1044
.pdf1 £ s £ n - 1 , причем либо Y,_, <М , либо Y„, <М . Тогда в силу условия I) получим
Ab(Y.) = A,YM| +2B.Y, +C,Y_, <(А .+С.)М +2В.М =(А ,+С .+2В ,)М .
поскольку А, > О, С, > 0. Благодаря условию 2) имеем
Ak(Y .)<[l + |p . + l - |p . + ( - 2 + q . h l)] M =q.hlM SO.
Пришли к противоречию с исходным предположением, что и доказывает лемму.
Лемма 3.2. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы числа Y0,Y,,Y2,...,Yn, среди которых есть неравные между собой, выполнены условия (3.46), а также имеет место
A„(Yk)£ 0 |
Vk = ljn ^ l. |
Тогда среди чисел Y ^ Y , ^ , . . . ^ |
наименьшее отрицательное значение |
принимает либо Y0, либо Y„. |
|
Доказательство этого утверждения проводится аналогично предыдущему.
Теорема 3.7. Пусть выполнены условия (3.46), тогда однородная система алгебраических уравнений (3.45) имеет только тривиальное решение.
Доказательство. В соответствии с формулами (3.45) выполнены условия лемм 3.1 и 3.2 одновременно. В этом случае наибольшим н наименьшим
значениями |
являются либо z0, |
либо zB. Но согласно формуле (3.45) |
z0 = zn = 0 . |
Это означает, что и |
все остальные zk = 0, k = 1,п - 1 . Таким |
образом, система уравнений (3.45) имеет только тривиальное решение, и поэтому ее определитель отличен от нуля. Следовательно, исходная система линейных алгебраических уравнений (3.44) имеет единственное решение. Что и требовалось доказать.
Оценка порядка аппроксимации
Разложим решение задачи (3.29), (3.30) в ряды Тейлора вблизи точки xk:
y(xk+i)= y(xk)+ y'(xk)> + y'(xk)y+y"(xk )y +y"(xk )^ + -.
y(xk-.)= y(xk)- y'(*k)h+ y'(xk) y - y"(xk )y + y"(xk)^ +•••
которое будет выполняться при любом наборе значений ук, к * 1, п - 1 , если имеют место равенства
Ак + 2Вкиы + Ckukuk4l ■ О,
2 Bkvk4l + +Ckvk - f kh2 *0, k * l,n - l.
Это позволяет получить рекуррентные соотношения:
Ak
и*
‘к*' 2Bk+Ckuk’
|
fkh* - C kvk |
(3.50) |
|
|
|
||
|
2Вк +Ckuk , |
k - U - l |
|
Прямой |
ход метода прогонки выполняется в следующей |
||
последовательности действий. Запишем выражение (3.49) для к = 0 |
|||
|
|
Уо = и|у1 +у| |
|
и сравним с формулой |
|
|
|
|
Уо = - |
у |
Ah |
|
a , - a 0h |
||
|
a , - a 0h |
||
сеточной задачи (3.48). Отсюда можно вычислить исходные значения
и, =
1 dj - a 0h*
(3.51)
-Ah
a , - a 0h ‘
Далее используются формулы (3.50) для вычисления всех остальных
величин uk, vk, к = 2,п .
Для выполнения обратного ходя метода прогонки формулу (3.49) при k= (n -1 ), то есть
yn-i=Uny«+VD.
подставляем в последнее выражение системы (3.48)
Р, ( ч Bh
piu. |
PiV. +Bh |
Pi+Poh. |
Pi +P«h |
P.v.+Bh
y<’ pi +peh -p ,u .
Теперь, используя соотношение (3.49), можно определить все искомые величины ук, к = 0,п —1.
Метод прогонки можно использовать в тех случаях, когда в приведенных формулах знаменатели дробей не обращаются в нули. В частности, можно избежать равенства нулю выражения ( o t,- a 0h) в формулах (3.51) подбором соответствующего значения шага интегрирования h.
Покажем далее, что при условиях
Ак * 0,С|к* 0j2Bk| £
1a , - a 0h |
<П, |
Р. |
(3 52) |
P,+Poh |
|
||
|
|
||
знаменатели дробей 2Bk + C kuk * 0 и |
р, + poh —P,un * 0. |
||
Оценим значения переменных |
uk, k = l,n Очевидно, что согласно |
||
условиям (3.52) |
|
|
|
Предположим, что |uk| < 1 для произвольного значения к. Тогда с учете^
соотношений (3.52)
|2Вк +C kuk| * |2Bk|- |C kuk| = |2Вк|- |С к|-|ик| > |2Вк| -|С к| > |Ак| > 0.
то есть знаменатель 2Вк +С кик отличен от нуля. Более того, учитывая,
|2Вк + С кик|^ |А к|, получаем
К |
<1 |
|
|2Вк + Скик| |
||
|
Тем самым по индукции показано, что все |uk| < 1, к = 1,п Согласно условиям (3.52)
I P . M P . + M -
Тогда и знаменатель
IP, + р 011- р ,и п|^|р, +P 0h |-|P ,un| = |pi + p 0h |- |p 1|-(un|>|p, + p 0h |-|p ,|> 0
отличен от нуля.
Контрольныевопросынзаботы
♦ Поясните необходимость каждого из требований, предъявляемых к системам функций и фк в методах моментов, Гаяеркина, Ропща и
наименьших квадратов.
♦При каких условиях полная система функций будет одновременно
замкнутой?
♦Решите задачу из примера 3.4 с граничными условиями с помощью системы пробных функций
<f>l(x)=(x-»X <Pl(x)~ (х - lj*х, |
Фь(х)=(х —Jf x . |
«Выражение (3.39) в методе Рипш определяет лишь условие стационарности функционала. При каких условиях функционал Ф(у,)
будет иметь единственный минимум?
♦ В методе Ритца приближенное решение строится на основе функций из класса которые в общем случае не являются дважды
дифференцируемыми, что требуется для удовлетворения дифференциального уравнения (3.22). Поясните, в каком смысле в этом методе понимается сходимость приближенного решения к точному
♦Решите задачу из примера 3.5 с заданными граничными условиями
используя систему пробных функций
♦Погрешность аппроксимации (3.48) определяется не только степенью шага интегрирования h, но и ограниченностью значений производных
Ут(х к \ |
Установите, при каких условиях решение уравнения |
(3.29) будет иметь на отрезке [а, Ь] ограниченные значения производных до четвертого порядка включительно.
♦Предложите свою разностную схему аппроксимации уравнения (3.29) и оцените ее погрешность.
+Оцените порядок аппроксимации граничных условий (3.30) разностным аналогом (3.43). Предложите способ повышения порядка аппроксимации граничных условий.
♦Сопоставьте по эффективности метод Гаусса и метод прогонки для решения системы линейных алгебраических уравнений сеточной задачи.
♦Теорема 3.2 доказана для задачи (3.22) с граничными условиями (3.23). Установите условия разрешимости системы алгебраических уравнений (3.25) для задачи (3 .22) с граничными условиями более общего вида (3.19).
4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Вобщем случае дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных представляется в виде1
ф(х,,...,х(|,у,у#Я|,...>У#«в>У*А>---»УМ|.—.Уш.!,)®0 -
Если уравнение представимо в виде
2 ^а,(х1г ..д .)у ^ 1 + 1?(х|,..д .о гУ 111Г„У 1>)= 0 . i.j-1
оно называется квазилинейным относительно старших производных.
В |
случае, когда |
17(х„...,х11,у,у'Ж|,...>у#Яв) |
линейная |
относительно |
||||
аргументов |
У»у'Я|.-».у'я, |
функция, последнее выражение представляется в |
||||||
формелинейного дифференциального уравнения |
|
|
||||||
■ |
|
|
|
* |
|
|
|
|
£ |
а |
4( х „ . . . , х . ) У ^ „ |
+ S |
bi( x >.......Х- К |
+ « ( * ......... |
|
|
|
iH |
|
|
W |
|
|
|
|
|
При |
f(x,,...,xll)= 0 |
уравнение становится однородным. Если а^,Ь„с не |
||||||
зависят |
|
от |
аргументов |
х ,,...,х я, |
получаем |
линейное |
однородное |
|
дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами.
Наиболее хорошо изучены линейные дифференциальные уравнения второго порядка относительно функций двух аргументов
ап0»х)уИ+ 2а«(*. х)у« +аи0» x)yl +b,(t. х)уJ +b,(t, х)у*к +e(t, х)у= f(t, х). (4.1) Если в некоторой области G дискриминант [12]
Л = aj,(t, x)-a„(t, x)an(t, х)> О,
то выражение (4.1) является дифференциальным уравнением гиперболического типа.
Если дискриминант А < 0, то уравнение (4.1) относится к эллиптическому типу.
В случае А ■ 0 уравнение является параболическим.
1 В частном случае для функции y(t, х) двух переменных уравнение принимает вид: <*('.*. у. у у;, у;, у:, y i ) =о.
IIcmrropuc рф ф срстш м м ис урамтим m pere порядка
Рассмотрим постановки ряда задач математической физики на примере простейших дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных [12 ].
Уравненяе теплопроводности
Теллопрередача в тонком прямолинейном однородном изолированном с боковой поверхности стержне описывается уравнением
|
|
ае |
J 0 |
(42) |
|
|
dt |
дкг |
|
|
|
|
||
Здесь и далее обозначено: 0 - |
0(1, х) - температурное поле, t - время, |
|||
te[0,oo), X, с, р |
- |
теплопроводность, теплоемкость и плотность |
материала |
|
стержня, г\ = \/ср |
- |
коэффициент температуропроводности, х - |
продольная |
|
координата, xe[0,LJ. |
|
|
|
|
Для уравнения (4.2), записанного в виде |
|
|||
дискриминант |
|
|
|
|
|
Д = a{,(t, xj-a.^t, x)aM(t, х)= 0 - 0 -(-ц)= 0 . |
|
||
то есть уравнение относится к параболическому типу.
Единственность решения уравнения (4.2) обеспечивается начальными
е(о.х)=е(х) |
(4.з) |
|
и граничными условиями1 |
|
|
6(t,0) = Ho(t), |
9(t,L) = HL(t). |
(4.4) |
Вполне очевидно, что для получения непрерывного решения задачи (4.2) - |
||
(4.4) необходима согласованность краевых условий |
|
|
е(о )= н 0(о), |
®(L)=Et (o). |
|
Ограничения (4.4) на решение задачи (4.2) относятся к граничным условиям первого рода. Заметим, что для задачи теплопроводности может быть записано граничное условие (например, на правом конце стержня) второго рода
1 В дальнейшем совокупность начальных и граничных условий будем называть краевыми условиями.
(4.5)
где q(t) - тепловой поток1 через торцевую поверхность.
Ранее отмечалось, при теплообмене между торцевой поверхностью стержня и внешней средой, имеющей температуру S*, тепловой поток определяется выражением
q(t) = a(0(t.L )-H 4>(t)).
что приводит к граничному условию третьего рода
которое можно записать как смешанное граничное условие
a0(t.L) + Xj0'(x.L) = A(t). |
(4.6) |
причем A(t) = осН^р^). Очевидно, что граничные условия (4.4) и (4 .5 ) можно
рассматривать как частные случаи условия (4.6).
Уравнение свободных поперечных колебаний струны
В предположении о малости колебаний поведение нерастяжимой струны, находящейся под действием растягивающей силы F, описывается дифференциальным уравнением
где u = u(t, х) - вертикальное перемещение точек струны.
Вэтом случае дискриминант
Д= aij(1»x)- a n(t. x)a21(t, х) =0 - l - f - —1 = — >О,
\р) р
то есть уравнение относится к гиперболическому типу.
Единственность решения уравнения (4.7) обеспечивается начальными
u(0,x) = U(x). ^ j p L v ( x ) |
(4.8) |
Поток считается положительным, если он направлен внутрь тела.
и граничными условиями
u(t,0)«Ue(t> u(t.L)=U L(t). |
(4.9, |
Вполне очевидно, что для получения непрерывного решения задачи (4.7) - (4.9) также необходима согласованность краевых условий:
и(о)«и,(о> |
|
|
e u t (0) i |
..... |
(4 ,°) |
U (L )-U t (0> |
V(L) |
|
Л |
|
|
Уравнение стационарной диффузии
Перенос и рассеяние примеси движущимся потоком в плоской области G (вертикальной или горизонтальной) с границей 6G моделируются уравнением диффузии
где С = С(х, у) - концентрация примеси, v„ vyкомпоненты вектора скорости воздушного потока, р - коэффициент диффузии.
Дискриминант
д = а?а(х.у)-»п(х.у)“п(х.у) = ° - И-Ц- -I»* <о
позволяет отнести уравнение (4.11) к эллиптическому типу.
Граничные условия: |
|
|
|
|
- первого рода |
С(х.у) = СЛ (х,у), |
x,yedG c; |
|
|
- второго рода |
дп |
= |
*.УбЗО,; |
(4.12) |
|
|
|
|
|
- третьего рода |
ц а с ^ у ) = _р[с(х.у)-Сср(х,у)], |
x.yeaGp. |
||
|
ОТ |
1 |
|
|
Дифференциальныеуравнения для функций нескольких переменных
При классификации дифференциальных уравнений второго порядка, записанных в канонической форме для функций п переменных, используется следующее правило.
Уравнение
Z a ,( x „ К , х .) у ^ |
+ 5 > ;( х „ К , х .)у ; + с (х „ К , х .)у - f ( x „ K . х .) |
||
i-l |
»■! |
|
|
является: |
|
|
|
- эллиптическим, если все ам(Х|,...,х,Х i * 1.п имеют один и тот же знак |
|||
и все отличны от нуля; |
|
|
|
- гиперболическим, если все |
ай(х ,,...,х Д |
кроме одного, имеют |
|
один и тот же знак и все отличны от нуля; |
|
||
- параболическим, если все а ^ х ,,...^ ,} |
»" £ n , кроме одного, отличны |
||
от нуля и имеют один и тот же знак. |
|
||
Уравнение стационарной диффузии (при отсутствии движения среды) |
|||
|
д2С |
д2С ? С |
|
|
дх2 * ду2 + dz2 |
|
|
относится к эллиптическому типу.
Уравнение нестационарной теплопроводности
di \дх2 ду2 dz2J
является параболическим.
Уравнение малых поперечных колебаний мембраны
всюду гиперболично.
Метод Фурье разделения переменных
Метод разделения переменных рассмотрим на примере решения задачи
теплопроводности (4.2) - (4.4) |
с однородными |
граничными условиями |
(дополнительно положим г\ = — « 1 |
)• |
|
ср |
|
|
e f o . x f ! i © ( x ) . |
(4.13) |
|
e(t,o)=o.e{t,L)=o. |
|
|