Строительная механика стержневых систем. Часть 1
.pdf
Рис. 7.27
11. Построение окончательной эпюры изгибающих момен-
тов М (рис. 7.28).
Используем формулу M M1 M2 M P . Суммирование
производим по характерным сечениям. Учитываем эпюру моментов в простой балке 1–2 от распределенной нагрузки.
Рис. 7.28
12. Проверка эпюры М. Узлы на эпюре М в равновесии. Деформационнаяпроверка:
l |
|
s M |
|
1 5 |
|
1 4 53 |
5 |
|
1 3 |
|
|||
M |
|
|
|
1 27, 63 |
|||||||||
0 EI |
dx |
|
2 15, 27 5 |
|
12 |
|
|
|
6 |
||||
EI |
6 |
EI |
2 |
2EI |
|||||||||
0,97 29,85 2 1 29,85 0,97 27,63 21EI 62 39,63 2, 286
77,94 0,97 2(39,63 0,97 77,94 2, 286) 3EI1 62 77,94 1,14
121
|
2,95 2, 286 2 77,94 |
2, 286 2,95 1,14 |
1 |
8 23 |
2, 286 1,14 |
|
|||||||
3EI |
|||||||||||||
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
12 |
2 |
|
||
|
|
2,95 1,714 55,66 1,14 2 2,95 1,14 55,66 1,714 |
|
||||||||||
|
3EI |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
8 53 |
1,714 1,14 |
|
1 |
5 2 55,66 1,714 300,35 301,12 0,67. |
||||||
3EI |
12 |
EI |
|||||||||||
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|||||
Погрешность составляет 0,67 100 % 0,2 %, что является
301,12
допустимой величиной.
13. Построение эпюры поперечных сил (рис. 7.32). Определим поперечные силы в сечениях, которые показаны
на рис. 7.28 и 7.16. Используем формулу (7.3) и простые балки на рис. 7.29–7.31.
Стержень 1–А:
QA 10 0 ( 15, 27) 10 3,05 13,05 кН. 5
Рис. 7.29
Q |
Q |
0 |
|
Mправ Mлев |
10 |
0 ( 15, 27) |
10 |
3,05 |
6,95кН. |
|
|
|
|||||||
1A |
1A |
|
l |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эпюра Q на участке 1–2 строится как для простой балки. Зна-
чит, Q12 826 24 кН, а Q21 826 24 кН.
122
Ригель 2–3.
Построим эпюру поперечных сил простой балки (рис. 7.30), соответствующей ригелю.
Рис. 7.30
По формуле (7.3) найдем поперечные силы в сечениях ригеля 2–3 заданной рамы.
Q |
42,3 |
55,66 ( 77,94) |
42,3 3,18 45, 48 кН, |
|||||
|
||||||||
2к2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qлев |
Q |
26,3 55,66 ( 77,94) 26,3 3,18 29, 48 кН, |
||||||
к2 |
|
к2 2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qправ |
Q |
|
6,3 |
55,66 ( 77,94) |
6,3 3,18 9,48 кН, |
|||
к2 |
к2 3 |
|
|
7 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
33,7 55,66 ( 77,94) 33,7 3,18 30,52 кН. |
|||||||
|
3к2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стержень В–2:
а) участок В–к1. Определяем поперечную силу по tg , где
– угол наклона эпюры моментов к оси стержня. При этом ось стержня поворачивается до совмещения с эпюрой моментов
123
против часовой стрелки (см. подразд. 7.6.2), значит, на этом участке поперечная сила отрицательная.
Q |
Q |
29,85 27,63 19,16 кН; |
||
к B |
Bк |
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
б) участок к1–2. По аналогии со случаем «а» имеем: |
|||
|
|
Q |
Q |
77,94 33,63 19,16 кН. |
|
|
к 2 |
2к |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
Иначе можно рассматривать всю стойку В–2. Имеем простую балку (рис. 7.31):
Рис. 7.31
Тогда QВ Q2 В Qк1 2,4 77,945 29,85 19,16 кН.
Стержень С–3:
Эпюра моментов прямолинейная, поперечную силу на участке С–3 определить можно по tg , где – угол наклона эпюры
моментов к оси стержня С–3. Ось стержня до совмещения (по наименьшему углу) с эпюрой М поворачивается по часовой стрелке. QÑ3 Q3Ñ 55,665 11,13êÍ .
На эпюре Q (рис. 7.32) есть точки пересечения эпюры с осью. В этих сечениях выделим на эпюре М экстремальные значения. Их можно найти по формуле М М1 М2 МР , т.е.
124
Мxmax3,26 |
12,087 6,055 6,03 |
(см. |
рис. |
7.25–7.27) |
и |
|||
Мxmax3,185 |
19,85 |
0,815 |
17,06 |
0,815 |
4,85 2,65, |
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
где M xP 3,185 4,85.
Рис. 7.32
Для определения Мmax можно воспользоваться формулой:
Мк Мк0 Мправl х Млев (ll х) ,
где Мк0 – момент в сечении «к» простой балки соответствующей участку длиной l с концевыми моментами (на эпюре М)
Мправ и Млев, взятыми со своими знаками;
x– расстояние от сечения до левого конца участка. На стержне А–1 имеем
Мmax |
10 3,26 4 |
3, 262 |
|
0 3, 26 |
|
15,27 (5 3, 26) |
|
x 3,26 |
|
2 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мx0 3,26
11,34 5,31 6,03кН м.
Аналогично находим Мmax на участке к2 –3.
125
Мmax |
42,3 3,185 8 |
3,1852 |
20 1,185 |
55,66 3,185 |
|
x 3,185 |
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
||
Мx0 3,185
77,94 (7 3,185) 2,65 кН м. 7
14.Построение эпюры продольных сил (рис. 7.36). Вырезаем узел 1 (рис. 7.33)
Рис. 7.33
Х 0, N12 6,95 0, N12 6,95кН,
Y 0, N1А 24 0, N1А 24кН.
Вырезаем узел 3 (рис. 7.34).
Рис. 7.34
126
Х 0, N32 26,13 кН.
Y 0, N3С 30,52кН.
Вырезаем узел 2 (рис. 7.35):
Рис. 7.35
Y 0, N2В 24 45,48 0, N2В 69,48кН,
Х 0, 6,95 19,16 26,13 0, |
26,11 26,13 0, |
0,02 0, погрешность мала. |
|
Рис. 7.36
15. Статическая проверка эпюр.
Отсекаем заданную раму от опор (рис. 7.37).
127
Рис. 7.37
Х 0, 4 5 19,16 15 13,05 11,13 0, 39,16 39,18 0, 0,02 0. Погрешность мала.
Y 0, 24 69,48 30,52 8 13 20 0, 124,0 124 0, 0 0.
Статическую проверку можно выполнить как |
М2лев 0, |
|
т.е. 24 6 13,05 5 4 5 2,5 8 6 3 15,27 0, |
|
|
209,3 209,3 0. |
|
|
Или МШлев1 0, 15,27 24 10 13,05 5 4 5 2,5 |
||
8 10 5 12 69,48 4 20 2 29,85 19,16 5 0, |
613,0 613,0 0. |
|
МШправ1 0, 30,52 3 11,13 5 8 |
32 0, |
|
91,56 91,66 0,1 0. |
2 |
|
|
|
|
Погрешность 0,1 100 % |
0,1 %, что допустимо. |
|
91,66 |
|
|
7.9. Расчет симметричных рам методом сил на симметричную и кососимметричную нагрузку
Статически неопределимая рама (как и любая система) считается симметричной, если симметрична ее геометрическая форма и жесткости симметричных элементов одинаковы. Рассмотрим симметричную раму с произвольной нагрузкой (рис. 7.38). Разложим нагрузку на симметричную (рис. 7.39, а) и кососиммет-
128
ричную (рис. 7.39, б). Iст – момент инерции стойки, Iр – момент инерции ригеля, Е = const.
Рис. 7.38
а |
б |
Рис. 7.39
Определим степень статической неопределимости nст : при
К = 2, Ш = 2, nст 3 2 2 4.
Выберем основную систему метода сил так, чтобы неизвестные усилия были симметричными и кососимметричными. Для этого разрежем раму по шарнирам, т.е. по оси симметрии. Каждый простой шарнир эквивалентен двум связям. Основная система приведена на рис. 7.40.
В общем случае система канонических уравнений выглядит следующим образом:
129
11 Х1 12 Х2 13 Х3 14 Х4 1Р 0,21 Х1 22 Х2 23 Х3 24 Х4 2Р 0,31 Х1 32 Х2 33 Х3 34 Х4 3Р 0,41 Х1 42 Х2 43 Х3 44 Х4 4Р 0.
Рис. 7.40
Выполним расчет рамы на симметричное загружение (см. рис. 7.39, а). Ограничимся составлением системы канонических уравнений. Построим единичные эпюры изгибающих моментов
(рис. 7.41).
а |
б |
в |
г |
Рис. 7.41
130