История науки

1.3.Математическая обработка измерений. Гаусс

Кконцу XVIII в. экспериментальная основа естествознания все более рас­ ширялась. Эксперименты проводились во всех естественно-научных на­ правлениях.

При проведении экспериментов с большим числом измерений особое значение имеют методы обработки результатов этих измерений. Такие ме­ тоды обработки необходимы, в частности, при проведении геодезических работ — при измерении расстояний, углов, превышений. Результат измере­ ний непременно содержит ошибку, являющуюся следствием весьма многих факторов, среди которых несовершенство измерительной аппаратуры, име­ ющей ограничения по точности, ошибки наблюдения, ошибки, лежащие в основе применяемого метода измерений и другие. Ошибки измерений ис­ следуются методами теории вероятностей. Первая попытка подвергнуть ве­ роятностному анализу погрешности физических измерений принадлежит Галилею. Задачи вероятностного характера решали Ферма, Паскаль, Гюй­ генс, Декарт. Теория вероятностей развивалась в связи с азартными игра­ ми, решением задач, связанных со страхованием, демографией, теорией стрельбы. Однако качественно новое значение теория погрешностей (оши­ бок) измерений получила на основе решения главным образом астрономи­ ческих и геодезических задач. Наиболее эффективный метод обработки ре­ зультатов измерений — способ наименьших квадратов был разработан не­ мецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 — 1855). Этот метод лег в основу теории математической обработки результатов измерений, по­ лученных при проведении различных физических экспериментов.

Карл Гаусс родился в бедной семье в маленьком доме в Брауншвейге. Отец Гаусса быт фонтанным мастером, но занимался и другими ремеслами. С са­ мого раннего детства Карл поражал своих домашних феноменальными спо­ собностями к счету. Гаусс впоследствии в кругу друзей часто говаривал в шут­ ку, что умел считать раньше, чем говорить. Биографы Гаусса описывают та­ кой забавный случай. В числе других своих занятий отец Гаусса в летнее вре­ мя брался за выполнение каменщицких работ. Для этого он нанимал рабо­ чих и каждую субботу аккуратно рассчитывался с ними. Расчет был сложен, поскольку за внеурочную работу в дни отдыха причиталась дополнительная оплата. В один из субботних вечеров, когда предстояла выплата причитавших­ ся рабочим денег, отец Гаусса, готовый приступить к выплате, вдруг услышал возглас трехлетнего Карла: «Отец, счет неверен, должно быть столько-то», и мальчик назвал сумму. Оказалось, что Карл, уже уложенный для сна в постель, вместо того, чтобы спать, следил за вычислениями отца и проверял расчеты. После проверки вычислений изумленный отец действительно обнаружил ошибку, и число, названное Карлом, оказалось верным.

В1784 г. семилетний Гаусс поступил в Екатерининскую народную шко­ лу. Там он сразу же стал выделяться своими математическими способностя­ ми. На него обратили внимание высокопоставленные лица в Брауншвейге.

В1788 г. Гаусс перешел в гимназию, сразу во второй класс. Внимание и материальная поддержка герцога Брауншвейгского Карла Вильгельма Фер­

значение получили его исследования по определению орбиты открытой в 1801 г. планеты Церера. Поначалу открытое светило посчитали кометой. Когда же открывший Цереру астроном Пиацци изменил свое мнение и выс­ казал предположение, что это планета, светило было потеряно астронома­ ми. Чтобы сделать «вторичное открытие» новой планеты более достижимым, астрономы должны были обратиться к вычислению ее орбиты, располагая лишь небольшим количеством наблюдений, проведенных Пиацци. Гауссу удалось вычислить параметры орбиты Цереры, по которым она была, как бы вторично, открыта. Вскоре была открыта еще одна малая планета, на­ званная Палладой, орбиту которой вычислил Гаусс.

Летом 1807 г. Гаусс принял предложение занять место директора обсер­ ватории Геттингенского университета и на всю свою жизнь свел свою судь­ бу с этим университетом.

Впервые годы пребывания в Геттингенском университете главным пред­ метом занятий Гаусса было сочинение «Теория движения небесных тел по коническим сечениям, окружающим Солнце», в котором излагались мето­ ды вычисления орбит планет и комет, более совершенные, чем методы Нью­ тона и Эйлера. В этом же сочинении Гаусс впервые дал свое изложение ос­ нований способа наименьших квадратов, которым он владел, как уже отме­ чалось, с1795 г. Несомненно, что к методу наименьших квадратов Гаусса привела практическая потребность обработки измерений таким образом, чтобы они приводили к наилучшей точности. Необходимо отметить, что к способу наименьших квадратов независимо от Гаусса пришел французский математик Лежандр, но приоритет признан за Гауссом.

В1818—1832 гг. большое место в жизни Гаусса занимали геодезические исследования Ганноверского королевства. Экономическое и военное зна­ чение карт в начале XIX века существенно возросло, поэтому геодезичес­ кие работы хорошо финансировались. Основная методика геодезических съемок (триангуляции) была по сути своей проста. Начинающаяся с неко­ торой основной линии точно определенной длины территория, подлежащая геодезической съемке, покрывалась сетью треугольников. Стороны этих тре­ угольников определялись пределами видимости, то есть всегда должны были быть в этих пределах. Координаты точек на местности вычислялись путем решения треугольников, при этом каждая «точка», координаты кото­ рой определялись, должна быть видна с двух направлений, а еще лучше бо­ лее чем с двух. Для контроля измерялись углы сравнительно больших тре­ угольников, охватывающих малые. Такая работа требовала огромного чис­ ла измерений и предполагала большой объем вычислений. После 1815 г. практически все страны центральной Европы предприняли геодезические съемки. Гаусс, уже имевший опыт геодезических съемок, составил меморан­ дум для своего правительства, в котором описал проект съемок. Вскоре пос­ ледовал положительный ответ, и Гаусс стал директором проекта. Специфика топографии Ганновера создала дополнительные трудности для съемок. Плоская местность Ганноверского королевства была покрыта лесами. Не­ обходимых для проведения измерений просек не хватало. Для облегчения измерений Гаусс придумал специальный прибор — гелиотроп, который стал

любимым изобретением Гаусса. В этом приборе использовались подвижные небольшие зеркала, отражавшие рассеянный солнечный свет и передавав­ шие его в виде узкого луча с одного пункта наблюдений на другой. Гелио­ тропы позволяли просматривать гораздо большие расстояния и работать при пасмурной погоде. Интересно отметить, что Гаусс считал гелиотроп подхо­ дящим средством связи между землянами и населением других планет. Га­ усс всерьез рассматривал такой вопрос, считая возможным существование цивилизаций на планетах и Солнце.

При проведении Ганноверской триангуляции Гаусс широко использовал метод наименьших квадратов, наиболее зрелое изложение, которого дано им

вработе «Теория комбинаций наблюдений, подверженных наименьшим ошибкам», часть I (1821 г.) и часть II (1823 г.).

Остановимся вкратце на несколько необычном названии метода обработ­ ки измерений — «способ наименьших квадратов».

Известно, что если произведено несколько измерений одной и той же величины, то за значение измеряемой величины часто принимают арифме­ тическую середину. Это правило оправдывается тем важным обстоятель­ ством, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифмети­ ческой середины меньше, чем сумма квадратов уклонений тех же измере­ ний от всякой другой, произвольно взятой величины. Вот почему сам спо­ соб вывода арифметической середины и все его следствия, имеющие колос­ сальное значение в методах обработки результатов измерений, называются способом наименьших квадратов.

Врамках способа наименьших квадратов Гауссом была выведена функ­ ция распределения вероятности ошибок измерений, носящая название «га­ уссовское распределение». Эта функция имеет фундаментальное значение

ииспользуется для описания случайных процессов в самых различных их проявлениях — в измерительной технике, при описании помех и сигналов

всистемах передачи информации, при расчете вероятностей тех или иных событий и во многих других случаях.

Работы Гаусса по математической обработке результатов измерений при­

вели геодезию в самую тесную связь с астрономией, позволили распростра­ нить методы вычислений, использовавшиеся традиционно в землемерии, на решение разнообразных измерительных задач.

Метод наименьших квадратов стал для Гаусса не только теоретическим средством в экспериментальных исследованиях. Гаусс все больше придавал ему мировоззренческий характер, считал метод наименьших квадратов са­ мым надежным свидетельством связи математики с природой. Гаусс при­ шел к убеждению, что любое природное явление можно исследовать мате­ матическими методами, что степень математизации естественных наук ука­ зывает на меру понимания законов природы. Кроме метода наименьших квадратов, Гаусс считал важнейшими для понимания природы теорию по­ тенциала, включая закон Кулона, вариационное исчисление, экстремальные принципы, теорию чисел.

Ганноверская триангуляция привела Гаусса к двум крупным теоретичес­ ким работам, а именно: «Определение разности широт между обсерватори­

ями Геттингена и Альтона из наблюдений с зенитным сектором Рамсдена» (1828 г.) и «Исследования по высшей геодезии», часть 1 (1843 г.) и часть II (1846 г.). Обе эти работы оказали огромное влияние на развитие геодезии и картографии.

В работе «Определение разности широт...» развит метод наименьших квадратов применительно к определению сжатия земной поверхности. В первой части «Исследований...» рассмотрен частный случай отображения эллипсоида на сферу. Одним из направлений высшей геодезии является за­ дача отображения неплоских поверхностей на плоскость. Разработанный Гауссом математический метод позволяет применить в геодезии обычную сферическую тригонометрию.

Дифференциальная геометрия, в рамках которой решаются задачи ото­ бражения поверхностей, развивалась одновременно с интегральным и диф ­ ференциальным исчислением. Основы дифференциальной геометрии были заложены Эйлером и Лежандром. Гаусс активно включился в решение од­ ной из важнейших проблем картографии — поиск наилучшей проекции Земли на плоскость. В своем труде «Решение в общем виде задачи: изобра­ жение частей заданной поверхности на другой заданной поверхности с со­ хранением подобия в бесконечно малых частях», представленном на кон­ курс Датской Академии наук, Гаусс выводит общий критерий конформно­ сти для отображений из произвольных областей в произвольные. По фор­ мулировке самого Гаусса, задача состояла в том, чтобы «образ был похож на оригинал в своих мельчайших частях».

Геодезическая деятельность Гаусса постоянно пробуждала его интерес к основам геометрии, в частности к постулату Евклида о параллельных пря­ мых. Гаусс был убежден в возможности построения неевклидовой геомет­ рии, но всю свою жизнь помалкивал о своих убеждениях, считая дискуссии по этому вопросу пустой тратой времени.

Первое математически корректное изложение свойств неевклидовой гео­ метрии было опубликовано в 1831 г. Яношем Больяи. Отец Яноша Больяи был другом Гаусса. В письме к нему от 6 марта 1832 г. Гаусс отмечает, что знает результаты Яноша уже 30-35 лет, и поэтому не может хвалить работу Яноша, потому что «хвалить ее значило бы хвалить самого себя» (это заме­ чание не делает чести Гауссу).

Гаусс был одним из первых математиков в Европе, кто понял и оценил исследование Лобачевского по неевклидовой геометрии, опубликованное в брошюре «Геометрическое исследование по теории параллельных линий», вышедшей в Берлине в 1844 г. Именно в связи с идеями Лобачевского Га­ усс начал учить русский язык. Его любимым поэтом был Пушкин.

В область физических исследований ввел Гаусса Вильгельм Вебер — про­ фессор физики Геттингенского университета. Вместе с Вебером Гаусс при­ нимает участие в решение конкретных технических и инженерных задач, од­ нако и здесь Гаусс остается верным себе — решение технических задач сопро­ вождается глубокими теоретическими исследованиями. Гаусс развивает «те­ орию потенциала», усматривая в законе Кулона проявление фундаменталь­ ного взаимодействия, присущего Природе. Большое внимание Гаусс уделял

вселенскую систему права, проникнутую вечной истиной. Окончание жиз­ ни после смерти Гаусс считал не совместимым с этой системой права. Он считал так:

«Если бы задача Высшего Существа в создании на отдельных небесных телах тва­ рей с исключительной целью заставить их прожить 80 или 90 лет для того толь­ ко, чтобы приготовить им ... наслаждения, то это была бы жалкая задача. Живет ли душа 80 или 80 миллионов лет, раз она должна погибнуть — не важно, так как разница в промежутках времени в том или другом случае составляет, в сущнос­ ти, незначительную отсрочку. В конце концов, время все-таки должно пройти. Поэтому поневоле приходишь к взгляду (в пользу которого говорит очень мно­ гое другое даже и без строго научного обоснования), что наряду с этим матери­ альным миром существует еще и другое чисто духовное'мироустройство с таки­ ми же многоразличиями, как и то, в котором мы живем — к нему-то мы и долж­ ны быть сопричислены».

Завершая обзор, посвященный математизации естествознания, отметим, что аппарат математического анализа, разработанный Ньютоном и Лейбни­ цем, и математические обобщения и развития, сделанные Эйлером, Даламбером, Лагранжем, Лапласом, Гауссом и другими математиками XVIII в., создали методическую основу для исследований в самых различных направ­ лениях естествознания и прежде всего в механике, термодинамике, элект­ родинамике, оптике.

1.4. Преобразование Фурье

Загляните в любой учебник для высшей школы по технической специаль­ ности. Наряду с интегральными и дифференциальными выражениями вы непременно увидите математические преобразования, в которых использу­ ются ряды Фурье или интегралы Фурье. В математике разработан аппарат Фурье — анализа, ставший одним из наиболее распространенных и эффек­ тивных инструментов при описании и исследовании самых различных про­ цессов.

Жан Батист Жозеф Фурье (1768 — 1830) родился в семье портного в Оксере (Франция). В восемь лет он остался круглым сиротой, но по ходатай­ ству одной знатной дамы был определен в военную школу, находившуюся в управлении монашеским орденом бенедиктинцев. Увлечение математи­ кой пришло с первых уроков. Жану не было достаточно тех знаний, кото­ рые давались на уроках математики и он стал заниматься самостоятельно, часто тайно, по ночам. Несмотря на отличные успехи в школе, желание Фу­ рье стать после окончания школы артиллерийским офицером не было удов­ летворено из-за неблагородства происхождения. Другим из двух возможных путей, определяемых выпускникам школы бенедиктинцев, была карьера священника. Фурье был определен в аббатство Сент — Бенуа, но постриже­ ние не состоялось. Шел 1789г. Революционные события застали Фурье в