1044

Отсюда следует, что

’Afcii-fb + Vfc,

kRbU «фь -h vh.

Но теперь решение и можно рассматривать как возмущенное по сравнению с ^ решение задачи (4.20), соответствующее внесенным

возмущениям \yh правой части и vh краевых условий.

В силу предположения об устойчивости разностной схемы имеет место утверждение:

С другой стороны, в силу свойств аппроксимации.

V5>0 3h0(5)>0, |Vk|< 6, |vk| < 6

при h < h 0

Теперь очевидно, что

Ve>0 ВЬ0[б(е)]>0, |uh —u |< е, h < h 0.

Что и требовалось доказать.

Теперь понятен порядок проведения исследования разностных схем: при выполнении условий аппроксимации, устойчивости и разрешимости

разностной схемы (4.20) получаемое численное решение будет сходиться к точному решению поставленной краевой задачи (4.19).

Теорема 4.7. Если условия предыдущей теоремы выполнены, операторы и Rb линейны, порядок аппроксимации равен р, то точность имеет порядок

не ниже р.

Доказательство. Представим условие устойчивости в виде

IK - u 2|i M 0|f| - f , J + M , | | ( p , (4.32)

Используя определение погрешности решения zh = » н -и ,

представим выражения (4.20) как

Akzk = v k,

Rkzh = v k.

Применяя к ним формулу (4.32), получим

откуда

|u k - u |s M h \ M s a e M j + a ^ , . Что и требовалось доказать.

Контрольные вопросы и задания

♦Запишите условия согласования начальных (4.3) и граничных (4.5) (или (4.6)) условий для задачи (4.2).

♦Запишите условия согласования начальных (4.11 ) и граничных (4.12) условий для задачи (4.10).

♦Покажите, как с помощью замены переменных задачу (4.2) - (4.4) можно свести к задаче с однородными граничными условиями (4.13).

♦Укажите условия, при которых решение задачи (4.13) можно представлять в форме (4.14).

♦Проверьте порядок аппроксимации граничного условия (4.5) разностным

аналогом (4.21) относительно шагов интегрирования т и h.

♦Следует ли из равномерной устойчивости разностной схемы, что она устойчива и в обычном смысле?

♦Следует ли равномерная устойчивость разностной схемы из устойчивости в обычном смысле?

♦Укажите смысл коэффициента С в условии устойчивости (4.25).

♦Оцените порядок аппроксимации граничного условия (4 5) неявным вариантом схемы (4.21).

S.СЕТОЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ

Уравнения первого порядка

Рассмотрим одномерное движение (например, в прямолинейной трубке) частицы, состояние которой определяется функцией u(t,x(t)), то есть зависит

от времени t и ее положения x(t). Скорость изменения состояния частицы (в эйлеровой системе отсчета) определяется полной производной по времени:

v - скорость перемещения частицы, которую для упрощения будем считать постоянной в течение всего исследуемого периода [О, Т).

Если скорость изменения состояния частицы f(t,x(t)) известна, то

простейшее уравнение переноса (дифференциальное уравнение первого порядка) имеет вид

£ * , | - f M 0 ) . о »

В качестве краевых условий примем, что

u(0.x) = U(x),

(5.2)

u(t,0)=U 0(t).

Естественно потребовать выполнение условий сопряжения U(o) = U0(o).

Фактически речь идет о смешанной задаче Коши, поскольку заданы начальные условия по обеим независимым переменным.

Схемы бегущего счета

Рассмотрим задачу (5.1), (5.2) в области G = [0 £ t £ Т]х[О£ х £ L], для которой построим сетку

° = { М л )1 t i = i x’ i = ^ > m = ~ ; xi = j h> j = 0’n* n = ^}

Аппроксимируем дифференциальное уравнение (5.1) на простейшем шаблоне (рис. 5.1д). Разностное соотношение для дифференциального уравнения (5.1) записывается в виде

Невязка разностной схемы на точном решении

Уд = ” [U0n1»Xj ) “' U(*i*Xj)]+ jj'[u0i»x j) “ U0»*Xi-l)]“ ^(*i«V2»XJ-V2)e

= [o(ti,xj)+vu'(ti,xj) - f ( t i,xj)]+[u(ti,xj) - ^ ( t i.x j)j^ +

Поскольку выражение в первой скобке обращается в нуль в силу уравнения (5 .1 ), становится очевидным, что невязка пропорциональна первым степеням шагов по времени и координате. Используя чебышевскую норму, получаем

И =max|v4| =p iil+Jf[)+1(lv|•И +К1).

откуда следует, что рассмотренная разностная схема имеет первый порядок погрешности при аппроксимации дифференциального уравнения.

Оценку устойчивости проведем с помощью принципа максимума. Для этого разностную схему (5.3) запишем в виде

Положим а т,я = - . Для устойчивости по начальным данным требуется

выполнение условия

Разностная схема условно устойчива при выполнении условия Куранта1, ограничивающего шаги интегрирования:

Устойчивость по правой части имеет место при выполнении условия

что справедливо, например, при сэ£ 1 .

Из выражения (5.4) следует разрешимость и единственность решения разностного уравнения (5.3);

Согласно теореме 4.4 численное решение задачи (5.1), (5.2) на разностной схеме (5.3) будет сходиться к точному решению при выполнении соотношения (5.5) и уменьшении шагов по времени и координате ( h, т -» 0 ).

Вторая разностная схема, соответствующая шаблону, показанному на рис. 5.1,6, приводит к разностному соотношению

и также имеет погрешность аппроксимации 0(Н+т). Условие устойчивости по начальным данным в этом случае записывается иначе:

Условие устойчивости по правой части также выполнено. Это позволяет утверждать, что последовательность численных решений, получаемых при уменьшающихся шагах интегрирования h и т, также сходится к точному.

Разностная схема, получаемая для шаблона, изображенного на рис. 5.1,в,

оказывается безусловно устойчивой по начальным данным и правой части и имеет также первый порядок аппроксимации.

1Курант Рихард [8.1.1888 - 27.1.1972] - математик, учился в университетах Бреслау и Цюриха. Профессор Геттингенского университета с 1920 по 1933 годы, профессор НьюЙоркского университета с 1934 года. Основные научные труды выполнены в теории конформных отображений и для краевых задач математической физики. В 1966 году был избран иностранным членом Академии наук СССР.

- « » ) ] ♦ ! [ > , «и) ] ' f . (5.9)

имеющему второй порядок аппроксимации.

Формально разностные схемы, получаемые для шаблонов, изображенных на рис. 5.1,а и 5.1,г, являются явными, а на рис. 5.1,6,5.1,в и 5.1^а - неявными. В то же время в трех последних случаях можно явно вычислить значение й .

Действительно, крайнее левое значение u0 = U0(t) известно из граничного условия (5.2). Следовательно, можно определить й,, рассматривая разностную схему как уравнение с одним неизвестным. Затем можно найти и2, пользуясь разностным уравнением, записанным для следующего узла, и так далее для всех остальных узлов сетки.

Схема (5.9) имеет второй порядок аппроксимации и при не слишком больших шагах h и т дает более точное решение. Однако на бысзропеременных решениях точность этой схемы понижается. В этом случае лучшие результаты получаются на схемах (5.3), (5.6) и (5.8).

Разностная схема (5.8) безусловно устойчива, что имеет преимущество при проведении вычислительного эксперимента. В то же время схемы (5.3) и (5 6) являются более точными.

Явно-неявная схема

Пусть шаги интегрирования Л и т являются переменными, а скорость движения частицы v(t, х) зависит от времени t и координаты х. В этом случае при использовании разностных схем (5.3) и (5.6) для определения решения на очередном шаге интегрирования необходимо выполнение условия Куранта для устойчивости процесса вычислений. Целесообразно строить вычислительный процесс следующим образом: если выполняется условие (5.5), то очередное значение Uj определять из разностной схемы (5.3); при справедливости условия

(5.7) вычисления выполнять по формуле (5.6). Это гарантирует устойчивость явно-неявной схемы; следует отметить ее более высокую точность по сравнению со схемой (5.8).

Многомерноеуравнение переноса

Рассмотрим аналогичную задачу с двумя пространственными переменными хиу,

с краевыми условиями

u(0,x,y)=U (x.y),

u (u ,0)= U r(t,x )

Далее предполагается, что проекции вектора скорости 9 на координатные оси положительны, уж> 0, vy > 0. Для области G построим разностную сетку

i >= oTm; x, = j h„ j = (\n; yt =k-hr,k = (\s},

Рассмотрим разностный аналог дифференциального уравнения (5.10), построенный в соответствии с шаблоном, показанным на рис. 5.2,

(5.12)

“ у

Рис. 5.2. Шаблон для двумерного уравнения переноса

Для оценки порядка аппроксимации используем разложения в ряды Тейлора:

u(t i-i»x j . y k ) = u (t i , x j> y k ) - 'j( t i ,X j , y k) t + u (ti , x j , y k) ^ - + o (T 3),

“(‘i.xH.yk)=u(ti.xj.y k )-< (ti.xj.yk)hx+u«(‘i.xi.y k )y + 0 (hJ).

и(1;>х 1»Ук-1) = и(*1>Х)>Ук)- и у(1!*хрУк)Ьу + u»(ti»xj,yk) y + o(h5),

f(tj-l/2* Xj-l/2. Уk-|/2 ) =

= f(ti.xj.y k )-((ti.x j .y k )y f ;(ti,x j.yk) ^ - f ; ( t i.x j.y k) ^ + o(T2.h3,h3).

Эго означает, что разностная схема (5.12) имеет первый порядок аппроксимации.

Представим выражение (5.12) в виде алгебраического уравнения:

Очевидно, что

В соответствии с принципом максимума условие устойчивости по начальным данным требует выполнения неравенства

которое справедливо при любых соотношениях шагов интегрирования. Следовательно, по начальным данным схема (5.12) безусловно устойчива.

Устойчивость по правой части также имеет место:

Общий вывод: разностная схема (5.12) имеет первый порядок аппроксимации, безусловно устойчива по начальным данным и правой части. Последовательность численных решений сходится к точному решению задачи (5.10), (5.11) при уменьшающихся шагах интегрирования.

Контрольные оопросы и эоФоншя

♦Проверьте условия устойчивости по начальным данным и правой части,

атакже порядок аппроксимации разностной схемой (5.6) дифференциального уравнения (5.1).

♦Проверьте условия устойчивости по начальным данным и правой части,

атакже порядок аппроксимации разностной схемой (5.6) дифференциального уравнения (5.1) в случае, когда v < 0.

♦Проверьте условия устойчивости по начальным данным и правой части,

атакже порядок аппроксимации разностной схемой (5.8) дифференциального уравнения (5.1).

♦Проверьте условия устойчивости по начальным данным и правой части,

атакже порядок аппроксимации разностной схемой (5.8) дифференциального уравнения (5.1) в случае, когда v < 0.

♦Определите условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации дифференциального уравнения (5.1) разностной схемой, получаемой для шаблона, изображенного на рис. 5.1,г.

♦Определите условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации дифференциального уравнения (5.1) разностной схемой, получаемой для шаблона, изображенного на рис. 5.1,г для случая, когда v < 0.

♦Определите условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации разностной схемой (5.9) дифференциального уравнения (5.1). Разложение точного решения в ряд Тейлора в этом случае целесообразно производить для окрестности центра ячейки.

♦Определите условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации разностной схемой (5.9) дифференциального уравнения (5.1) для случая, когда v < 0. Воспользуйтесь указанием к предыдущему заданию.

♦Укажите условия сопряжения краевых условий (5.11).

♦Укажите условия разрешимости системы алгебраических уравнений (5.12).