Метод конечных элементов. Основы

вая матрица представляет собой квадратную матрицу

J [N]T[N]d (vol) _vol

столбцы которой соответствуют элементам в {а}. Эту матрицу легко определить, рассматривая виртуальную работу сил, соот­ ветствующих сопряженным напряжениям ас, на виртуальных пере­ мещениях. Вторая матрица — это вектор-строка, задаваемая вы­ ражением

J o[N] d (vol) ,

_VOl

где a — несогласованное поле напряжений, записанное здесь в виде строки. Эту матрицу также можно получить, рассматривая виртуальную работу сил, отвечающих несогласованному полю на­ пряжений а и совместимых перемещений.

Полученные выражения для матриц элемента объединяют в со­ отношение, представляющее всю конструкцию, путем суммирова­ нии, идентичного с используемым в прямом методе жесткости. Сох­ раняя для глобального представления то же самое обозначение, что и для элементного, можно выписать вектор сопряженных на­ пряжений в виде

L°J |_N Jd(vol) J |_N J T-|_N J d(vol) vol

Можно считать, что выписанное выражение получается в резуль­ тате приравнивания альтернативных выражений для виртуальной работы.

Чтобы проиллюстрировать данную идею, рассмотрим задачу, изображенную на рис. 9.8. В этом случае для каждого элемента d(vo\)=Adx и

Поэтому для каждого элемента

Заметим, что эта матрица, за исключением постоянного множите­ ля, совпадает с совместимой матрицей массы элемента. Объединим

эти матрицы и получим представление для всей конструкции

О1 2

Кроме того, для каждого элемента, где постоянно напряже­ ние а = ох, имеем

лучаем q(L2/4) L 3 4 1J . Поэтому, согласно подходу, основанному на введении сопряженных напряжений, имеем

Г2 1 01- 1

Это распределение совпадает с точным распределением напряже­ ний на участке 1—2 и отличается от точного решения на участке 2—3 в силу того, что а3 оказалось равным qLI^A, а не нулю.

Можно показать [9.12], что вычисленные указанным выше спо­ собом напряжения минимизируют среднеквадратичное отклонение несовместных напряжений а от поля сопряженных напряжений ос Иными словами, если { а } подсчитывается, как предложено выше, то следующий интеграл достигает своего минимального значения:

vol

Из вышеизложенного вытекает несколько обобщений подхода, ос­ нованного на понятии сопряженных напряжений, два из которых приводятся ниже:

1. Можно использовать согласованные, но несовместные с пере­ мещениями представления напряжений. Это, конечно, приведет к потере преимущества иметь в распоряжении [_ N J на основе уже рассчитанного поля перемещений. Действительно, можно рассмат­ ривать описанный выше подход как «изосопряженное представле­ ние напряжений».

2. Для построения вектор-строки можно использовать отличное от о напряжение. Если можно определить некоторое поле напряже-. ний, которое лучше удовлетворяет локальным условиям равнове­ сия, то, используя его, можно предположительно получить более подходящие сопряженные напряжения.

Требования, возникающие при проектировании, часто таковы, что изложенный выше подход, в котором необходимо строить и обращать матрицу большой размерности, экономически невыго­ ден, и на практике больше опираются на непосредственную интер­ претацию величин напряжений, полученных с помощью матриц напряжений для элемента. Формула a=[S] {А}, где [S] — вообще говоря, функция пространственных координат, задает поле на­ пряжений в терминах указанных координат. Однако для расчетов необходимо иметь формулу вида {a}=[S] {А}, где {а} опять опре­ деляет напряжения в заданных точках. Главной задачей для иссле­ дователя является такое задание этих точек, которое удовлетворя­ ло бы целям проектирования.

Проблема встает особенно остро, если используются треуголь­ ные элементы с постоянным напряжением. По-видимому, для зада­ ния напряженного состояния лучше всего выбирать точки в центре каждого элемента. Однако не имея большого количества элементов, трудно интерпретировать полученный результат. Можно также за­ давать средние значения напряжений в узлах, принадлежащих не­ скольким элементам. В любом случае дискретный вид получаемых результатов подразумевает разумный характер поведения кривых, задающих компоненты напряжения на контуре.

На рис. 9.9 представлены некоторые способы [9.13] интерпрета­ ции рассчитываемых полей напряжений в задачах с треугольными элементами, составляющими прямоугольную сетку. Схема, изоб­ раженная на рис. 9.9(a), позволяет полностью исключить необ­ ходимость использования данных для элемента и приводит к конеч­ но-разностной аппроксимации деформаций при помощи узловых смещений. Так, в точке 3

откуда с учетом уравнений состояния легко подсчитать напряжения. Для другой простой альтернативной схемы представим, что ко­ нечно-элементная модель разделена вдоль сеточной линии, как по­ казано на рис. 9.9 (Ь). Силы взаимодействия Fx. и Fy., действующие

в узлах вдоль этой линии, вычисляются в результате умножения соответствующих узловых перемещений на отвечающие им матрицы жесткости элементов с последующим суммированием так подсчиты­ ваемых сил в каждом узле. Эти силы распределяют, как показано на рис. 9.9(c) (штриховая линия), в виде ступенчатой диаграммы напряжений, которые затем представляются в полигональной фор­ ме (сплошная линия). При построении распределений касательных напряжений используется свойство близости. Так, в точке 2, например, av = F Jat, xXu=FxJat.

Уточнение этой методики осуществляется следующим образом. Для каждой точки записывается уравнение статики, связывающее

9.2.4. Сравнение результатов численного анализа для треугольных элементов

Две задачи, которые долго служили основой сравнения альтерна­ тивных формулировок плоско-напряженных элементов, иллю­ стрируют существенно различные свойства треугольных элементов. Существование этих задач как основы сравнения вытекает из того факта, что они принадлежат тому небольшому количеству плоско­ напряженных задач теории упругости, которые тщательно исследо­ вались с помощью традиционных методов решения.

свойоды

Рис. 9.10. Пластины при распределенной по краю в виде квадратичной функции нагрузке. Сравнение результатов для треугольных элементов.

В первой задаче (рис. 9.10) рассматривается прямоугольная плас­ тина постоянной толщины, к краям которой приложены параболи­ чески распределенные нагрузки. Подробности решения этой задачи на базе предполагаемых полиномиальных представлений напряже­ ний и принципа минимума дополнительной работы приводятся в [9.14]. На вставке рис. 9.10 изображена представительная сетка треугольников с постоянной и линейной деформациями в элемен­ тах (CST- и LST-элементы). (Благодаря симметрии относительно двух осей рассматривается лишь четверть пластины.) Из рисунка также видно, какие еще виды сеток использовались с различным числом степеней свободы.

Представленные на рис. 9.10 численные результаты для сме­ щения точки А в горизонтальном направлении демонстрируют высокую степень точности решений при относительно небольшом числе степеней свободы. Аналогичный характер сходимости и точ­ ность достигаются и при расчете напряжений, хотя, как указыва­ лось ранее, здесь встречаются определенные трудности при интер­ претации полученных численных результатов для напряжений. Решение, полученное на основе применения треугольных элементов с линейным распределением деформаций внутри них, существенно лучше решения, полученного для треугольных элементов с посто­ янными деформациями внутри элементов.

Рис. 9.11. Конечно-элементный анализ консольной балки — треугольные эле­ менты.

На рис. 9.11 представлены результаты, относящиеся ко второй задаче. Рассматривается изгиб консольной балки единичной тол­ щины, к свободному концу которой приложена сила Р. Сила на конце приложена в виде распределенных по квадратичному за-

кону касательных напряжений. Нагрузки представляют собой энергетически эквивалентные силы, приписываемые к узлам (см. гл. 6). На рисунке изображены результаты численного эксперимен­ та для вертикального смещения в нейтральном слое на свободном конце в зависимости от числа степеней свободы в конечно-элемент­ ной идеализации. Здесь в серии расчетов также используются CST- и LST-элементы. Решение, с которым проводится сравнение, берется из [9.15].

В этом случае видно, что использование CST-элементов не поз­ воляет достичь приемлемой точности для числа степеней свободы, не превышающих 200. Результаты для LST-элементов значительно лучше, чем для CST-элементов, однако характеристики сходимос­ ти здесь значительно хуже, чем в предыдущем примере. Резуль­ таты экспериментов, приведенные в [9.3, 9.16], подтверждают ска­ занное. Другие численные решения показывают, что улучшение ре­ зультатов, полученное при использовании треугольных элементов

сквадратичным распределением деформаций в них, по сравнению

стреугольными элементами с линейной деформацией не очень велико.

Приведенные результаты показывают, что при решении основ­

ных задач теории упругости о плоском напряженном состоянии предпочтительнее использовать треугольные элементы с линейной деформацией в них, а преимущества использования треугольных элементов более* высокого порядка не столь очевидны. Каждое та­ кое заключение должно быть смягчено рассмотрением стоимости построения коэффициентов жесткости элементов, размерности урав­ нений, а также возможностей решения глобальных уравнений и возможностей вычислительной машины. Заметим, что, хотя общая задача о плоском напряженном состоянии изучается адекватным образом, описанные ранее формулировки для плоского напряжен­ ного состояния не являются подходящим средством для анализа задач изгиба. Об этом речь пойдет в разд. 9.3.

9.2.5. Альтернативные вариационные принципы при построении треугольных элементов

Простота и достигаемая точность конечно-элементного представ­ ления, основанного на принципе минимума потенциальной энер­ гии (базирующегося на перемещениях), в случае плоского напря­ женного состояния сдерживают развитие конечно-элементных представлений, опирающихся на альтернативные вариационные принципы. Как указывалось в гл. 7, принцип минимума дополни­ тельной работы важен потому, что позволяет установить верхнюю границу для некоторых параметров решения. Однако его развитие и применение ограничиваются возникающими при построении эле­ ментов трудностями и пониманием того факта, что практическое

Наконец, заметим, что для плоского напряженного состояния формулировки на основе функционала энергии Рейсснера облада­ ют теми же преимуществами и недостатками, что и формулировки на основе дополнительной работы. В [9.1] даются примеры приме­ нения подхода с использованием функционала энергии Рейсснера для треугольных элементов.

9.3. Прямоугольные элементы

9.3.1. Представления перемещений

Даже для прямоугольного элемента простейшего вида, имеющего узлы лишь в четырех угловых точках (рис. 9.12), можно сформули­ ровать несколько альтернативных видов матриц жесткости. Число независимых параметров в представлении основного деформиро-

Рис. 9.12. Прямоугольный плоско-напряженный элемент. Типичные узловые силы и перемещения.

ванного состояния равно полному числу обобщенных координат, за исключением числа координат, отвечающих движению тела как твердого целого. В данном случае имеется восемь обобщенных ко­ ординат (перемещения и и v в четырех вершинах прямоугольника) и три моды движения тела как твердого целого. Поэтому полное число параметров, используемых для задания деформированного состояния, равно пяти. За вычетом трех параметров, предназначен­ ных для удовлетворения условиям постоянства деформаций, име­ ется возможность выбора двух дополнительных параметров. В этом разделе рассмотрим два способа их задания.

Выписывая подробно первую матрицу жесткости для прямо­ угольного элемента, выберем поля перемещений и и vy которые изменяются линейно вдоль сторон элемента. Условие межэлемент­ ной непрерывности перемещений будет выполнено, если можно пол­ ностью представить такими элементами плоскую конструкцию или если данный элемент соединяется с CST-треугольными элемен­ тами. В разд. 8.4 было показано, что выбираемые поля перемеще­

ний и= L N J {и} и о= [_ N J {v} задаются двухточечной интерполя­ ционной функцией Лагранжа, где 1= х/х2, г\=у/у3,

Используя уравнения, связывающие перемещения и деформации, получим матрицу [D] из (9.6) п. 9.2.1, коэффициенты которой равны

U r J ^ L - O - ^ ) (l-Ti)iTii-TiJ.

(9.14)

где {и} и {v} в правой части соотношений (9.6) задаются с помощью (9.13Ь, с). Имея [D] и зная для конкретного типа материала (изо­ тропного, ортотропного и т. д.) матрицу [Е], получим из выражения (9.7) матрицу жесткости в виде

[к]= £[D]T [E][D]/<M J.

Для изотропного материала окончательный вид матрицы жесткости в рассматриваемом случае приводится на рис. 9.13.

Интересно изучить основные свойства этой формулировки. Вы­ бранное поле перемещений всюду (внутри элемента и при переходе через границы элементов) непрерывно. Что можно сказать об ус­ ловиях равновесия? Подставляя выражения для и и и, получим следующие остаточные члены:

для уравнения равновесия в направлении оси х\

Е 2

[ц,—Ц2+ Ц3 Vil

для уравнения равновесия в направлении оси у\

£

Видно, что если перемещения задают равномерное расширение (ui=uiy u2= u3l Vi=v2l v3=vA), выписанные выражения обращаются в нуль и имеет место равновесие. Тем самым невязки в выполнении условий равновесия пропорциональны сдвиговым деформациям. Сдвиговые напряжения меняются линейно внутри элемента. Нор­ мальные напряжения постоянны вдоль направлений их действия, но меняются по линейному закону вдоль перпендикулярных на­ правлений.

Представленный на рис. 9.12 элемент является базисным эле­ ментом в семействе лагранжевых плоско-напряженных прямоуголь-

ю*