1044

Очевидно, что в случае чисто упругого деформирования величина Ек совпадает с модулем упругости Е и последнее уравнение принимает обычный

вид [26J

М = Е1(к-к0).

Граничные условия рассматриваемой задачи имеют вид:

на выходе из последней черновой клети

В системе из 10 дифференциальных уравнений (6.58) - (6.67) содержатся 10 неизвестных функций

Ux(s, t), Uy(s, t), vi(s, t), v2(s, t), 0(s, t), co(s, t), K(S, t), M(s, t), Qi(s, t), Q2(s, t).

Таким образом, для описания процесса формирования петли металлической полосы необходимо решить систему неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных (6.58) (6.67) с краевыми условиями (6.68) - (6.70).

Для численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных построим разностные аналоги уравнений (6.58) - (6.67) на сетке с постоянными шагами по времени т и координате h (i - номер шага по времени, j - номер шага по координате):

(6.76)

(6.77)

(6.78)

F

(6.79)

(6.80)

При записи системы уравнений (6.71) - (6.80) произведена линеаризация исходной задачи. Это позволило получить (для каждого шага по времени) систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений искомых функций.

Алгоритм решения задачи реализуется следующим образом. На начальном временном слое значения функций известны из начальных условий (6.70) в каждом узле конечно-разностной сетки. Первоначально предполагается, что деформирование происходит упруго (Ех=Е). Эго дает возможность сформировать “нулевую" систему алгебраических уравнений, решение которой позволяет определить узловые значения всех искомых величин (в том числе и силовые параметры Qi, СЪ, М) для следующего момента времени т.

Далее, по величинам приращения деформации за временной шаг т с помощью зависимости оДе*) определяется "хордовый" модуль Ех для каждой

частицы полосы и для каждого сечения определяется величина jE x£2dF. Это

F

позволяет вновь сформировать систему уравнений (6.71) - (6.80) и решить задачу изгиба на том лее временном шаге, то есть определить уточненные величины приращений деформации и напряжения, вычислить новые значения «Внутренний» итерационный процесс продолжается до получения

F

требуемой точности решения. С помощью найденных величин формируется новая система алгебраических уравнений для следующего шага и определяется решение для момента времени 2т и так далее, до конца рассматриваемого процесса.

Для проверки правильности разработанной математической модели проводилось сравнение результатов компьютерных расчетов с данными экспериментальных измерений. На рис. 6.26 и 6.27 приведены результаты лабораторных исследований и численного моделирования процесса петлеобразования свинцовой полосы шириной 90 мм и толщиной 6 мм. Длина

участка петлеобразования 825 мм, скорости на входе и выходе этого участка равны соответственно 0,106 и 0,019 м/с.

Для расчетов использовалась конечно-разностная сетка с 30 узлами по длине пролета. Шаг по времени выбран равным 0,01 с. Из рисунка 6.26 видно наличие удовлетворительного совпадения результатов начального периода петлеобразования: правильно отражается образование и динамика накопления петли металла. Очевидно, что резкое увеличение кривизны (в наивысшей точке в момент времени t=4 с) определяется именно наличием пластических деформаций в полосе.

Рис. 6.26. Сопоставление результатов численного (сплошные линии) и экспериментального (точки) исследований петлеобразования свинцовой полосы; время:0,2 с (1), 2 с (2) и 4 с (3)

Результаты численного моделирования свободного петлеобразования стальной упругопластической полосы шириной 1250 мм и толщиной 30 мм (температура 1100° С) на участке длиной 8 метров показаны на рис. 6.29 (графики изменения скоростей полосы на выходе из клети и на входе в тянуще­ тормозные ролики приведены на рис. 6.28). Для расчетов использовалась конечно-разностная сетка, содержащая 80 узлов. Для интегрирования по сечению полосы взято 40 точек по высоте поперечного сечения. Шаг интегрирования по времени составил 0,001 с.

Здесь также отчетливо просматриваются последовательные стадии формирования и выборки петли полосы. Следует отметить, что для рассматриваемого режима петлеобразования характерно появление второй петли, которая, по-видимому, появляется в результате торможения первой петли возле тянуще-тормозных роликов.

Проведение численного исследования процесса петлеобразования упругой полосы позволило выявить некоторые особенности поведения упругой

г

Рис. 6.29. Фазы упругопластического изгиба стальной горячей полосы при свободном петлеобразовании; время: 1 с (а), 2 с (б), 3,5 с (в) и 4 с (г)

Рис. 6.30. Форма упругой полосы и эпюры распределения скорости при свободном петлеобразовании; время: 11,9 с (а), 12,6 с (б) и 12,8 с (в)

Необходимо отметить отсутствие подобного раскачивания полосы в момент торможения левого конца при упругопластическом деформировании Это объясняется диссипацией упругой энергии за счет пластического деформирования. Разработанная модель позволяет определять разнообразные характеристики упругопластической полосы в процессе ее свободного петлеобразования (рис. 6.31). Пиковое значение усилия на тянуще-тормозных роликах соответствует тому моменту выборки петли, когда кривизна в ее вершине становится наибольшей.

а - продольная скорость (время 4 с); б - усилие на тянущих роликах

Контрольные вопросы и задания

♦Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (6.1) разностной схемой (6.4).

♦Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (6.1) разностной схемой (6.5).

♦Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (6.1) разностной схемой (6.6).

♦Проверьте условия устойчивости разностного аналога (6.4) дифференциального уравнения (6.1).

♦Проверьте условия устойчивости разностного аналога (6.5) дифференциального уравнения (6.1).

♦Проверьте условия устойчивости разностного аналога (6.6) дифференциального уравнения (6.1).

♦Оцените порядок аппроксимации граничного условия (6.З2) разностной схемой (6.9).

♦Покажите, выполнив необходимые выкладки, что решение системы уравнений (6.19) аппроксимирует на отрезке [t,t + At] решение

уравнения (6.IO2) с точностью о(т2).

♦Покажите, что поле скоростей, определяемое соотношением (6.21), удовлетворяет уравнению несжимаемости (6.1 1 ).

♦Покажите, что решение системы уравнений (6.23) на отрезке [t,t + At] аппроксимирует с погрешностью о(т2) решение уравнения (6.22).

♦Покажите, что с погрешностью о(т2) решение уравнения (6.12) на отрезке [t,t + At] можно заменить решением системы уравнений (6.25).

♦ Определите, какие ограничения следует наложить на краевые условия (6.68) - (6.70) для их согласованности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб, пособие для вузов. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1989. - 432 с.

2.Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 512 с.

3.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

4.Холл Дж., Уапгт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. - М : Мир, 1979. - 312 с.

5.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1977. - 832 с.

6.Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Ч. 2. - М.: Мир, 1990.-328 с.

7.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977.-742 с.

8.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981. - 544 с.

9.Каазик Ю.А. Математический словарь. - Таллин: Валгус, 1985. - 296 с.

10.Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. - М.: Наука, 1967. - 416 с.

11.Карташев А.П., Рождественский БЛ. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. - М.: Наука, 1976.-256 с.

12.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1974. - 432 с.

13.Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980. - 616 с.

14.Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1977. - 400 с.

15.Дубов А.С., Быкова Л.П., Марунич С.В. Турбулентность в растительном покрове. - Л.: Гидрометеоиздат, 1979. - 183 с.

16.Бояршинов М.Г., Гельфенбуйм И.В. Построение математической модели аккумуляции лесным массивом и вторичного выноса

загрязняющих веществ // Глобальные природно-антропогенные процессы и экология среды обитания. - М., 1995. - Выл. 3. - С. 22-29.

17.Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. - М.: Наука, 1982. - S20 с.

18.Галенко Э. П. Фитоклимат и энергетические факторы продуктивности хвойного леса Европейского Севера. - Л.: Наука, 1983. - 129 с.

19.Чертоусов М.Д. Гидравлика: Специальный курс. - Л.: Гос. энерг. издво, 1957.-640 с.

20.Бояршинов М. Г., Киселев Д. Ю., Козлинских А. Е. Движение жидкости по системе каналов городского коллектора // Математическое моделирование. -1998. -10. -№ 5 - С 10-20.

21.Бояршинов М. Г., Гитман М. Б., Трусов П. В. Анализ деформирования профилей в процессах правки и статического упругопластического изгиба // Известия высших учебных заведений. Черная металлургия. - 1 9 9 0 .-№ 4 .-С . 34-37.

22.Бояршинов М. Г., Киреев Е. М., Никифоров Б. А., Трусов П. В. Алгоритм исследования напряженно-деформированного состояния проволоки при деформировании знакопеременным изгибом с натяжением // Известия высших учебных заведений Черная металлургия. - 1984. -№ 8. - С. 79-83.

23.Бояршинов М. Г., Киреев Е. М., Никифоров Б. А., Трусов П. В. Анализ исследования напряженно-деформированного состояния проволоки при деформировании знакопеременным изгибом с натяжением // Известия высших учебных заведений. Черная металлургия - 1984. - № 10 .-С . 63-67.

24.Салганик В.М., Бояршинов М.Г., Гун И.Г Математическое моделирование поведения полосы в процессе свободного петлеобразования // Известия высших учебных заведений. Черная металлургия. - 1992. -№ 9. - С. 24-27.

25.Салганик В.М., Бояршинов М.Г. Моделирование упругопластического изгиба полосы при свободном петлеобразовании // Известия высших учебных заведений. Черная металлургия. - 1994. - № 1. - С. 31-33.

26.Светлицкий В. А. Механика стержней. - Ч. 2. Динамика. - М.. Высшая школа, 1987. - 304 с.

27.Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1986. - 288 с.