Многофазный поток в скважинах

Существует множество аппроксимаций уравнения Коулбрука, одним из самых точ­ ных и простых среди них является аппроксимация Зигранга и Сильвестера [10].

В большинстве случаев формулу (2.19) можно использовать вместо (2.17).

На рис. 2.2 приведена диаграмма зависимости значений коэффициента трения от числа Рейнольдса и относительной шероховатости, построенная на основе фор­ мул (2.12) и (2.17).

Подчеркнем, что значение е невозможно установить с помощью непосредственных замеров. Оно соответствует шероховатости песчаного зерна, вызывающей аналогичное трение. Единственный способ установить значение е — это сравнить характеристики обычной трубы с трубой, имеющей шероховатость, соответствующую зерну песка, что и сделал Муди. Результаты его исследований (рис. 2.3) до сих пор являются актуаль­ ными. Однако они могут уточняться в зависимости от наличия парафиновых отложе­ ний, эрозии или коррозии. Если непосредственно замерить падение давления, можно рассчитать коэффициент трения с учетом числа Рейнольдса и установить значение от­ носительной шероховатости по диаграмме Муди (рис. 2.2). И далее использовать его во всех прогнозных расчетах до тех пор, пока не будет получено новое значение e/d.

Довольно часто при проектных расчетах требуется знание первоначальных значений шероховатости. Для новой трубы рекомендуется использовать значение г = 15,24 мкм. Для построения кривых градиента давления обычно используют значе­ ние 45,72 мкм. Если трубопровод эксплуатируется в такой среде, которая значительно изменяет шероховатость стенок, то для такой «очень грязной трубы» используется зна­ чение шероховатости, равное 228,6 мкм [11]. Для большинства скважин составляющая градиента давления по трению очень мала, по сравнению с гравитационной состав­ ляющей. Следовательно, в качестве значения абсолютной шероховатости можно брать приближенные значения.

Пример 2.1. Расчет падения давления при течении однофазной жидкости.

Необходимо найти изменение давления в водонагнетательной скважине. Известны следу­ ющие параметры:

L = 2 438,4 м,

qw = 3 180 м3/сут, в = -90°, р-ш = 1 000 кг/м3, d = 0,127 м,

p w — 10“ 3 Па-с, £ = 18,29-10-° м.

И Г3

Поскольку Nile > 2 000, поток является турбулентным. Относительная шероховатость трубы равна:

£ 18,29-10-° = 0,000144. d 0,127

2.4.3.Однофазный поток газа

Если по стволу скважины течет сжимаемый флюид, его параметры (например, плотность, скорость и др.) существенно зависят от перепада давления. Самым рас­ пространенным методом расчета гидродинамического забойного давления в газовых скважинах является метод Каллендера и Смита [12].

Пренебрегая кинетической составляющей, уравнение (2.5) преобразуем к виду:

Для газов характерны следующие соотношения для уравнения состояния (зависимости плотности от давления) скорости и объемного расхода газа через сечение скважины при нормальных условиях:

р = p M /Z R T , v = q/A, q = qHymBg, В д = pHy T Z /Т Нур.

Подставляя данные соотношения в уравнение (2.20) и разделяя переменные, получаем1:

Р

Размерное уравнение (2.21) справедливо для любой системы единиц.

Подставляя в него параметры, размерность которых соответствует международной системе СИ, и интегрируя левую часть, получим2

3 Шкала Реомюра использовалась в России до 30-х годов XX в., когда термометры Реомюра были заменены термометрами со шкалой Цельсия: 1° R = 5/4° С. — Прим. ред.

Заметим, что для того, чтобы в конечном счете проинтегрировать правую часть уравнения (2.22), необходимо сделать дополнительные уточнения, касающиеся значе­ ний Z, Т и / . Значение I для каждого промежуточного давления р, лежащего в пределах между ptj и pwf , можно найти с помощью численного интегрирования по правилу тра­ пеций. Для удобства вычислений предположим, что скважину условно можно разделить на две части, так что половинной глубине скважины соответствует среднее значение давления pmf. Тогда интеграл в правой части уравнения (2.22) можно разделить на сумму двух интегралов, каждый из которых заменим на его приближенное значение:

Условно разделим скважину на две части и запишем уравнения типа (2.25) отдельно для верхней и нижней частей скважины.

Для верхней половины скважины:

и Смит [12] доказали, что в случае применения двухшагового подхода и численного интегрирования по формуле Симпсона [13] результат получится настолько же точным, как и в случае применения четырехшагового подхода, для которого результирующее уравнение имеет вид:

4,2473L = P,fj (Iwf + Aim} + It/). (2.28)

Приведем пример использования метода Каллендера и Смита по расчету гидроди­ намического забойного давления в газовых скважинах.

Пример 2.2. Расчет падения давления однофазного потока газа.

На основе данных по скважине и свойствам газа рассчитаем гидродинамическое забой­ ное давление в газовой скважине, используя метод Каллендера и Смита для двух расчетных сегментов.

Известны следующие параметры:

Ъ = 0,75, L = 3 048 м,

Tf = 118° С, Ptj = 137,8 бар, Тч = 43,3° С,

£ = 21,34-10° м, d = 0,002 м,

Цнс = 0,139 • 10° м'*/сут, Д = 0,012 10~:*Па-с = 0,012 сП, в = 90°

Решение будем строить в два этапа.

Опять недостаточно близко к p ^ f . Значит, рассчитаем еще раз p ^ j (3й шаг). Положим p*mj = 164 бар.

Вычислим Imj из (2.23): при p ^ f = 164 бар, Т = 81° С и Z = 0,796,

Следовательно, давление в середине скважины равно 164 бар.

Нижняя половина скважины.

Вычислим давление на забое скважины p^j (Iй шаг):

p*wf = Pm/( 1 + 2,5 • lO5L/2sin0) = 164[1 + (2,5 • l(T 5)(5000sin90°)] = 184 бар.

Рассчитаем Iwf по формуле (2.23). При p*wf = 184 бар, Т = 118,3° С и Z = 0,867,

184

4,4378

14,512^ = 14’51 (705) (0,867)

И

___________4,378_________

199,39.

mf ~ (0,001)(4,378)2 + 0,00279

Вычислим pwf из (2.27):

Вычислим pwf по формуле (2.27):

Это достаточно близко к значению 188,9 бар, следовательно, гидродинамическое забойное дав­ ление можно считать равным 189 бар.

ли неньютоновской (вязкопластической) жидкости, при этом принимаются следующие предположения [14]:

1)Смесь является однородной.

2)Проскальзывание между фазами отсутствует, поэтому фактические значения объ­ емных содержаний каждой из фаз соответствуют входным значениям объемных долей1*

3)Реологические свойства дисперсной водонефтяной системы можно описать с по­ мощью степенной модели Оствальда В. [15].

Степенная модель. Степенную зависимость между касательными напряжениями

искоростью деформации (скоростью сдвига) можно выразить соотношением:

Если показатель степени п' равен единице, уравнение (2.29) описывает поведение нью­ тоновской жидкости, а значение К ' равно постоянной вязкости р? Для обычной водо­ нефтяной смеси п ' меньше единицы, и уравнение (2.29) описывает поведение псевдопластических флюидов (сдвиговое течение с уменьшением вязкости). Для некоторых других водонефтяных смесей значение n f может превышать единицу, в этом случае уравнение описывает «загустевающий» при сдвиге флюид (модель делатантной жидко­ сти)3 Как правило, заранее нельзя сказать, какими вязкостными свойствами обладает смесь, но это можно определить экспериментальным путем с применением соответ­ ствующего вискозиметра.

Подобные испытания проводят для конкретных эксплуатационных условий: при определенных значениях объемной доли воды, температуры и распределения размеров капелек диспергированной фазы4 (либо скорости смешивания фаз). После установления свойства смеси можно рассчитать составляющую градиента давления по трению для потока в трубе данной дисперсной водонефтяной смеси.

Универсальное число Рейнольдса. Понятие «универсального числа Рейнольдса» для вязкопластических флюидов ввели Мецнер и Рид [16]. Формула (2.10) определяет стандартное выражение для числа Рейнольдса, которое также можно преобразовать к виду:

где rw — касательное напряжение на стенке трубы для ламинарного потока, а величи­ на 8v/d — фактическая скорость сдвига для ньютоновской жидкости. Таким образом, соотношение [rw/(8v/cl)\ соответствует ньютоновской (динамической) вязкости р.

Зависимость между фактической и кажущейся скоростями сдвигового напряжения

1В этом случае предполагается и несжимаемость обеих фаз. — Прим. ред.

‘ Речь идет о коэффициенте динамической вязкости. — Прим. ред.

3Коэффициент пропорциональности между вязким напряжением и скоростью сдвига называется ко­ эффициентом кажущейся вязкости. Как видно из рис. 2.4., псевдопластические и дслатантные жидкости сходны непостоянством значений коэффициента кажущейся вязкости и отсутствием предельного коэффи­ циента сдвига. — Прим. ред.

4Свойством делатантности могут обладать и среды, которые Ие относятся, вообще говоря, к диспер­ гированным. — Прим. ред.

где п ' — показатель кривизны логарифмического графика зависимости rw от 8v/d, который часто называют показателем текучести. При этом соответственно для ненью­ тоновской жидкости имеем соотношение:

и К ' = р уравнения (2.33) и (2.34) сводятся к стандартным выражениям для числа Рейнольдса и динамической вязкости ньютоновского флюида.

Вязкопластичный коэффициент трения. В общем случае алгоритм расчета ко­ эффициентов трения для вязкопластических флюидов аналогичен алгоритму для нью­ тоновских жидкостей.

Ламинарный поток. Согласно методу Мецнера и Рида [16], коэффициент трения Фаннинга для вязкопластичного ламинарного потока рассчитывается следующим об­ разом:

Турбулентный поток в гладких трубах. Додж и Мецнер [17] вывели следующее соотношение для коэффициента трения:

Турбулентный поток в шероховатых трубах. Говьер и Азиз [18] предложили ис­ пользовать следующую формулу расчета коэффициента трения для степенных псевдопластических флюидов в шероховатых трубах:

Я

где / M - R — коэффициент трения, вычисленный по формуле (2.36); / ' — коэффициент трения Фаннинга для ньютоновского потока в шероховатых трубах, рассчитанный для того же универсального числа Рейнольдса; / ' — коэффициент трения Фаннинга для ньютоновского потока в гладких трубах, опять же рассчитанный относительно универ­ сального числа Рейнольдса. Цилас и др. [19] получили аналогичные выражения для коэффициента трения, применив следующую формулу для псевдопластических флюи­ дов: