Строительная механика стержневых систем. Часть 1

наклонной по отношению к оси стержня 1–2. Одно из усилий, N12 или N21 , находится из равновесия узла (см. подразд. 7.6.3).

7.7. Проверка правильности окончательной эпюры моментов, эпюры поперечных и продольных сил

7.7.1. Проверка эпюры изгибающих моментов

Статическая проверка. Узлы системы на эпюре моментов должны быть в равновесии. Статическая проверка является необходимой, но не является достаточной. Обязательна еще деформационная проверка.

Деформационная проверка основана на отрицании перемещений точек примыкания связей по их направлениям. По формуле перемещений (формуле Мора), например, для рамы и балки должны выполняться условия (все условия):

бающих моментов, построенная относительно основной системы, от одновременного действия X 1 X 2 X 3 ... X n 1.

Эпюра M s может быть получена как сумма единичных эпюр изгибающих моментов, т.е.

M s =M 1 +M 2 +M 3 +...+M n.

111

7.7.2. Статическая проверка эпюр

Отсекаем систему от опор или вырезаем часть системы. Учитываем внешнюю нагрузку в рассматриваемой части, изгибающие моменты, поперечные и продольные усилия в сечениях, взятые с эпюр М, Q и N со своими знаками. Система

сил должна находиться в равновесии. Значит, Mквсех сил 0,

X 0 и Y 0.

7.8.Пример расчета статически неопределимой рамы методом сил

Расчетная схема рамы представлена на рис. 7.16. Порядок расчета:

1.Определить степень статической неопределимости ( nст ).

2.Выбрать основную систему метода сил. Записать канонические уравнения в общем виде.

3. Построить единичные эпюры изгибающих моментов M 1 , M 2 , ..., M n и суммарнуюэпюру единичных моментов M s .

4.Определить коэффициенты при Xi системы канонических уравнений ii и iк.

5.Проверить правильность коэффициентов.

6.Построить грузовую эпюру МP .

7.Определить свободныечлены системыуравнений iP .

8.Проверить правильность свободных членов.

9.Решить систему уравнений.

10. Построить исправленные эпюры моментов

М1, М2 , ..., Мn .

11.Построить окончательную эпюру моментов М.

12.Проверить правильность окончательной эпюры М.

13.Построить эпюру поперечных сил Q.

14.Построить эпюру продольных сил N.

15.Выполнить статическую проверку построенных эпюр.

112

Рис. 7.16

1. nст 3К Ш. Представим опору С, как показано на рис. 7.17. Тогда К = 2, Ш = 4. Все шарниры простые nст 3 2 4 2.

Рис. 7.17

Можно рассматривать опору С, как на рис. 7.16, тогда замкнутых контуров будет 3 (рис. 7.18), соответственно, и число простых шарниров увеличивается и будет равно 7.

Рис. 7.18

113

nст 3 3 7 2.

Степень статической неопределимости или число лишних связей системы, равно 2.

2. Выбираем основную систему (О.С.), удалив две лишние связи (рис. 7.19).

Рис. 7.19

Система на рис. 7.19 эквивалентна системе рис. 7.20.

Рис. 7.20

Число канонических уравнений равно числу лишних свя-

зей.

11 X1 12 X2 1P 0,

21 X1 22 X2 2P 0.

3. Строим единичные эпюры изгибающих моментов относительно основной системы.

Загружаем основную систему X 1 1 и строим единичную эпюру М1 (рис. 7.21).

114

Рис. 7.21

Реакции опор определены как для трехшарнирной рамы. Загружаем основную систему X 2 1 и строим единичную

эпюру М 2 (рис. 7.22).

Рис. 7.22

Суммарную эпюру изгибающих моментов (рис. 7.23) от

+3EI1 76 –2,857 2,143 – 2,143 2,857+2 2,857 2,857+2,143 2,143 +

+EI1 56 2 2,143 2,143 = 61,28EI .

Рис. 7.23

При перемножении эпюр использовалась формула умножения трапеции на трапецию (см. подразд. 6.1).

1 0,571 0,571 1 2 1 1 0,571 0,571 3EI1 76

0,571 0,43 0,43 0,571 2 0,5712 0,432

EI1 56 2 0,43 0,43 2,10EI .

Выполним универсальную проверку коэффициентов. Находим сумму всех коэффициентов (см. подразд. 7.5).

ss 11 22 2 12 E1I 61,28 2,10 2 5,114 53,15EI .

В то же время

Следовательно, коэффициентыпри X1 и X2 найденыверно. 6. Построение грузовойэпюрымоментов (рис. 7.24, 7.25).

Рис. 7.24

Найдем реакции опор:

МС 0, RB 7 15 5 20 5 8 7 3,5 12 0,

RB 54,71кН.

117

21EI 62 73, 71 2,857 114,85 1, 714 2 73, 71 1, 714 114,85 2,857

3EI1 62 114,85 1, 43 21, 4 2,857 2 114,85 2,857 21, 4 1, 43

Разбиение криволинейных эпюр на прямолинейные и сегменты показано на рис. 7.25.

8. Проверка свободных членов системы канонических уравнений. Определяем сумму найденных перемещений 1Р и

2Р.

sР 1Р 2Р E1I 578,34 98, 21 480,13EI .

Вто же время

119

10. Построение исправленных эпюр M1 и M2 .

Учитывая, что M1 M1 X1 и M2 M2 X2 , получим эпюры

(рис. 7.26, 7.27).

Рис. 7.26

120