Строительная механика стержневых систем. Часть 1

Рис. 7.7

Рассмотрим систему на рис. 7.7, б, полученную удалением одной связи. nст 3 3 5 4. Для заданной системы (рис. 7.7, а)

nст 5, основная система приведена на рис. 7.7, в.

7.4. Канонические уравнения метода сил

Рассмотрим систему рис. 7.8, а. Покажем систему, эквивалентную заданной, на рис. 7.8, б.

Рис. 7.8

Обозначим состояние загружения эквивалентной системы (рис. 7.8, б) как состояние Х.

Система состояния Х деформируется как заданная, если перемещения точек, приложения лишних неизвестных (X1, X2 и X3) по их направлениям будут равны нулю, т.е.

101

мы, от действия внешней нагрузки. Эта эпюра называется грузовой эпюрой.

7.5. Проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Возьмем, например, систему канонических уравнений (7.2). Проверка 1 (построчечная). Найдем сумму коэффициентов

первого канонического уравнения:

11 12 13 1S ,

бающих моментов, построенная относительно основной системы, от действия X 1 X 2 X 3 1. Эпюру M S можно получить,

как M 1 M 2 M 3 , т.е. M s M 1 M 2 M 3.

Аналогично находится сумма коэффициентов второй строчки канонических уравнений:

21 22 23 2S ,

X 1 X 2 X 3 1.

Сумма коэффициентов третьей строчки уравнений:

31 32 33 3S .

3S – перемещение точки приложения X3 по направлению X3 от действия X 1 X 2 X 3 1.

103

Проверка 2 (универсальная). Проверка универсальная заменяет проверку построчечную.

Найдем сумму всех коэффициентов системы уравнений (7.2). Учитывая, что ik ki , получим:

11 22 33 2 12 13 23 SS ,

Кроме того, SS l M S M S dx.

0 EI

Проверка 3 (постолбцевая).

Сумма свободных членов системы канонических уравнений 1Р 2Р 3Р SP , где SP – сумма перемещений точек

приложения X1 , X2 и X3 по их направлениям от действия внешней нагрузки. В то же время по формуле Мора для рамы и

балки SP l M S M P dx.

0 EI

7.6. Построение окончательной эпюры моментов, эпюры поперечных сил и эпюры продольных сил

7.6.1. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов

Из решения системы канонических уравнений получим X1 , X2 , X3 , …, Xn . Используя принцип суперпозиций, эпюра моментов может быть построена по формуле

M M1 X1 M2 X2 ... Mn Xn M Р.

Эпюра M1 X1 обозначается как M1 и называется первой «исправленной» эпюрой моментов. Строится она относительно основной системы. Аналогично M2 M2 X2 , M3 M3 X3 , …,

Mn Mn Xn .

104

M M1 M2 M3 ... Mn MP . Строится эпюра М относительно заданной статически неопределимой системы.

7.6.2. Построение эпюры поперечных сил

Эпюра поперечных сил Q для заданной статически неопределимой системы строится по эпюре М. На участке, где эпюра М прямолинейная, Q tg , где – угол наклона эпюры момен-

тов к оси стержня. При этом поперечная сила положительная, если ось стержня на этом участке при совмещении с эпюрой моментов поворачивается (по наименьшему углу) по часовой стрелке. В противном случае Q < 0.

На участке, где эпюра моментов криволинейная, определяем поперечную силу по формуле

где Qк0 – поперечная сила в сечении «к» простой балки, соответст-

вующейучастку длинойl и находящейся подтойже нагрузкой; Мправ и Млев – концевые изгибающие моменты участка,

взятые с окончательной эпюры М со своими знаками. Формулу (7.3) можно получить, рассмотрев балку с шар-

нирным опиранием и заменив жесткое соединение стержня на участке моментами, взятыми с окончательной эпюры М.

Дан участок стержня длиной l с равномерно распределенной нагрузкой q. На окончательной эпюре М концевые моменты (правый и левый) считаем положительными (см. рис. 7.9).

Рис. 7.9

105

Определим Qab и Qba : Qab RA и Qba RB . Найдем RA и

Аналогично через RA и RB можно выразить поперечную силу в любом сечении, например «к», находящемся на расстоянии Xк от левой опоры (см. рис. 7.9).

чении «к» простой балки пролета l, соответствующей длине участка l и находящейся только под нагрузкой участка, т.е. рав-

номерно распределенной (рис. 7.10). Аналогично ql Q0 ,

Рис. 7.10

Эта формула может использоваться для определения Qк от

действия на участке (на стержень) любой нагрузки. Например, на стержень 1–2 действует нагрузка, показанная на рис. 7.11, а, и на окончательной эпюре М имеем эпюру рис. 7.11, б.

Рис. 7.11

Для определения Qк0 рассмотрим простую балку (рис. 7.11, в)

и определим реакции опор R10 23 qh 13 P и R20 43 qh 23 P .

Тогда на стержне 1–2 заданной системы определим поперечные силы в сечениях 1, к2 , к1 и 2 и построим эпюру Q:

Q1 2 qh 1 P M21 ( M12 ) 2 qh 1 P M21 M12 ,

3 3 3h 3 3 3h

Q10

Qк02

При этом на эпюру М смотрим справа по отношению к стержню 1–2. Тогда момент правый отрицательный M21 ,

момент левый отрицательный M12 . Можно на стержень 1–2 эпюры М смотреть слева. Тогда правый момент будет M12 , а

левый M21 . Но Q1 и Qк2 будут такими же.

В сечении к1 на эпюре Q должен быть скачок, поэтому на-

ходим Qкниж1 и Qкверх1 .

107

Эпюра Q стержня 1–2 представлена на рис. 7.12.

Рис. 7.12

7.6.3. Построение эпюры продольных сил

Продольные усилия в стержнях находят из равновесия узлов системы. Сначала рассматривают равновесие двухстержневых узлов, затем остальных. При этом учитывается сосредоточенная сила, приложенная в узле, а поперечные силы берутся с эпюры поперечных сил с учетом знака. Неизвестные продольные усилия в рассеченных стержнях удобно принять растягивающими, т.е. положительными. Например, рассмотрим равновесие узла 1 (рис. 7.13).

108

Рис. 7.14

Рассмотрим построение эпюры продольных сил (N) для наклонного элемента. На стержень 1–2, выделенный из системы, действует равномерно распределенная нагрузка (интенсивности q), ему не перпендикулярная. Покажем, что продольные усилия различны в разных сечениях стержня. Составим уравнение равновесия стержня как сумму проекций всех сил на ось z, совпадающую с осью стержня (рис. 7.15). При этом поперечные усилия в сечениях 1 и 2 берем с эпюры поперечных сил Q.

Рис. 7.15

Z 0 : N12 N21 ql sin 0, отсюда N12 N21 ql sin .

Значит, продольное усилие в стержне 1–2 не является постоянной величиной. Эпюра N представляется в виде прямой,

110