Строительная механика стержневых систем. Часть 1

Объединяем эпюры Q и M относительно заданной составной балки (рис. 2.9).

Рис. 2.9

21

ГЛАВА 3. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ И РЕАКЦИЙ ОПОР

3.1. Основные понятия

При расчете ряда сооружений, например подкрановых балок, эстакад, мостовых конструкций и т.д., имеем дело с подвижной нагрузкой, например с крановой тележкой, сыпучим телом, вагонами любого транспорта и т.д.

В этом случае расчет ведется по линиям влияния. Линией влияния какого-либо усилия называется график изменения этого усилия в одном определенном сечении (в одной опоре) от действия на сооружение подвижного груза P = 1. Условимся на графике (линии влияния) плюс откладывать выше оси, минус – ниже оси.

Правила, установленные для простой и консольной балок, справедливы для любого сооружения. Линии влияния нельзя путать с эпюрами. Ординаты линии влияния показывают изменение какого-либо усилия в одном определенном сечении и от подвижного груза P = 1.

3.2. Линии влияния опорных реакций

Линии влияния реакций опор простой балки

Пусть груз P = 1 перемещается от опоры А (рис. 3.1). Расстояние от груза P = 1 до опоры А равно x. 0 x l . Л. в. – линия влияния.

Рис. 3.1

22

Получим законы изменения RА и RВ , составляя уравнения

и л. в. RВ – прямые. От оси балки на вертикали груза P = 1 (при

его фиксированном положении) откладываем в масштабе отрезок, равный по величине значению реакции.

Для построения прямой достаточно двух точек. Зафиксиру-

Соединяем их и делаем штриховку перпендикулярную оси. Знак ставится обязательно. При этих же положениях груза

Получимточки а' и b' . Соединяемихиполучаемл. в. RВ.

Линиивлиянияреакцийопорконсольной балки (рис. 3.2)

Рис. 3.2

При движении груза P = 1 вправо 0 x l d, влево –

–с x 0.

23

Ординаты л. в. реакций опор отвлеченные (безразмерные) и найти их можно даже из подобия треугольников.

3.3. Линии влияния поперечных сил

Линиивлиянияпоперечных силпростой балки

Покажем график (линию влияния) изменения поперечной силы в сечении I от действия подвижного груза P = 1 (рис. 3.3). Получим законы изменения Q , когда груз P = 1 слева и справа от сечения I.

ПустьP = 1 слеваотсеченияI, т.е. 0 x a, тогда Q RВ .

Рис. 3.3

24

Иначе л. в. Q есть л. в. RВ с обратным знаком. С этой

прямой берем только ту часть, где груз P = 1, т.е. слева от сечения I. Получаем прямую, которая называется левой прямой л. в. Q .

Пусть груз P = 1 справа от сечения I, т.е. a x l, где l a b.

Тогда Q RА . Используем л. в. RА, но на ней берем толь-

ко часть под грузом, т.е. справа от сечения I. Эта прямая называется правой прямой. Построения выполняем относительно

Линии влияния поперечных сил консольной балки

Сечение I в пролете (рис. 3.4, а). Законы изменения Q , когда груз P = 1 слева и справа от сечения I совпадают с законами Q простой балки. Следовательно, л. в. Q строим для простой

балки и продолжаем на консоли: на левую консоль – левую прямую, на правую консоль – правую прямую.

Сечение II на консоли, например на левой (рис. 3.4, б). Пусть груз P = 1 справа от сечения II, тогда Q I 0 (нахо-

дим из равновесия левой части), под грузом строим правую прямую, совпадающую с осью. Пусть груз P = 1 слева от сечения II. Находим QII , QII 1 (из равновесия левой части). Под

грузом строим левую прямую, которая параллельна оси.

25

Рис. 3.4

Сечение III на правой консоли (рис. 3.4, в).

Пусть груз P = 1 слева от сечения III. QIII 0 (из равновесия правой части). Строим левую прямую линии влияния QIII , совпадающую с осью.

Пусть груз P = 1 справа от сечения III. Находим QIII из равновесия правой части. QIII 1 , получаем правую прямую,

параллельную оси.

Сечение IV на опоре, например А.

Линии влияния поперечной силы в сечении на опоре различные, считая сечение отстоящим на бесконечно малую величину влево от опоры и на бесконечно малую величину вправо от опоры.

Построим л. в. QIVлев (рис. 3.5, а).

26

Рис. 3.5

Получим законы изменения QIVлев .

а) пусть P = 1 справа от сечения IV, тогда QIVлев 0. Следо-

вательно, правая прямая совпадает с осью;

б) P = 1 слева от сечения IV, тогда QIVлев 1. Левая прямая л. в. QIVлев параллельна оси.

Построим л. в. QIVправ (рис. 3.5, б):

а) груз P = 1 справа от сечения IV (сечение IV на бесконечно малую величину вправо от опоры A). Тогда QIVправ RА (из

равновесия левой части). Используем л. в. RА , у которой берем

часть, что справа от сечения IV, т.е. под грузом P = 1, получаем правую прямую;

б) груз P = 1 слева от сечения IV. Тогда QIVправ RВ (из

равновесия правой части). Используем л. в. RВ с обратным зна-

ком, берем только ту часть, где груз P = 1, т.е. слева от сечения IV. Получаем левую прямую.

Ординаты линий влияния поперечных сил безразмерные. Аналогично рассуждая, построим линии влияния поперечных сил в сечении на правой опоре (рис 3.6, а, б).

27

Рис. 3.6

3.4. Линии влияния изгибающих моментов

Линии влияния изгибающих моментов простой балки

(рис. 3.7)

Рис. 3.7

Получим законы изменения MI , когда груз P = 1 слева и

справа от сечения:

а) P = 1 слева от сечения I, тогда MI RВ b (из равновесия правой части). Используем л. в. RВ , ординаты которой

28

увеличиваем в b раз. С этой прямой берем только часть под грузом, т.е. слеваот сечения I, получаемлевуюпрямуюл. в. MI ;

б) P = 1 справа от сечения I, тогда MI RA a . С этой

прямой берем часть, что справа от сечения I, т.е. под грузом, получаем правую прямую л. в. MI .

Если груз в сечении I, т.е. x a, то ордината правой прямой под грузом

Линии влияния изгибающих моментов консольной балки

(рис. 3.8)

Сечение в пролете (рис. 3.8, а).

Законы изменения MI такие же, как и для простой балки,

поэтому л. в. момента в сечении пролета строим как для простой балки, а затем на левую консоль продолжаем левую прямую линии влияния, на правую консоль – правую. При построении можно использовать правило, что левая и правая прямые л. в.

MI пересекаются под сечением.

Рис. 3.8

29

Сечение II на левой консоли (рис. 3.8, б):

а) груз P = 1 справа от сечения II. Тогда MII 0, получаем

правую прямую, совпадающую с осью;

б) груз P = 1 слева от сечения II. Зафиксируем груз на конце консоли. Тогда MII 1 c (из равновесия левой части).

По мере приближения груза к сечению II плечо груза P = 1 относительно сечения II уменьшается, и как только груз попадает в сечение II, так MII становится равным нулю.

Сечение III на опоре, например на опоре А (рис. 3.8, в): Линии влияния изгибающего момента одинаковые, считая сечение отстоящим на бесконечно малую величину влево от опоры или на бесконечно малую величину вправо от опоры, поэтому строим л. в. MIII как для сечения на консоли. Аналогично строим

л. в. MIV (рис. 3.8, г) и л. в. MV (рис. 3.8, д). Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют размерность длины.

Пользуясь рассуждениями, изложенными выше, построим линии влияния вертикальной реакции опоры, поперечных сил и изгибающих моментов сечений I и II.

Задача 3.1 (рис. 3.9, 3.10)

Рис. 3.9

30