1044
.pdfа) граничная задача (3.29), (3.35) имеет единственное решение у(х);
б) существует такая константа М> 0, что
VzM |
eC M - |
Ф ) = 2( ь) = 0 - |L(Z)12 M |
W |
|
||||
Доказательство. Определим множество |
|
|
|
|
|
|||
° |
в {2(Х) €С |..ь|| |
2(а) = 0. |
*(Ь) = о| |
|
|
|||
В силу условия а) решение у(х) |
существует и, |
следовательно, |
yeG |
|||||
Поскольку {фк} образуют в |
G замкнутую |
систему, |
решение у(х) |
можно |
||||
приблизить как угодно точно с помощью разложения у |
|
п |
|
|
||||
= £ b k<pk |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
t-i |
|
|
Это в свою очередь означает, что |
[Цу)-Ь(у)[ |
может быть сделано как |
||||||
угодно малым, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ve>0 |
3 " . |
|
- Ц у ) | |
< Е |
|
(3.37) |
|
Учитывая, что L(y) = у" + р(х)у' + q(x)y = f(x), выражение (3.37) |
можно |
|||||||
переписать в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
I n |
■ |
п |
I |
|
|
|
|
|
+ p Z b k<p'k + ч Х ь кФк - f = | у * + р у ' + ч у - п = |
|
|||||||
Нк-1 |
к-1 |
k-l |
I |
|
|
|
|
|
Гь |
|
|
|
|
|
-il/2 |
|
|
■В(у'(х)+р(хУ(х)+ q(x)y(x)- f(x)Tdx |
<s |
|
||||||
Это выражение записано в обозначениях, использованных ранее при построении соотношений метода наименьших квадратов. От замены bk на а, соотношение (3.37) не ухудшится, поскольку коэффициенты а*, определяются из
условия минимальности функционала б(у) = |еп|2 (в том числе среди всех
п
возможных Ь„). Это означает, что возможна замена у на уп = £ a kcpk Отсюда,
К у .) - к (г ) 1 - « у . - » |< « -
В силу условия б)
Поскольку е может быть сделано как угодно малым, ||уп-у||— |
>0. Что |
и требовалось доказать. |
|
Метод Ритка1
Пусть линейное дифференциальное уравнение второго порядка (3.22) с граничными условиями (3.23) имеет единственное решение.
Рассмотрим функционал
Ф(у) * Ц р М И ’ + ч(х)у* + 2f(x)y|dx, |
(3.38) |
для которого будем искать минимальное значение на множестве допустимых функций
а) непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь]; б) удовлетворяющих граничным условиям (3.23).
Теорема 3.4. Если функция у(х) доставляет минимальное значение функционалу (3.38) среди всех допустимых функций, то она является решением граничной задачи (3.22) - (3.23).
Доказательство. Для функционала (3.38) уравнение Эйлера2 имеет вид:
[2 p(x)y']'-[q(x)-2 y + 2 f(x)] = 0 .
Отсюда получаем выражение
[p(x)y']'-q(x)y = f(x),
которое полностью совпадает с исходным уравнением (3.22). Это означает, что удовлетворяющая граничным условиям (3.23) функция у(х), на которой достигается минимум функционала (3.38), будет решением исходной задачи.
Как и ранее, приближенное решение ищем в виде разложения (3.20) в ряд по пробным функциям, удовлетворяющим следующим требованиям:
1. Фк € С[шь], к = 0,1,2,...
1 Ритц Вальтер [22.2.1878 - 7.7.1909] - немецкий физик и математик. Учился в Цюрихском и Геттингенском университетах. Работал в Лейдене, Тюбингене, Геттингене. Предложил метод приближенного решения вариационных и некоторых краевых задач математической физики.
2 Согласно [11] для |
функционала Ф(у) = £ F (x ,y ,y ')d x , где F(x,y,y') |
- функция, |
||||
имеющая |
непрерывные |
производные |
первого |
порядка |
на |
множестве |
xe[a,b], |
у,у'€(-<ю,оо)> уравнением Эйлера |
называется |
выражение |
~ F ' . - F v' = 0 при |
||
|
|
|
|
|
dx |
|
выполнении условий у(а) “ А, у(Ь) = В.
2.Функции фьлинейно независимы на [а, Ь].
3.Функция ф, удовлетворяет граничным условиям (3.19),
о,ф0 (а)+ааф|,(а)« А,
,Pi9o(b)+Pj4*i(b)-B;
остальные функции этой системы - однородным граничным условиям
|
а |Фк(а)+а,ф'к(а)=0. |
|
|
р,Фк(ь)+р,ф'к(ь)-о . к - а . . |
|
то есть Vk =1,2 ,... |
|
|
Фк eG |
= |v(x) е Cjm>, | о ,у (а)+ ау (а) = 0, P,v(b)+P2v'(b) = o) |
|
4. {фк}, |
к =1,2г.. образуют в G замкнутую систему функций. |
|
Подставим выражение (3.20) в функционал (3.38): |
|
|
ф (у. ) = j k y '. ) 1+ яу! + 2fy.)ix= |р { ф ;+ |> кф ;|ф ;,+ |
jd x + |
|
+jq^Po + Ё»кФк^Фо + Х лФ ]|ьс + 2|^Ф о + £»кФк jdx =
вЬ
= £ a kaj|(рф'кф; +q9 k<Pj)lx + k.j-l .
+ 2^2 акJ(p<Po9'k + ЧФоФк + fvk )*t +J^)ф'а +q<Po+2f<P0)ix . k-1
Обозначим: |
|
b |
В |
C0 = J(рф;1 +q<fl +2f90)dx, fk =J(рфЖ +q90<Pk+ftPk)dx. |
|
a |
» |
|
b |
с л = _ ИРФкФ1 + ЧФкФ1)<1х-
a
Теперь последнее выражение можно записать в виде: Ф(у.) = С„ + 2^ f kak - Ё с ^ а , .
k-l kj-l
Эта запись позволяет рассматривать функционал |
Ф(у0) как функцию п |
|
переменных а к, к = 1,п. Запишем |
необходимые |
условия экстремума |
функционала, |
|
|
2 S & U |
j = u , |
(з.з9) |
откуда получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения (3.20) искомого решения в ряд по пробным функциям,
£ с * а к = ^ . j - й . к-1
Условия существования и единственности решения этой системы алгебраических уравнений устанавливаются следующей теоремой.
Теорема 3.5. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения (3 22) удовлетворяют условиям:
Р е С{,.b),p(x)s р0 > 0,х е [a,b];
Я е С[, b),q(x)S 0,х € [a,b].
Тогда система алгебраических уравнений метода Ритца имеет единственное решение.
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 3.2.
Сходимость метода Ритца
Пусть у(х) доставляет минимум функционалу (3.38) и имеет место
|1Шф(ук) = Ф(у)
для некоторой последовательности1 функций ук(х), к = 1,2,...
Теорема 3.6. Пусть выполнены условия:
O p e C j,^ ; |
р(х)£ р0 > 0, xe[a,b]; |
2) Я.f бС(,ъ]; |
q(x)SO, х e[a,b]; |
3) последовательность функций |у к(х)| является м и н и м и з и р у ю щ е й .
Такая последовательность функций называется мш шмтчрующеи
Тогда последовательность функций |ук(х)} сходится равномерно' к решению у(х) на отрезке [а,Ь].
Доказательство. Оценим модуль выражения
М х) “ >М|в |[У » -y*)dt s}|yi - y |d ts /(y i - y'|dt.
Используя неравенство Коши - Буняковского12, получаем |
|
|
/|у1 - У'И ^ (b - a)V,^ |(у; - y')Jdtj |
[|р(у;-у')1*<“ ] |
5 |
* ( — ) { | [ ^ - y'),+ 4 ^ - y ) , ld‘} |
(3-40) |
|
В свою очередь, |
|
|
ь
ф (У к )~ Ф(у) = / [ру;1 + qyI + 2fy* - РУ1'* - qyl - 2fy]dt =
= J[p(yL5 - y ,:,) + q(yj - y J)+ 2f(yk -y)]dt =
a
=j[p(y'k2" 2У'кУ' + y'J)+ 2py’(y'k - y')]dt +
+/[я(ук2 - 2yty + yJ)+ 2qy(yk - y)+ 2f(yk - y)]dt =
a
ЬГ |
2 |
2l |
b |
= J [p(yi |
- У') |
+я (у к - у ) Jdt + 2J [py'(y; - y') +qy(yk - y) + f(yk - y)]dt |
|
1 Согласно [10] равномерной называется сходимость последовательности операторов {Uk}, к = 1,2,... к оператору U по норме [U к - U[ -» 0 рассматриваемого пространства.
2 Буняковский Виктор Яковлевич [4.12.1804 - 30.11.1889] - русский математик. В 1825 году защитил диссертацию на степень доктора математики. Преподавал математику и механику в 1-м кадетском корпусе, Морском корпусе, Институте путей сообщения, Петербургском университете. В 1830 году был избран академиком Петербургской академии наук, в 1864 году - ее вице-президентом. Был почетным членом многих русских ученых
обществ и университетов. |
______________ |
Неравенство Коши - Буняковского: J cpvj/dx £ |
cp3d x ^ £ vj/2dx |
Отсюда следует;
<%*)-<%)■ |[р(у'к -У')* +ч(Ук - y)*|d, |
<341) |
Этот результат получен с учетом того, что
J[py'(y; -y')+qy(yk - y ) + f(yk - у) ^ -
РУ'(Ук-у)] -(Ук-yXpy'J +ЧУ(Ук-у)+г(Ук -у)}<1« =
= [рУ'(Ук -у)1~/(Ук - у){(ру') -q y -fjd t - о .
Первое слагаемое в этом выражении обращается в нуль, поскольку минимум функционала (3.38) ищется в классе допустимых функций, удовлетворяющих граничным условиям (3.23). Второе слагаемое равно нулю вследствие выполнения исходного уравнения (3.22).
Сравнивая выражения (3.40) и (3.41), приходим к выводу, что
М * ) - у ( ф ( ^ - ) И У к)-Ф (у)Г
Поскольку {ук(х)| является минимизирующей последовательностью, то
есть ф Ы - т^ - ^ у) , из приведенного неравенства следует, что
И х)-У к(4 к... >о
независимо от значения аргумента х Что и требовалось доказать.
С еточны й метод |
линейной граничной задачи |
Будем считать, что линейная граничная задача (3.29), (3.30) имеет единственное решение, непрерывное на отрезке [а, Ь] вместе с производными до четвертого порядка включительно.
Идея метода сеток заключается в следующем:
1 Область [а, Ь] задания дифференциального уравнения заменяется дискретной сеточной областью
П„ = j xk = a + k h , k = 0,n, h = ^ ^ J .
2.Граничная задача (3.29), (3.30) заменяется сеточной задачей, то есть производные в дифференциальном уравнении заменяются разностными аналогами; в результате этого исходная задача заменяется системой алгебраических уравнений.
3.Решение системы алгебраических уравнений каким-либо численным методом позволяет определить сеточные (узловые) значения искомой функции.
Воспользуемся аппроксимацией первой и второй производных
dyQO rj y f o j - y f o - .) |
|
|
dx |
2h |
|
dM xk ).. y(xk+,)~ 2y(xt ) + y(xt.,) |
|
|
dx1 |
h1 |
|
и запишем разностный аналог дифференциального уравнения (3.29) |
|
|
У,- - 2у. * Ь л . |
У а С Ь * . <цу, = f .. |
р .« ) |
Очевидно, что такие соотношения можно записать для всех внутренних
узлов сетки П0, то есть для k = l,n - l. Поскольку в уравнениях (3.42) содержится (п+1 ) неизвестное значение искомой функции, необходимо дополнить эту систему еще двумя алгебраическими уравнениями, получаемыми при замене граничных условий (3.30) разностными аналогами:
аоУо =А.
(3.43)
РоУ. + р , ^ ^ ±= в.
Теперь система (п+1) у р а в н е н и й содержит (п+1) неизвестную величину.
Разреш имост ь сист емы алгебраических уравнений м ет ода сет ок
Для упрощения рассмотрим частный случай
а, *Р, = 0.
Введем обзначения:
Ак «1 + | Рк, 2Bk = -2 + hlq k, Ск = 1 - | р к.
Ак(ук) = А кук+, +2Вкук +С кук.,.
Теперь задача (3.42), (3.43) записывается в виде
Ak(yk) = fkh \ k = l,n - l;
(3 44)
Уо=А » У. = в .
Покажем, что соответствующая однородная система алгебраических уравнений
|
|
|
Ak(zk) = 0, |
k = 1,п -1; |
|
|||
|
|
|
2о= 0, z„ =0 |
|
|
(345) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
имеет только тривиальное решение. |
|
|
|
|
||||
Лемма |
3.1. |
Пусть |
на |
отрезке |
[а, |
Ь] |
заданы некоторые числа |
|
Y0.YI.YJ ." |
»y .. |
СРЗДИ которых есть неравные |
между |
собой, и выполнены |
||||
условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
-шах|р(х]1 < 1, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3-46) |
|
|
|
2) |
q(x)^0Vx€[a,b], |
|
|
||
а также имеет место |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ah(Yk)^ 0 |
Vk = U |
4 . |
|
||
Тогда среди чисел |
Y0,YI,Y2,...,Y n |
наиболыцее положительное знгч^цие |
||||||
принимает либо Y0, либо YB. |
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Пусть, напротив, наибольшее положительное знание |
||||||||
Y, = М > 0 |
достигается |
внутри отрезка |
[а, Ь] При |
некотором знании |
||||
l £ s £ n - 1 , причем либо |
Y,., <М, либо YM| <М. Тогда в силу условна I) |
получим |
|
Ль(У.) = A.Y«, + 2 B.Y, +C,YM <(А, +С,)М + 2В,М -(А .+ С .+ 2В .)М , |
|
поскольку А, > О, С, > 0. |
Благодаря условию 2) имеем |
A k(Y .) < [ l + | р . +1 ■" | р . + (-2 +q .h*)]-M - q.h’M S 0.
Пришли к противоречию с исходным предположением, что и доказывает лемму.
Лемма 3.2. Пусть на отрезке [а, Ь) заданы числа Y0,Y|(Y3,...,Yo среди
которых есть неравные между собой, выполнены условия (3.46), а также имеет место
Ak(Yk)$ 0 Vk = l,n -1 .
Тогда среди чисел Y0,YI,Y3,...,YB наименьшее отрицательное значение
принимает либо Ye> либо Y,.
Доказательство этого утверждения проводится аналогично предыдущему.
Теорема 3.7. Пусть выполнены условия (3.46), тогда однородная система алгебраических уравнений (3.45) имеет только тривиальное решение.
Доказательство. В соответствии с формулами (3.45) выполнены условия
лемм 3.1 и 3.2 |
одновременно. В этом случае наибольшим и наименьшим |
||||
значениями |
являются либо Zg, |
либо z u. Но |
согласно формуле |
(3.45) |
|
z0 = ze = 0 . |
Это |
означает, что и |
все остальные |
zk =0, k = 1,n - l . |
Таким |
образом, система уравнений (3.45) имеет только тривиальное решение, и поэтому ее определитель отличен от нуля. Следовательно, исходная система линейных алгебраических уравнений (3.44) имеет единственное решение. Что и требовалось доказать.
О ценка порядка аппроксимации
Разложим решение задачи (3.29), (3.30) в ряды Тейлора вблизи точки хк:
Разреш имост ь сист емы алгебраических уравнений м ет ода сет ок
Для упрощения рассмотрим частный случай
«I =Р, = °
Введем обзначения:
Ак = 1 + |Рк. г в , — 2+ haqk. с к = 1 - | Рк.
^ь(Ук) =^кУк+1 +2Вкук +Скук. |.
Теперь задача (3.42), (3.43) записывается в виде
Ль(Ук) = ^ Ь 2»1 к = 1, п - 1;
(3 44)
Уо=А, у„ = В.
Покажем, что соответствующая однородная система алгебраических уравнений
|
|
|
Ah(zk) = 0, |
k = l,n —I; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(3.45) |
|
|
|
zo = 0 , zn = 0 |
|
|
||
имеет только тривиальное решение. |
|
|
|
||||
Лемма |
3.1. |
Пусть на |
отрезке |
[а, Ь] |
заданы некоторые числа |
||
Y0,Y,,Y2,...,Y n, |
среди |
которых есть неравные |
между |
собой, и выполнены |
|||
условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
-тах |р (х )|< 1, |
|
|
|
|
|
|
|
2 *ix J |
|
|
(3.46) |
|
|
|
2) |
q(x)^0Vx € [a,b], |
|
|
|
а также имеет место |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A„(Yk)^ 0 |
Vk = H nM . |
|
||
Тогда среди чисел |
Y0,Y|,Y2,...,Y n |
наибольшее положительное значение |
|||||
принимает либо Y0, либо Yn. |
|
|
|
|
|||
Доказательство. Пусть, напротив, наибольшее положительное значение |
|||||||
Y, = М > 0 |
достигается |
внутри отрезка [а, Ь] |
при |
некотором значении |
|||