284

тремя численными методами: 1) методом деления пополам; 2) методом простой итерации; 3) методом Ньютона. Каждый из указанных методов позволяет определить решение (если оно

ному виду F x f x zk 0 . После этого выбираем для каждого сезона k отрезок x ak ;bk . К полученному уравнению на

выбранном отрезке применяем численные процедуры и определяем значения сезонных капиталовложений.

Схематическое представление алгоритма каждого численного метода создается при помощи блок-схем в текстовом редакторе Microsoft Word. Реализация численных алгоритмов производится на одном из языков программирования, например Turbo Pascal.

Полученные для каждого сезона работы предприятия капиталовложения сохраняются в текстовый файл. Для последнего сезона n производится расчет погрешностей каждого метода по номеру итерации. Погрешности и номера итераций также сохраняются в текстовый файл.

4.2.4.Поиск решения при помощи Microsoft Excel

Из сохраненных текстовых файлов данные передаются в документ Microsoft Excel. В результате передачи должны получиться шесть таблиц: таблицы значений капиталовложений за каждый сезон и соответствующих значений прибыли для каждого численного метода; таблицы погрешностей каждого численного метода в зависимости от номера итерации, рассчитанные для сезона n.

После передачи данных из текстовых файлов производится решение поставленной задачи при помощи одного из встроенных алгоритмов поиска табличного процессора Microsoft Excel. Проще говоря, при помощи Microsoft Excel находим корни по-

171

elib.pstu.ru

лученного уравнения для каждого сезона k на отрезке x ak ;bk . При этом образуется еще две таблицы: таблица зна-

чений капиталовложений за каждый сезон и соответствующих значений прибыли и таблица погрешностей от номера итераций для последнего сезона.

4.2.5.Построение графиков

По полученным таблицам данных строятся восемь графиков: графики изменения прибыли при изменении капиталовло-

жения z f x ; графики изменения погрешности при увеличе-

нии числа итераций для каждого использованного численного метода. Построение производится в табличном процессоре

Microsoft Excel.

4.2.6.Анализ результатов

После решения задачи всеми тремя предложенными численными методами и Поиском решения MS Excel необходимо проанализировать полученные результаты. Первым делом нужно удостовериться в правильности реализации методов и правильности использования MS Excel. Каждый метод имеет свои особенности и ограничения. Например, для метода Ньютона и простых итераций важным условием сходимости является ограниченность производной функции. Основным параметром оценки правильности реализации методов является качественное и количественное соответствие полученных каждым методом результатов. Если все методы дают, с точностью до погрешности, одинаковые значения корня уравнения для каждого сезона работы предприятия, то можно смело говорить об их верной реализации.

Количественное расхождение результатов, когда один метод находит одно решение, а другой – другое, может произойти при неверном выборе отрезка, на котором производится поиск корня уравнения. Все предложенные методы позволяют отыскать

172

elib.pstu.ru

только один корень на выбранном отрезке. Если на отрезке имеется несколько корней, то разные методы могут сходиться к разным решениям. При этом очень важным фактором является начальное приближение, первая точка, выбранная в качестве решения уравнения. Если методы верны, то при варьировании начального приближения они дадут количественно одинаковые результаты.

При качественном различии результатов один метод находит корень уравнения на выбранном отрезке, а другой метод не находит решения на этом же отрезке. Такое расхождение явно говорит о неправильной реализации одного из методов. При этом нужно понимать, что вовсе не обязательно метод, который не находит решения, является неверным. Для устранения неурядиц с вопросом о том, существует ли решение на данном отрезке, советуем очень точно построить график исследуемой функции на этом отрезке. Для построения графика нужно использовать MS Excel или любое другое программное обеспечение, но построение вести при достаточно мелкой сетке, то есть строить график по как можно большему числу точек. Выбирая отрезок, на котором будет производиться поиск решения, необходимо учитывать особенности исследуемой функции. При том, что все функции являются монотонными, многие из них имеют точки разрыва, расположение которых можно легко определить. Кроме того, большинство функций обладает периодичностью, а период может быть как очень большим, так и очень маленьким. Поэтому, если построить функцию на грубой сетке, не факт, что не будет пропущено несколько периодов ее изменения.

Возможен вариант, когда метод находит корни только для некоторых сезонов работы предприятия. Например, из 10 сезонов для первых 6 корни найдены, а для остальных нет. Или для нескольких последних сезонов найденные корни имеют одинаковое значение. Такая ошибка может возникнуть, опять же, изза неправильного выбора отрезка для поиска решения или в результате плохой реализации самого метода. Например, произ-

173

elib.pstu.ru

водная функции на выбранном отрезке может иметь высокие значения. В этом случае метод простых итераций нужно реализовывать с учетом этих значений.

Многое в решении задачи зависит от начального значения капиталовложения x0 и прогноза дальнейшего изменения при-

были предприятия. Нужно заметить, что прибыль не обязательно должна возрастать. Если функция прибыли монотонно убывает, значит, необходимо прогнозировать спад прибыли. Чтобы не ошибиться с выбором начального приближения и значениями планируемой прибыли для последующих сезонов работы, нужно построить исходную функцию на достаточно большом отрезке. Выбрать отрезок, где функция имеет более гладкий характер, а затем построить функцию на этом отрезке. Если функция при детальном построении ведет себя слишком скачкообразно, то выбрать другой отрезок. Путем такого нехитрого перебора можно отыскать гладкий отрезок, выбрать на нем начальное приближение и исходя из них делать прогноз изменения прибыли предприятия.

Кроме анализа самих результатов необходимо проанализировать сами методы, а точнее их сходимость. Для любой предложенной в задании функции можно подобрать такие отрезки для каждого сезона работы предприятия, на которых будут найдены корни уравнений. Если же метод не находит корни, то нужно привести объяснение этому факту. Анализ сходимости проводится только для решения на последнем сезоне работы предприятия. Для этого сезона по каждому методу отыскиваются последовательные значения корней уравнения. Разница между последующим значением и предыдущим выбирается в качестве оценки погрешности. В результате получается таблица, по которой можно построить график. График представляет собой убывающую кривую, нижняя граница которой определяется заданной погрешностью/точностью отыскания корня. Для получения сопоставимых результатов сходимости необходимо для ка-

174

elib.pstu.ru

ждого метода выбрать одинаковую величину погрешности/точности. Чем меньше необходимо шагов для достижения нужной погрешности и чем быстрее убывает график погрешности, тем лучше считается метод. Нужно отметить, что сходимость методов во многом зависит от начального приближения. Если взять точку, близкую к корню, за начальное приближение, то корень будет найден быстрее. Таким образом, начальное приближение, отрезок для отыскания решения и погрешность/точность для всех методов должны быть одинаковыми. Только в таком случае их можно правомерно сравнивать.

Итак, при анализе результатов необходимо ответить на вопросы: найдено ли решение всеми методами или нет; для всех ли сезонов были получены решения; одинаковые ли решения получены разными методами; насколько быстро по числу шагов получено решение разными методами; насколько монотонно изменятся погрешность методов. Если решения для всех методов и сезонов не одинаковы, то дать ответ на вопрос, почему.

4.3. Оформление отчета

Отчет по работе представляется для проверки в электронной форме на любом носителе информации с выходом на ПК или по электронной почте. Отчет должен содержать:

1)титульную страницу с указанием учебного заведения, наименования работы, группы и Ф.И.О. студента, выполнявшего работу, а также номера варианта задания;

2)оглавление, созданное автоматически MS Word;

3)постановку задачи. В постановке должны фигуриро-

вать: вид функции прибыли z f x и значение общего числа

рассматриваемых сезонов работы предприятия n, а также принятые значения x0 , z0 и ряд необходимых сезонных значений

прибыли (см. табл. 4.1); 4) краткие сведения из теории реализуемых численных

методов и блок-схемы их алгоритмов;

175

elib.pstu.ru

5)методику определения отрезка x ak ;bk , на котором

производится решение задачи для каждого сезона k;

6)тексты программ, реализующих алгоритмы численных

методов;

7)отыскание решения при помощи таблиц MS Excel;

8)восемь таблиц данных;

9)восемь графиков;

10)анализ результатов, выводы;

11)список использованной литературы.

Отчет оформляется в виде документа MS Word. При оформлении следует использовать следующие параметры MS Word:

параметры страницы поля: верхнее/нижнее – 2см, левое – 3см, правое –

1,5см

параметры шрифта шрифт: Times New Roman

размер: 14 абзац

выравнивание: по ширине первая строка: 1,25см

межстрочный интервал: полуторный положение на странице

запрет висячих строк запрет автоматического переноса слов

остальные параметры по умолчанию.

Блок-схемы, входящие в состав отчета, необходимо чертить при помощи встроенных возможностей редактора MS Word. Таблицы данных и графики необходимо создавать как объекты MS Excel, а затем переносить их в отчетный документ MS Word. Все таблицы и графики должны быть подписаны. Обязательно присутствие нумерации страниц в отчете.

176

elib.pstu.ru

4.4. Определение номера варианта

Выполнение работы производится студентами по индивидуальным вариантам. Варианты определяются последними двумя цифрами шифра зачетной книжки студента или по усмотрению преподавателя. Номер варианта (если не указано иначе) выбирается следующим образом. Число, состоящее из двух последних цифр шифра, делится на число предлагаемых вариантов 40. Номером варианта будет числитель результата. Например, для но-

мера зачетки 149 необходимо выполнить: 4940 1409 9-й вари-

ант, а для номера 012 – 1240 1240 12-й вариант.

4.5.Варианты заданий

Втабл. 4.2 предложены варианты заданий.

Таблица 4.2 Варианты заданий для самостоятельного выполнения

177

elib.pstu.ru

Продолжение табл. 4.2

178

elib.pstu.ru

Продолжение табл. 4.2

elib.pstu.ru

Окончание табл. 4.2

180

elib.pstu.ru