схемой (5.30). |
|
Для построения более точной аппроксимации может быть использован прием, уже рассмотренный ранее:
и(т,х;)= и(о,х^+ о(о,Х;)г+ и(о,х})у + о(т3)=
=U ( x > v(Xj> + [A?U*(Xj)+ ф . к , ] £ + о(т3).
Вэтом выражении использованы формулы (5.28) и (5.30). Отсюда получаются разностные соотношения для узловых значений второго временного слоя:
uj = u(xj)+ v (x > + [x.JU'(Xj)+ ф , х ^ . |
(5.32) |
Для оценки устойчивости схемы (5.30) по отношению к возмущению начальных данных воспользуемся методом Неймана. Разностная схема, записанная относительно погрешностей, имеет вид
± (sU)-28Uj + 8 0 ,) - £ (б и н -2 8 u j + 8Uj+1)= 0 .
Положим, как и ранее,
5uj = ake,kx\ 5uj = p k8 uj = pkake,,a,, 60j = p k5 uj = p kakelkx*
Подстановка т а формуя • предыдущее выражение
приводит к квадратному уравнению относительно коэффициента роста гармоник
Корни этого уравнения
Поскольку произведение корней |pk,|*|pk2| = 1. разностная схема (5.30)
будет устойчивой лишь в случае |рк|| = 1, |рк2| = 1 для всех гармоник. Для
квадратного уравнения с действительными коэффициентами это равносильно требованию, чтобы корни образовывали комплексно-сопряженную пару. Отсюда следует:
Поскольку правая часть неравенства выполняется тождественно, определим условия, при которых справедлива левая часть:
Рассмотренные схемы устойчивы по начальным данным при выполнении
условия
^ ( l - 4 e ) s l . |
(3.35). |
1)
Очевидно, что в случае оЫ /4 схема (5.33) абсолютно устойчива. При о < 1/4 условие (3.35) преобразуется к виду
Ь
k t i
л/1-4о'
Многомерныеуравнения
Исследуем пространственное уравнение гиперболического типа, частным случаем которого является выражение (5.27);
а г |
a3u |
ааи + |
|
|
(5.36) |
дх*+дуг |
|
|
|
||
с начальными |
|
|
|
|
|
u(0,x,y,z)=U(x,y.z)L o(0,x,y,z)= V(x,y,z)' x.y.zeG |
(5.37) |
||||
и граничными условиями |
|
|
x,y,zеда. |
|
|
u(t,x,y,z)=Ujo(t,x,y,z)l |
(5.38) |
||||
Как и в случае с пространственным уравнением параболического типа, для |
|||||
области G построим разностную сетку (рис. 5.9) |
|
||||
П - fe .X j.y k .z J |
tj =»г, |
= jh„; yk = khy; z, = qh,), |
|
||
|
i = 0,m; |
j - б ^ ; |
k « 0,s; |
q “ 0,p, |
|
причем шаги интегрирования будем считать постоянными по каждому направлению:
Введем обозначения: |
|
|
|
X2 / |
|
\ |
|
Л,и* =77к-1* -2 и „ +uWjJ , |
|
||
“х |
|
|
|
Лхи» = Гт(иНк " 2u* + |
)• |
(539) |
|
ПУ |
|
|
|
X2 / |
|
\ |
|
^ * u jk = 7 T \Uik-l |
+ U ^ ,j |
|
|
"«
для разностных операторов вторых иро— одних по соответствующий
направлениям.
Рис. 5.9. Шаблон для аппроксимации пространственного дифференциального уравнения гиперболического типа
Разностный аналог для пространственного дифференциального уравнения (5.36):
- ^ ( u ijlt- 2 u j k + e j k ] = A ),u i k + A yu Sk+ A l u j k + f 9 k= |
£ A «U* + V |
(5.40) |
|
* N |
J |
а « * , у д |
|
Порядок аппроксимации этой схемой дифференциального уравнения (5.36) определяется величиной o(r2,h2,hJ,h2). Решение разностного уравнения (5.40) устойчиво при выполнении обобщенного критерия Куранта
т< — |
(541) |
X |
|
Факторизация разностной схемы с "весами”
Рассмотрим разностный аналог дифференциального уравнения (5.36):
^ u « k- 2 u |k + e ikj - |
£ Аа£° «8*+О ~ 2 0 ^1^ |
+ cOik j +f^ ,ст е ^0,^j . (5.42) |
|||
Преобразуем схему (5.42) к виду |
|
|
|
||
й»к-отг |
Х Л»ййк =2и№+(1-2о)г2 ^ A ^ - U ijk + OT2 |
X A«“»k+f*k* |
|||
|
а - х . у д |
|
а « х . у д |
|
а - х .У Д |
Е -от2 |
Х л а]л*к =[2E+(l-2o)t2 |
Х лД ^ - Г е - от2 |
52A« l“#k + f*b• |
||
а - х . у д J |
[_ |
а - х . у д J |
L |
а - х ,у д J |
|
Обозначим:
В = E -crt2 £ л в = Е -о т 2Лх-о т 2Лу- о т 2Л1,
<*-*.УД
Ф ^ г Е + О - г о У ^ А . к - Г в - о т * Х л / L + f* .
L а - х .у д J L П - Х . У Д J
С учетом этого выражение (5.42) можно представить как систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений й№ искомой
функции:
Вй*=Ф .
Произведение трех операторов
(е - от2Лх)(е о т ’л Д е 0x4,)=
= Е - от2Л х - от2Л у - от2Л х + о(т4)
аппроксимирует оператор В с погрешностью о(т4). Иными словами, возможно расщепление оператора В на три одномерных оператора:
В鹫 ( Е - а т 2Л хХЕ - от2Ау)(Е -< ” 1А 1К к |
(5.43) |
Введем обозначения
V = (E -oxJAt )usk,
W= (E - OT2A ,)V
иперепишем полученное выражение в виде трех систем алгебраических уравнений:
(е - от2Лх)\У = Ф,
• (E -a x 2A y)v '= W , |
(5.44) |
(е —<тт2Л 1)йщк = V.
Решая последовательно эти три системы уравнений, получаем узловые значения Qijk, то есть искомое решение задачи.
Факторизованная система имеет погрешность аппроксимации
Условие устойчивости разностной схемы:
TJ(1-4CT)A.J I - U i .
а - к . у , х " а
Очевидно, что при весовом коэффициенте о £ 1/4 имеет место безусловная устойчивость разностной схемы.
Контрольные вопросы и задания
♦Полагая f(t, х) = О в уравнении (5.27), определите, при каком условии порядок его аппроксимации схемой (5.30) становится ц/^ = o(li4+ т4)
♦Оцените порядок аппроксимации разностными схемами (5.31) и (5.32)
начального условия u(0, х) = V(x).
♦Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (5 27) разностной схемой (5.33) и проверьте условие (5.35) ее устойчивости
♦Оцените порядок аппроксимации разностной схемой (5.34) дифференциального уравнения (5.27) и проверьте условие (5.35) ее устойчивости.
♦ Оцените порядок аппроксимации разностной схемой (5 40) дифференциального уравнения (5.36) и проверьте условие (5.41) ее устойчивости.
♦ Оцените порядок |
аппроксимации |
разностной схемой (5 |
42) |
дифференциального уравнения (5.36) и определите условие |
ее |
||
устойчивости. |
|
|
|
♦Поясните геометрический (физический) смысл замены системы уравнений (5.42) системой уравнений (5.44).