Строительная механика стержневых систем. Часть 1

4.5.2. Построение линий влияния усилий в стержнях фермы способом проекций

Существует два варианта применения способа проекций. Первый вариант способа проекций применяется, когда два из трех рассеченных стержней параллельны. Второй вариант способа проекций применяется в том случае, когда рассматривается равновесие узла (носит название вырезания узлов).

Рассмотрим ферму на рис. 4.19 с верхним грузовым поясом. Построим л. в. V4–5 и л. в. D5–6 (рис. 4.19, а, б).

1-й вариант способа проекций

Линия влияния V4–5 (см. рис. 4.19, а). Используем сечение I–I. В сечение попало три стержня, два из них – 4–6 и3–5 параллельны. Значит, усилие V4–5 рационально искать способом проекций, а

именно по 1-му варианту:

а) груз P = 1 в левой части фермы. Рассмотрим равновесие правой части как Y правI-I = 0 : V4–5 RB = 0, V4–5 = RB .

Значит, л. в. V4–5 , когда груз P = 1 в левой части фермы (на верхнем поясе), есть линия влияния RB с обратным знаком. Строим л. в. ( RB ) и получаем левую прямую линии влияния

слева от рассеченной панели грузового пояса, т.е. слева от узла 4; б) груз P = 1 в правой части фермы. Рассмотрим равновесие

левой части фермы как Y лев I–I =0 : –V4–5 + RА = 0, V4–5 = RА. Следовательно, правая прямая л. в. V4–5 расположена спра-

ва от узла 6 грузового пояса и совпадает с л. в. RА .

Если груз P = 1 находится в пределах рассеченной панели, т.е. между узлами 4 и 6, передача нагрузки происходит через узлы 4 и 6, поэтому ординаты под узлами 4 (с левой прямой) и 6 (с правой прямой) соединяются передаточной прямой. Для усилия V4–5 моментная точка в бесконечности, то получается, что

левая и правая прямые линии влияния V4–5 параллельны.

61

Рис. 4.19

Линия влияния D5–6 (см. рис. 4.19, б). Используем сече-

ние II–II.

а) груз P = 1 в левой части фермы. Берем Y правII-II = 0, так как два стержня 4–6 и 5–7, попавшие в сечение II–II, параллель-

4.19, б). Она находится справа от узла 6 фермы. Передаточная прямая располагается в пределах рассеченной панели грузового

62

пояса, т.е. между узлами 4 и 6. Из законов изменения D5–6 и V4–5 видим, что левая и правая прямые л. в. D5–6 и V4–5 параллельны

(см. рис. 4.19, а, б). Это правило можно использовать при построении линий влияния по 1-му варианту способа проекций.

2-й вариант способа проекций

Для построения л. в. O1–2 и л. в. U1–3 (см. рис. 4.19, в, г) используем 2-й вариант способа проекций, т.е. способ вырезания узлов. Вырезаем узел 1 фермы на рис. 4.19:

а) пусть P = 1 в узле 1 (рис. 4.20). В ферме, как только груз P = 1 окажется на опоре, реакция опоры равна 1. При этом положении груза реакция RА 1. Тогда, по частному случаю рав-

новесия узлов (1-й случай), усилия O1–2 0 и U1–3 0. Под грузом, т.е. на вертикали узла 1 ординаты л. в. O1–2 и л. в. U1–3 ну-

левые (см. рис. 4.19, в, г);

Рис. 4.20

б) груз P = 1 вне узла 1 (рис. 4.21).

Так изменяется усилие O1–2 , когда груз вне узла 1, т.е. в уз-

лах 2, 4, 6, 8, 10, 12 и между ними. Правая прямая будет справа от узла 2 фермы.

z = 0, U1–3 sin RАcos = 0, U1–3 RА ctg

63

Так изменяется усилие U1–3 , когда груз P = 1 вне узла 1, т.е. справа от узла 2 фермы.

Рис. 4.21

Левая прямая O1–2 и U1–3 есть точка на оси под узлом 1.

Рассечена первая панель грузового пояса. Значит, передаточные прямые л. в. O1–2 и л. в. U1–3 находятся в пределах первой пане-

ли, между узлами 1 и 2 (см. рис. 4.19, в, г).

4.6. Примеры построения линий влияния усилий в стержнях фермы

Задача4.1. Построитьл. в. D4–5 ил. в. V9–10 фермы(рис. 4.22).

Рис. 4.22

64

Линия влияния усилия D4–5 (рис. 4.22, а). Разрезаем ферму сечением I–I:

а) для усилия D4–5 моментная точка О. Пусть груз P = 1 находится в левой части фермы, образованной сечением I–I. Со-

пояса (слева от узла 4), совпадает с осью;

б) пусть груз P = 1 находится в правой части фермы. Рационально рассмотреть равновесие правой части. MOправ I–I = 0 , D4–5r1 1(a x) 0 , где х – расстояние от узла 10 до груза P = 1

х = 4 и D4–5 7,90212 1,519. Откладываем от оси ординаты соответственно 1,265 и 1,519. Правая прямая л. в. D4–5 находится

справа от узла 6 (см. рис. 4.22, а). Передаточная прямая между узлами 4 и 6.

Линия влияния V9–10 (см. рис. 4.22, б). Вырежем узел 10:

65

а) груз P = 1 в узле 10 (рис. 4.23). По частному случаю V9–10 1. Под грузом от оси откладываем ординату, по величине

равную –1. Правая прямая обратилась в точку, отстоящую от оси на 1.

Рис. 4.23

б) груз P = 1 вне узла 10 (рис. 4.24). По частному случаю V9–10 0. Левая прямая нулевая (слева от рассеченной панели, т.е. узла 8). Передаточная прямая – между узлами 8 и 10.

Рис. 4.24

Задача 4.2. Найти усилия от постоянной нагрузки и проверить по линиям влияния:

а) V5–6 фермы (см. рис. 4.3);

б) V1–2 фермы (см. рис. 4.4);

в) V4–5 фермы (см. рис. 4.5).

Задача 4.3. Построить л. в. V5–6 , л. в. O6–8 фермы (см.

рис. 4.22).

Задача 4.4. Построить л. в. V1–2 фермы (см. рис. 4.17). Задача 4.5. Построить л. в. V5–6 фермы (см. рис. 4.18) при

верхнем грузовом поясе и h2 2 м, h3 2,5 м и d 2 м. Ответы к задаче 4.2:

66

а) V5–6 0; б) V1–2 P2 ; в) V4–5 2P.

Ответ к задаче 4.3:

Ответ к задаче 4.4:

Ответ к задаче 4.5:

67

ГЛАВА 5. ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ

5.1. Понятие трехшарнирных систем

Трехшарнирной называется система, состоящая из двух дисков, соединенных между собой шарниром (промежуточный шарнир) и прикрепленных к массиву при помощи шарнирно неподвижных опор (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Если промежуточный шарнир расположен выше линии опорных шарниров, то система называется арочной, если ниже – висячей. Если в арочной системе диски криволинейные стержни, то система называется трехшарнирной аркой (рис. 5.2). Арка может быть очерчена по параболе (параболическая) или дуге окружности (круговая, стрельчатая).

Рис. 5.2

68

Если диски – прямолинейные или ломаные стержни, то система называется трехшарнирной рамой (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Если диски – сквозные фермы, то система называется трехшарнирной арочной фермой (рис. 5.4). Шарниры предполагаются во всех узлах арочной фермы.

Рис. 5.4

В трехшарнирных системах даже от вертикальной нагрузки возникают горизонтальные реакции опор, которые называются распором, поэтому трехшарнирные системы называются распорными. Чтобы избежать горизонтального давления на опоры, заменяют один из горизонтальных опорных стержней затяжкой. Затяжка может быть на уровне опорных шарниров или повышенная (рис. 5.5).

69

Рис. 5.5

Расстояние между осями опор называется пролетом трехшарнирной системы и обозначается l. Расстояние от промежуточного шарнира до линии опорных шарниров называется стрелой подъема и обозначается f, до повышенной затяжки – d.

5.2. Расчет трехшарнирной арки (рамы) на вертикальную нагрузку

Определение опорных реакций. Рассмотрим трехшарнир-

ную арку (рис. 5.6, а).

Рис. 5.6

70