составляет 3,7 %, это далеко от требуемой точности, которую выбирают в пределах е^ =-5 • 10-3 - 1-1(Г4, поэтому итерационный процесс необходи­ мо продолжить.

10.13. Алгоритм решения сопряженных уравнений конвективного теплообмена

Рассмотрим в общих чертах процедуру решения сопряженной зада­ чи конвективного теплообмена. Для конкретности опишем вычисли­ тельный цикл на примере нестационарных уравнений со-ц/-/- системы (рис. 10.12).

Исследуемая область покрывается конечно-разностной сеткой, в уз­ лах которой определяется решение. Процедура счета начинается с зада­ ния начальных условий для функций со, у, t, причем для нахождения ста­ ционарного решения вид начальных условий несущественен.

Далее для некоторого приращения по времени Ат вычисляются за­ вихренность и температура во внутренних узлах сетки с помощью конеч­ но-разностных аналогов соответствующих уравнений переноса. Затем решается конечно-разностный аналог уравнения Пуассона для функции тока, в котором используются новые значения завихренности, вычислен­ ные во внутренних узловых точках. Отметим, что решение уравнения Пуассона включает в себя итерации, которые называются внутренними. В процессе внутренних итераций завихренность не изменяется. После выхода из внутренних итераций по наперед заданной точности вычисля­ ются компоненты скорости.

Следующий шаг вычислительного цикла связан с уточнением гранич­ ных условий для завихренности и температуры. При этом используются новые (уже вычисленные) значения со, у, t во внутренних приграничных точках области. Расчет oo-\|/-f- системы с уточнением граничных условий повторяют до достижения наперед заданной точности. Одновременно Мо­ гут уточняться неоднородные свойства, например, вязкость, температуро­ проводность и др. Эти повторения называются внешними итерациями (в отличие от внутренних итераций для уравнения Пуассона).

миаКаизю он Зона ^2©юен и йохачзлн

Рис. 10.12. Укрупненная блок-схема решения задачи конвективного теплообмена

При выходе из внешних итераций проводится расчет чисел Нуссельта, и вычислительный цикл повторяется для нового слоя по времени. Ес­ ли находится стационарное решение задачи, то необходимость во внеш­ них итерациях отпадает, и расчет чисел Нуссельта откладывается до вы­ хода решения на стационарное с заданной степенью точности.

Алгоритм решения рассмотрим на примере co-vj/-/- системы в безраз­ мерных переменных в прямоугольных координатах:

д у

(10.139)

дх

Система уравнений (10.138) решается при заданных начальных и гра­ ничных краевых условиях для области, показанной на рис. 2.10:

Опишем последовательность перехода от (к-1)-то слоя к к-му на примере неявной схемы аппроксимации уравнений переноса завихренности и температуры. Сначала методами продольно-поперечной прогонки или редукции вычисляются на к-м слое со, ttJ во внутренних узловых точках, причем последовательность их расчета несущественна. Затем одним из описанных методов решается уравнение Пуассона для функции тока, и считаются скорости по дискретным аналогам формул (10.139). Для вычисления компонент скорости можно рекомендовать формулу вида

где р - номер внешней итерации. При значениях чисел Прандтля, близ­ ких к единице, скорости сходимости итерационных процессов по темпе­ ратуре и завихренности примерно одинаковы. При числах Прандтля, меньших единицы, что соответствует расплавленным металлам, сходи­ мость по температуре может достигаться медленнее, чем по завихренно­ сти. В этом случае «замораживание» температурного поля в течение не­ скольких шагов по времени и расчет только завихренности могут при­ вести к экономии времени счета.

Для ускорения сходимости внешних итераций рекомендуется сгла­

где т\ - параметр сглаживания, зависящий от критериев Gr, Re, Рг. При G rPr<105 оптимальное значение близко к 0,85.

Неявная схема позволяет проводить расчеты с большими шагами по времени, чем явная схема. Однако увеличение временного шага не всегда оправдано, так как приводит к увеличению внешних итераций. Для сокра­ щения общих затрат времени счета весьма эффективен выбор шага Ат в за­ висимости от количества внешних итераций, выполненных на предыду­ щем слое. Можно рекомендовать следующий алгоритм выбора шага по времени. Если количество внешних итерацийр на (А-1)-м слое больше че­ тырех, то на (к)-м слое выбирается шаг h* = 0,7/z^"1. Прир<4 шаг увели­

чивается: А* = 1,2А,*-1. Еслир> 8, то А* уменьшается вдвое и расчет повто­ ряется. Эта мера гарантирует устойчивость счета, так как наступлению не­ устойчивости предшествует резкое возрастание количества внешних итераций. При этом если величина шага приводит к нарушению условия устойчивости Куранта, то шаг пересчитывается по формуле hf = 0,7А,*Н

Общие затраты компьютерного времени зависят также от задавае­ мой точности внутренних и внешних итераций ev, е^, е ,. Рекомендуется задавать £^=0,005, еш= £,=0,01. С уменьшением указанных значений до­ пустимых погрешностей увеличиваются затраты компьютерного време­ ни при практически неизменном решении, увеличение погрешностей приводит к колебаниям решения.

Во многих практических задачах требуется знать стационарный, т.е. установившийся во времени режим теплообмена. В этом случае исполь-