состоит из внешних сопротивлений |
внутренних сопро |
||||
|
|
М . M |
. + i ) |
|
|
тивлении слоев V |
- L l n ^ i ! |
и контактных сопротивлений |
Л |
||
ч . |
|||||
/=1 |
d: |
|
5 |
||
уравнение теплопередачи принимает вид |
|
|
|||
qt =тс(^с1 |
^с2 ) /^ ц = Kki{}ci |
^с2 )> |
(5.36) |
||
где коэффициент, обратный общему тепловому сопротивлению, называ ется линейным коэффициентом теплопередачи (Вт / (м*К))
_ 1 |
_ |
Ы |
(5.37) |
kt = — |
= |
|
|
R n |
Kcl |
|
^с21 |
характеризующим удельный тепловой поток при единичной разности температур между теплоносителями.
5.6. Расчет тепловой изоляции
Тепловой изоляцией называется всякое покрытие горячей поверхно сти, способствующее снижению тепловых потерь в окружающую среду.
Рассмотрим трубу, покрытую слоем тепловой изоляции (рис. 5.9). Удельный тепловой поток
?| |
— Ч'с1 |
^с2 )/^ц > |
|
(5.38) |
||
|
|
|||||
. |
1 |
, d2 |
, 1 |
, d3 , |
I |
(5.39) |
|
2Х |
dx |
2Хг |
d2 |
a 2d3 |
|
|
|
|||||
При увеличении диаметра изоляции d3i с одной стороны, увеличива ется внутреннее сопротивление изоляции l/[2X2) In(rf3 fd 2), с другой сто роны, уменьшается внешнее сопротивление У(а2^3) из-за увеличения площади поверхности изоляции, через которую рассеивается тепло. По этому исследуем функцию (5.39) на экстремум:
Имея в виду закон Фурье qx = —Xdt/dx, запишем уравнение тепло проводности через плотность теплового потока и проинтегрируем
~ + qv = 0 =>qx = q v dx
х + С, = > -X ^- = qv -х + С,, (5.44) dx
в результате получим общее решение задачи
t = - ^ - — |
- ^ - x |
+ C2. |
(5.45) |
X 2 |
X |
2 |
|
Постоянные интегрирования С\ и С2 находим подстановкой общего ре шения в граничные условия (5.43)
0 = qy -0 + С |, |
|
|
С, = 0 |
|
|
|
. __Ч у |
|
С ) |
|
С 2 — ( п + |
Ч у 52 |
(5.46) |
|
-------------L .0 + C2 |
2Х |
|
|||
|
2 Х |
X |
2 |
|
|
|
В результате получаем распределение температуры
t = t n + Чу - S 2 |
х |
(5.47) |
2 Х |
.5. |
|
подчиняющееся параболическому закону, при этом на поверхностях слоя (х = ±5) <=/„, на оси симметрии прих=0 температура максимальна,
Ч у |
~ 5 2 |
— К + |
гх |
Рассмотрим теплопроводность круглого стержня с заданными коэффициентом теплопроводности X, постоянным источником тепла <7r=const. Температура поверхности слоя ^поддерживается постоянной.
Математическая формулировка краевой задачи теплопроводности в этом случае имеет вид
X d 2t ( |
I d t' + qv = 0 , |
(5.48) |
dr2 |
г dr |
|
qr(r = 0) = Q, t ( r - r 0) = t„. |
(5.49) |
▲
Имея в виду закон Фурье qr = —Xdt/dr, запишем уравнение теплопроводности через плотность теплового потока,
~ ~ |
— |
+ Яу =0. |
(5.50) |
dr |
г |
|
|
Плотность теплового потока в круглом стержне можно определить, составляя тепло вой баланс: тепло, выделенное в объеме от внутренних источников мощностью qv, равно теплу, рассеянному через поверхность стержня,
2nrlqr = n r2lqу =>qr = q v ^ |
(5.51) |
Рис. 5.12. Температурное поле в круглом стержне
т.е. плотность теплового потока линейно воз растает по радиусу. Уравнение (5.50) тождественно удовлетворяется при
подстановке в него решения (5.51). Для получения температурного поля подставим в решение (5.51) закон Фурье и проинтегрируем
t = - ^ L — + C. (5.52) 2Х 2
Полученное общее решение подставляем в граничное условие, в резуль тате получаем распределение температуры
|
Яу ‘го 1 - |
Г |
\2 |
|
* — Гс + |
(5.53) |
|||
|
||||
|
4А, |
|
|
подчиняющееся параболическому закону, при этом на поверхностях слоя (r=r0) t=tn, на оси симметрии при г=0 температура максимальна,
< . = < « = < . + ^ р |
<5-и > |
Найдем распределение температур при граничных условиях конвек тивного теплообмена (3-го рода) на поверхности стержня (г=г0)
Яу™о =<*(<„ - te)2nr0 ,
отсюда /„ = / + ^ уГ° . Подставим это значение температуры поверхно2а
сти в граничное условие (5.53), в результате получим
t = tc + Я у - г0 1 - г |
+ ЯуГр |
(5.55) |
|
4Х |
\ го |
2а |
' |
|
|
|
|
Из решения (5.55) следует максимальное значение температуры в центре стержня (г=0),
' ™ = ' с + Я у |
■+ Я у 1 |
(5.56) |
|
4Х |
2а |
|
|
и значение температуры на поверхности стержня |
|
||
— К + |
Яу Гр |
|
(5.57) |
2а |
|
||
|
|
||
Полученные решения можно выразить через удельный тепловой поток qI = яг02 qv (Вт/м), например, значение температуры на поверхности стержня
К = ' с |
Я, |
(5.58) |
|
2кагп |
|||
|
|
Пример 8. Электрический нагреватель выполнен из нихромовой проволоки диаметром d=2 мм и длиной /=10 м. Он обдувается холодным воздухом с температурой tc=20°С. Вычислить тепловой поток с 1 м нагре вателя, а также температуры на поверхности проволоки t„, если сила то ка, проходящего через нагреватель, составляет 25 А. Удельное электри ческое сопротивление нихрома р=1,1 Ом мм2/м; коэффициент теплопро водности нихрома Х=17,5 Вт/(м К) и коэффициент теплоотдачи от поверхности нагревателя к воздуху а=46,5 Вт/(м2 К)
Решение. Электрическое сопротивление нагревателя
R
1,1 10 = 3,5 Ом. 3,14 -1
Количество теплоты, выделяемой нагревателем,
по
Q = I 2R = 252 -3,5 = 2185 Вт. Тепловой поток на 1 м проволоки
q, = 0 / / = 2 1 8 5 / 1 0 = 218,5 Вт/м.
Температура поверхности проволоки определяется по формуле (5.58)
/„ = / с + - ^ — = 20 + -------- — -------- = 769 °С 2лаг0 2-3,14-46,5-0,001
Вопросы для самоконтроля
1.Вывести решение стационарного уравнения теплопроводности для плоской стенки.
2.Как определить расход тепла через однослойную плоскую
стенку?
3.Теплопроводность многослойной плоской стенки. Эквивалент ный коэффициент теплопроводности.
4.Теплопередача через плоскую стенку. Коэффициент теплопере дачи, его размерность и физический смысл.
5.Особенности расчета теплопередачи через ребристую стенку.
6.Стационарная теплопроводность цилиндрического слоя. Удель ный тепловой поток.
7.Теплопередача через цилиндрическую стенку. Линейный коэф фициент теплопередачи, его размерность и физический смысл.
8.Расчет тепловой изоляции. Критический диаметр слоя изоляции.
9.Получите решения задач теплопроводности плоского слоя с внут ренним источником тепла.
10.Получите решения задач теплопроводности цилиндрическог
стержня с внутренним источником тепла.
Математическая формулировка краевой задачи теплопроводности включает дифференциальное уравнение теплопроводности
начальное краевое условие
н II |
II |
о |
играничное краевое условие
-* - £ ; U o = a ( ' n - О -
6.2. Теплопроводность плоской стенки. Аналитическое решение
(6.1)
(6.2)
(6.3)
Рассмотрим задачу охлаждения плоской стенки толщиной 21при по стоянном коэффициенте теплоотдачи на ее поверхностях (рис. 6.2). Тем пературное поле одномерно, изменяется только в направлении одной ко ординаты х . Охлаждение нагретой до температуры t0стенки происходит в среде с постоянной температурой tc.
Математическая формулировка краевой задачи в этом случае имеет вид
dt |
|
|
d 2t |
|
|
— = a |
— |
- |
|
||
дх |
|
|
дх2 |
|
|
t ( t = 0 ) = |
fо |
, |
|||
£ № |
и |
|
/—s а |
1 |
о |
|
|
s |
|
|
|
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Знак (+) в граничном условии (6.6) относится к левой поверхности стенки (х= -/), знак (-) - к правой поверхности (*=/)• Учитывая симмет рию температурного поля относительно оси х=0, будем искать решение для половины расчетной области в пределах 0<х</. Кроме этого, введем избыточную температуру 0 = t — tc. Тогда математическая формулиров ка краевой задачи принимает вид
пз
Рис. 6.2. Температурное поле при остывании плоской стенки
Х (х)
дв |
= а |
д 2в |
|
(6.7) |
|
— |
— |
- |
|||
дх |
|
д х 2 |
|
||
6 (t = 0) = /0 - t c = 0 О, |
(6.8) |
||||
дв |
|
|
— а 0 |
(6.9) |
|
дх х=0 - |
• |
- I |
|||
*=/ |
|
||||
Общее решение дифференциаль ного уравнения (6.7) в соответствии с методом разделения переменных
представим в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени, другая - только от координаты,
0 (*, т) = Г(т) •* (* ). |
(6.10) |
Подставим функцию (6.10) в урав нение (6.7),
d 2X {x)
dx2
или с учетом разделения переменных
1 I d Т _ |
1 |
d 2X (x ) |
a Т(х) dx ~ |
Х (х ) |
dx2 |
где р2 - неизвестная постоянная разделения переменных. В результате получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений
^ Й + а р 2Г ( т ) = 0,
dx |
|
(6.11) |
|
d 2X |
(x ) |
||
n2 . . |
|||
------- — |
+ P z A r(x ) = 0, |
||
dx2
которые имеют следующие частные решения:
T = Cle~^1) |
X — C2 cos Рх + С3 sin рх, |
где Ci, Сг, C3 —неизвестные постоянные интегрирования уравнений (6.11). Тогда частное решение для избыточной температуры принимает вид
е = Т Х = (С2 cos рх + С3 sin рх) е"орт |
(6.12) |
Из-за симметрии температурного поля 0(х) = 0(—х) частное решение выполняется при С3=0, поэтому
0 = C e ' “pl' cos рх. |
(6.13) |
Значение постоянной Р найдем из граничного условия при х=/. Для этого запишем значение функции (6.13) и ее производной на поверхно сти стенкиЛ
0(х = /) = С e~a^ c o s р/ |
f ( x = /) = - С Р e '^ s i n р/ |
|
и подставим в граничное условие (6.9) |
|
|
—Х — = а 0 => Р - sin |
р / = — cos |
р/ => ctg р/ = — . |
дх |
Х |
а |
Преобразуем правую часть последнего уравнения, умножив и поде лив ее на / и выделив число Био Bi = a -1/Х, в результате получим ctg р/ = p//Bi или с учетом обозначения (I = р/
ctg Ц= — . |
(6.14) |
Bi |
|
Трансцендентное уравнение (6.14) решают относительно корней ц(, Й2. |Х3>• • • графическим путем. Из рис. 6.3 видно, что имеется бесконечное множество корней |ХЛ, причем ц (< |х2< Ц3<... В частном решении (6.13) проведем замены
а Р2т = a l ^ - x = | x 2 ^ = |х2 -Fo, |
11 |
Р * = — X. |
|
|
I |
УI=ctg р.
Рис. 6.3. К решению уравнения (6.14)
В результате эти частные решения принимают вид
0С„ e“^"Focos У у , п = 1,2,3,....
Общее решение равно сумме частных решений
0 = " g |
C „ e ^ ”Foc o s b f . |
(6.15) |
п=1 |
I |
|
Постоянные Сп находим из начального условия. Подчинив уравнение (6.15) начальному условию (6.8), получим
e 0 = £ |
c , e- ^ ^ " |
g c , c o |
s ! i f |
(6.16) |
11= |
‘ |
и=1 |
I |
|
Уравнение (6.16) есть разложение четной функции в ряд Фурье с задан ными параметрами \1П9определяемыми характеристическим уравнением (6.14). Для этой последовательности чисел |х„ справедлива формула
|
\1пХ |
\1тХ , |
= 0 при п ^ т , |
|
cos |
cos ^ - d x |
= |
/ |
/ |
/ |
^Опри п = щ |
|
|
|
с помощью которой можно определить все значения коэффициентов С„ в уравнении (6.16). Для этого умножим обе части уравнения (6.16) на cos(|i„x//) dx и проинтегрируем по толщине стенки, тогда
|
|
+/ |
|
|
|
+/ |
|
|
|
|
|
9 0 J |
c o s ^ d x = C„ J c o s 2^ d x . |
(6.17) |
|||||
|
|
-i |
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл в правой части уравнения (6.17) равен |
|
|
|||||||
|
|
+/Гcos2 |
1 |
= / |
1Ч— ^—sin2|x_ L |
|
|||
|
|
i |
|
|
|
2ци |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с . - т |
- г ^ |
----------^ |
J_t |
. (6.18) |
|i„ +smp.„cos)X„ |
|
|||
/((Х„ +sm|i.ncos|i„) |
|
I |
|
|
|||||
|
|
+ / |
\i„X. |
21 |
. |
_ |
|
|
|
так как интеграл |
Г |
|
|
||||||
I cos-—JL-cLx: = — sin|i |
.Подставив полученное выра- |
||||||||
|
|
J |
I |
|
ц |
|
|
|
|
жение для |
постоянной С„ в уравнение (6.15), получим окончательное |
||||||||
выражение для температурного поля при охлаждении плоской стенки
е = " s r - |
в °ш |
^ |
cos^-^-e- ^ FO |
(6.19) |
ТЗ'И, +sin |
11„C0S |
l |
|
|
С введением безразмерной температуры 0 = 0/0 0 и координаты А" — х/1 решение (6.19) принимает вид
0 = " g |
2 sin |X„ |
(6.20) |
|
cos(|X„Ar) exp(-p2Fo). |
+ sin p„cos
Для практических расчетов решение (6.20) сведено в график зависи мости безразмерной температуры от чисел Био и Фурье (рис. 6.4, 6.5).
Пример 1. Резиновая пластина толщиной 25=20 мм, нагретая до температуры ^ Н О °С, помещена в воздушную среду с температурой Гс=15°С. Определить температуру в середине и на поверхности пласти ны через х=20 мин после начала охлаждения. Коэффициент теплопро-
водности резины Х,=0,175 Вт/(м-К). Коэффициент температуропровод ности резины а=0,833-10‘7 м2/с. Коэффициент теплоотдачи от поверх ности пластины к окружающему воздуху а=65 Вт/(м2 К).
Решение. Температуру в центре безграничной пластины при охлаж дении (нагревании) в среде с постоянной температурой можно опреде лить с помощью графика (рис. 6.4).
По условиям задачи
а / |
65-0,01 = 3,73; |
а т _ 0,833 |
10~7 |
1200 |
Bi |
||||
"аГ |
0,175 |
5 2 |
0,012 |
|
При этих значениях критериев Био и Фурье по графику на рис. 6.4 находим в х=0 = 0,26 и по графику на рис. 6.5 Эх=6 = 0,083. Безразмерная температура
t ~ t c |
' |
|
Ох = 0 |
|
|
^0 * с |
|
|
следовательно, |
|
|
',= 0 = + Э,=о('о - О= 15 + °*6 |
(140 |
-15) = 47,5“С, |
= *с + » 1=8('о " 0 = 15 + 0,083 -(140 |
-1 5 ) =25,4°С |
|
6.3.Метод регулярного теплового режима
Этот инженерный метод расчета нагрева охлаждения тел применяет ся тогда, когда можно пренебречь внутренним тепловым сопротивлени ем тела по сравнению с внешним.
Ранее были получены формулы теплового сопротивления плоской
и цилиндрической стенок: |
|
|
R |
1 |
, d2 |
= — |
In — , |
|
|
2X |
d, |
из которых видно, что эти сопротивления стремятся к нулю в двух случаях:
1)/ —^ 0; d2 ~^d{ -тела имеют малый размер по одной из координат;
2)X —>оо —тела являются хорошими проводниками тепла.
Таким образом, метод эффективен при расчетах нагрева охлаждения металлических листовых материалов. На практике метод используется уже при Bi<0,l.
В математической формулировке краевой задачи для плоской стен
ки (6.7-6.9) |
|
|
|
|
|
дв у |
d 2Q _ / -ч _ |
дв |
=о. |
- x f> |
= а в |
рс — = X |
д х2 ■е (,= 0 >=в°' |
ш*=0 |
|||
К дх |
|
ох Х = 1 |
|
градиенты температуры отсутствуют, и для стенки объемом V с поверх ностью S уменьшение внутренней энергии происходит за счет рассеяния тепла через ее поверхность,
—Урс — = а 0 S. |
(6.21) |
dx |
|
Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение решается ме тодом разделения переменных
|
<ю = —т J*dx => 1пв = —т х + С , |
(6.22) |
|
/ в |
|
a |
S |
|
где т = ---------- |
темп охлаждения (нагревания) тела. Для нахождения |
|
V р с |
|
|
постоянной интегрирования воспользуемся начальным краевым услови ем 0 (х = О) = 0 о
1п0о = —т - 0 + С=Ф-С — 1п0о=>0 = 6 0е~"п=>/д = 0/00 = е~тх, (6.23)
т.е. в соответствии с методом регулярного теплового режима температу ра убывает по экспоненциальному закону.
Преобразуем выражение для тх через числа Био Bi — а//Х и Фурье
Fo = ах/12 |
|
|
|
|
a S x |
а х |
X |
а I ах |
_. _ |
тх- |
|
•—= — = — = Bi • Fo, |
||
р с |
У_р с |
X |
X / 2 |
|
в итоге уравнение метода регулярного теплового режима принимает вид
d = e"BiFo |
(6.24) |
На практике метод регулярного теплового режима применяется и для расчета массивных тел сложной формы, для этого темп охлаждения (нагревания) определяют экспериментально на участке линейной зави
симости |
(рис. 6.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1п0 = —т х + С, |
In 0ii |
|
|
|
|
|
||
|
1п0, = —т т, + С , |
1п0, |
X |
I |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1п02 = —т т 2 + С. |
|
|
1 \ |
X |
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
\ |
|
|
Исключая постоянную |
С из системы |
|
|
1 |
\ |
х |
|
||
|
|
1 |
|
|
|||||
уравнений, получаем |
|
|
|
|
1 |
|
х |
|
|
|
|
1п02 |
|
1 |
|
X о |
|
||
|
1п(0,/02) |
|
1 |
|
Хх |
|
|||
|
|
|
! |
|
I s |
- |
|||
|
т = —--------- |
|
|
|
|
||||
|
к> 1 |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
0 |
|
XI |
|
T2 |
X |
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. Определить промежуток |
Рис. 6.6. Зависимость логарифма |
||||||||
времени, по истечении которого лист |
температуры от времени |
|
|||||||
стали, |
прогретый |
до |
температуры |
|
|
|
|
|
|
*о=500°С, будучи помещен в воздушную среду, температура которой <с=20°С, примет температуру, отличающую
ся не более чем на 1 % от температуры окружающей среды.
Толщина листа 2/=20 см, коэффициент теплопроводности стали А.=45,5 Вт/(м-К); теплоемкость стали с=0,46 кДж/(кг-К); плотность стали р=7900 кг/м3. Коэффициент теплоотдачи от поверхности листа к окру
жающему воздуху а=35 Вт/(м2 К). Решение. Вычислим критерий Био,
В; _ |
= 35 0,01 = 0,0077 < < 0,1. |
X |
45,5 |
Поскольку Bi < < 0.L, то температуру по сечению листа можно считать одинаковой во всех точках и воспользоваться формулой (6.24) метода ре
гулярного теплового режима: |
|
0,01 —tc _ |
0,01-20 |
||
d = e- KFo = e“°'0077 Fo |
= |
t - L |
|||
: t0 - t c |
= 4,2-10- |
||||
|
|
|
500 - 20 |
||
Fo = — in а |
ln(4,2 |
10"4) |
= ЮЮ; |
X -т |
|
0,0077 |
|||||
0,0077 |
|
p с-82 |
|||