1044
.pdfМо ) - о ,
Ь(о )« о .
Обратимся к первым четырем уравнениям системы (3.15)
vj . - v j . - v , , ,
vj» — v;,» -k v4l.
Врезультате выкладок получили дифференциальное уравнение четвертого порядка
v« ’+lcv«.=0
сначальными условиями
v4i(o)=o, v;,(0)=0, v",(o)=o, v"(o)=-1
Решение ищут в виде
v«,(x) = Ас**. Характеристическое уравнение X4 + к = О имеет четыре корня:
*, - $ > ♦ > ) .
Вэтом случае решение уравнения записывается как сумма четырех слагаемых
v41(x) = А,ем + А,ех,‘ + Aje*** + А4ем С помощью формулы Эйлера
е±кл = cos(az) ± i • sin(az)
решение представляется в показательно-тригонометрической форме
v41 (х) = е"Рх(В| cos(px)+ iB2 sin(px)) + e^B j cos(px) + iB4 sin(Px)), (3.17)
где p = Vk/4-
Используя формулу (3.17), имеем
v„(x)= _v'4l(x)=pe‘Plt[B, cos(px)+ iBj sinftxfl-pe^t-B, sin(px)+ iB, cosfox)]-
- PePx[В3 cos(px)+iB4 sin(px)] - Pe"x[- B, sinfox)+ iB4 cos(Px^.
Отсюда следуют значения коэффициент |
|
|
||
D, |
, Dj ■ — , |
D. ■ —— , |
D4 ■ — , |
|
1 4р |
J 4р |
* |
4р |
4 4р |
с помощью которых определяются искомые функции:
v« (*) - - ^ [ SH(PX)CCM(PX)+ ch(px)sin(px)].
VJJW - CKPXW P * )*
vn(x) - p(ch(px)sin(px)- sh(px)cos(px)].
v(J(x) = -2plsh(px)sm(px).
T,(*)* Г,(0)+|р(«К(«)Л - -^rsh(px)sin(Px)
Теперь можно подсчитать коэффициенты системы алгебраических уравнений (3.9):
V .I (,)U IO )+ VH (1)UJ( 0 + VJI(,K ( ,) + V« (1K ( 0 I‘ Y ,(I) .
v .JO K O ) +v» 0 W 0 + v a0К О ) + V «0 K 0 ) - уI O)
Поскольку значения u,(]) = 0, Uj(l)«0 известны из граничных условий
исходной задачи, получаем систему двух алгебраических уравнений относительно u2(l), u4(l):
- ^ (shpcosp + chPsin p]u,(l) + ^ |
[shpcospchpsin p K |
(0 = |
[cosPchp - l l |
p[chpsin p - shPcosp]u,(l)- г * [ЛР cosP+chpsiij]u4(l)> - |
-jjj- sinp$bp. |
||
2p |
|
2p |
|
В итоге для правой точки отрезка стали известны одновременно четыре значения искомых функций, то есть исходная задача сведена кзадаче Коши
|
«.,(!)= 0. |
|
|
u,(l)= |
chp-cosP |
(sinp-shp). |
|
|
|||
|
2р* ch(2p)-cos(2p) |
||
|
u,(l)=0, |
|
|
««(О |
р chp-cosP |
(sinp+shp). |
|
pch(2p)- |
|||
|
|||
Лагсрра L k(\) t ' \ |
к * 0,1,2,... на (О,»): |
L,(t)— t + l, |
|
L2( t)* tJ - 4 t+ 2 , |
|
L j(t)= -tJ +9tJ -1 8 t+ 6 , |
|
L«(t)= t4 -16t* +72tl -96t + 24, |
|
Потребуем, чтобы |
для системы пробных функций {срД к =0,1,2,... |
выполнялись следующие условия:
1.Фк е с£_ь|. к * 0,1,2,...
2.Функции фк линейно независимы на [а, Ь].
3.Функция ф0 удовлетворяет граничным условиям (3.19),
|а,<р0(а)+ а1ф;(а)=А.
1р .Ф.(Ь) + РЖ (Ь)=В;
остальные функции этой системы - однородным граничным условиям | а |фк(а)+ а2ф'к(а)=0,
1Р|Фк(Ь)+Р2Ф'к(Ь) = 0, к = 1,2....
то есть
Vk =1,2,... Фк €G = {v(x)eCj^b|| a,v(a)+a2v'(a)=0, p,v(b)+p2v'(b)=0
4. {фк}, к =0,1Д ... образуют в G замкнутую1 систему функций. Для рассматриваемого случая это означает, что VrjeG отыщется линейная комбинация функций фк, приближающая функцию rj и ее производные сколь угодно точно.
Представим решение задачи (3.18), (3.19) в виде разложения в ряд по
пробным функциям {фк}, |
к = 0,1,2Г.. |
|
|
|
|
У . М = Ф „ ( х ) + £ а кфк(х ). |
|
(3 20) |
|
|
|
к-1 |
|
|
1 Согласно [9] замкнутой является такая система элементов |
{<рк}, к =0,1,2,... |
|||
нормированного пространства |
G, |
что любой элемент x € G |
можно сколь угодно точно |
|
приблизить конечной линейной |
комбинацией элементов <рк |
Иными |
словами, Ve > 0 |
|
найдутся такие скаляры а,,а2...... а . , что имеет место неравенство | х - ]£ a k<pk | < Е.
Систему пробных функций построим на основе полиномов. В качестве “нулевой” выберем линейную функцию
<p»(x)*G + Hx.
Коэффициенты G и Н подберем из условия удовлетворения заданным граничным условиям
<Ро(0)=2,. <p,(l)=H,,
что дает G = £„, Н «Е, -Е„.
Таким образом,
Ф о(х)=Н ,+(Е ,-Е ,)х.
Остальные пробные функции представим в форме, удовлетворяющей однородным условиям задачи, например:
« p .(x M x - ik
<Pi(x)*(x-iy,
<р,(х)=(х-1)х\
фк(х)-(х -1)хк.
Понятно, что такое представление не является единственным. Ограничимся значением п = 3.
Для упрощения будем считать, что Х(х) = const, j(x) = const. Подставим приближенное решение
у5(х)= Фо(х)+а,<р|(х)+а,ф,(х)+а,ф,(х)
в исходное дифференциальное уравнение
F(x, У„У;.У?)=фа, +a,(6x-2)+a,(l2xs -6х)]+J *0.
В качестве взвешивающих возьмем упомянутую ранее систему функций
1, cos(t), sm(t), cos(2tX sin(2t),...
Вычислим значения моментов:
М1 = £ [2а,А.+ а2Х(бх- 2)+ а3A.(l2х2 - 6х)+ JJ •ldx »Х(2а, + а2 + аэ) + J ,
М2 = j^ a ,* + а2Я.(бх- 2)+ a3X(l2x2 - 6х) + j]* cos(x)dx =
= 2а,A.sin(l) + a2A.[6cos(l)+4 sin(l) - б] + a3X[l8cos(l) + 6sin(l)+ б] + J stn(l),
Рассмотрим применение метода Галсркина в частном случае линейного дифференциального уравнения второго порядка
I J p M g J - 'lM y - f M |
М 2 ) |
с граничными условиями
Ы * )жА,
(323)
\у(ь)=В.
Согласно идее метода Галеркина
| [ ^ ( pyl) - qy - fjq>jdx = J ^ (p y lfo d x - 1qy.Vjdx -|f<P,dx = 0. j = l.n
Преобразуем первое слагаемое в этом выражении:
ь d |
ь j |
ь |
ь ь |
|
|
J^ |
( ру:)ч> ^ = /^ ( ру:ф> |
- Jру>]<ь |
= ру:ф,|. - \ |
py:<p;dx |
|
|
dx' |
|
|
|
|
Теперь предыдущее выражение можно представить в виде |
|
|
|||
|
ь |
ь |
ь |
__ |
|
|
py> j|, - Jpyi?id x - Jfly.9j<lx- j f‘Pjdx = 0. |
j= l .n - |
(3 24) |
||
•а а
Учитывая, что граничные условия заданы в виде (3.23), пробные функции выбираются из условия
Фк(*)= Фк(Ь)= 0, к = l.n.
Это, в свою очередь, приводит к упрощению полученной формулы
ь |
ь |
ь |
__ |
-|рУ»<1х-/яУ .Ф /1х-|Гф/1х = 0, |
j = l,n. |
||
I |
> |
I |
|
В это соотношение подставим' формулу (3.20) представления искомой функции в виде ряда и выполним преобразования:
