2.1. Дифференциальное уравнение неразрывности

(pML d , = (p“)I + ^ i f + -

иучитывая два члена разложения, можно получить возрастание массы

вконтрольном объеме:

<4 +d* - < ч d x /d x .

Это возрастание массовой скорости в направлении координаты х должно компенсироваться убыванием массы контрольного объема во

Полученное одномерное уравнение неразрывности распространяет­ ся и на трехмерный случай, когда массовая скорость изменяется и в на­

где и, v, w —проекции скорости соответственно на оси х, у, z. В частном случае для среды с постоянной плотностью (несжимаемой, p=const)

т.е. скорость в канале постоянного сечения те изменяется в направлении те­ чения.

Для произвольной системы координат уравнение неразрывности (2.2) может быть записано в обозначениях теории поля:

где W - вектор скорости; div = д/дх + д /д у + d /d z - операция дивергенции в прямоугольных декартовых координатах.

Из уравнения неразрывности в наиболее общей форме (2.5) следует ча­ стный случай стационарного (др/дх = 0) одномерного течения по оси х в канале переменного сечения:

где G - массовый секундный расход кг/с в канале площадью поперечного сечения/ Из уравнения (2.6) следует постоянство расхода при стационар­ ном течении в канале,

а при течении несжимаемой среды (p=const) из уравнения (2.7) следует об­ ратно пропорциональная зависимость между скоростью течения и площа­ дью поперечного сечения канала: скорость возрастает в сужающихся и па­ дает в расширяющихся участках канала.

2.2. Дифференциальное уравнение переноса энергии

Дифференциальное уравнение переноса энергии характеризует зависи­ мость между температурой, временем и координатами в дифференциаль­ ной форме и является частным случаем первого закона термодинамики,

в соответствии с которым подводимая теплота dQ расходуется на увеличе­ ние внутренней энергии dU и на работу расширения dA. Для контрольного объема

d e = d e + d e 2,

где z - координата, перпендикулярная плоскости рисунка. Раскладывая давление в ряд Тейлора

dp dx Рх+ь — Рх + - ^ г ' 7 Г + -

и учитывая два члена разложения, получим

Знак минус свидетельствует о том, что сила действует в направле­ нии падения давления.

Силы вязкого трения возникают на боковых гранях выделенного элемента. Скорость движения среды у левой грани элемента по данной схеме меньше, чем в самом элементе. Поэтому сила вязкого трения тор­ мозит движение и направлена вверх. У правой грани поток ускоряет дви­ жение элемента, сила трения направлена вниз. Равнодействующую этих сил найдем по аналогии с равнодействующей сил давления:

, ч 9S

V ,= { S y+i y - S y ) d x 6 z = - ^ - & V

В соответствии с гипотезой Ньютона касательное напряжение Sy (Па) между слоями вязкой среды пропорционально градиенту скорости в поперечном направлении:

где |т - коэффициент динамической вязкости,

N Па — м=>Па-с

м

он характеризует касательное напряжение при единичном градиенте скорости. На практике применяют также коэффициент кинематической вязкости

размерность которого совпадает с размерностью коэффициента темпера­ туропроводности. Отметим, что вязкие среды, подчиняющиеся уравне­ нию (2.27), называются ньютоновскими. После подстановки (2.27) в (2.26) получаем

Вязкость в значительной степени зависит от температуры |i = поэтому раскрывая производную произведения в уравнении (2.28), имеем

т.е. неоднородное температурное поле может быть одной из причин дви­ жения вязкой среды.

В частном случае постоянной вязкости сила вязкого трения прини­ мает вид

Подставляя найденные силы в исходное уравнение (2.23), получим

dи

(2.30)

dx

Поделив это уравнение на плотность р и раскрывая полную произ­ водную в его левой части, получим окончательное уравнение движения для выбранной одномерной схемы:

Составляющие правой части уравнения (2.31) характеризуют соот­ ветственно силы тяжести, внешнего давления и вязкого трения, а левой части - инерционные силы. Физический смысл полученного уравнения

заключается в равновесии указанных сил для элементарного объема вяз­

кой среды.

В трехмерном случае в левой части уравнения (2.31) появляются до­ полнительные конвективные члены, характеризующие пространствен­ ный перенос среды, а также добавки к силам трения, действующим по всем граням контрольного объема в форме параллелепипеда. В результа­ те уравнение движения в проекции на ось х принимает следующий вид:

Аналогичный вид имеют проекции уравнения движения и на две другие оси у, z. Полученную систему трех уравнений движения, назы­ ваемых уравнениями Навье-Стокса, можно представить в векторной форме:

где W (и, v, w) - вектор скорости; V /?- градиент давления.

2.4.Дифференциальное уравнение теплоотдачи

впограничном слое

Теплоотдачей называется теплообмен между твердой поверхностью и вязкой средой, обтекающей эту поверхность. Практика показывает, что плотность теплового потока при теплоотдаче прямо пропорциональна раз­ ности температур вязкой среды (/с) и поверхности твердого тела (*п), назы­ ваемой температурным напором. Примем для определенности tn>tc, тогда уравнение теплоотдачи (уравнение Ньютона) будет иметь вид

где a - коэффициент теплоотдачи (Вт/(м2 К), равный плотности теплового потока на твердой границе при единичном температурном напоре. Ко­ эффициент теплоотдачи может изменяться от нуля до бесконечности. Действительно, как следует из (2.34), при a=0 q=0 (адиабатная поверх­ ность), а при a —»оо q!a=0 и tn=tc(изотермическая поверхность). Решить уравнение (2.34) относительно неизвестного коэффициента теплоотдачи без привлечения дополнительной гипотезы не удается, так как не извест­ на плотность теплового потока у твердой границы.

поверхности тормозятся, что является причиной искажения профиля скоро­ сти. Это искажение можно характеризовать градиентом ди/ду, который об­ ращается в нуль на некотором удалении от поверхности в невозмущенном потоке. Динамическим пограничным слоем называется слой заторможенной вязкой среды толщиной 8Ду твердой поверхности, в пределах которого

д и /д у^0 .

Аналогично понятию динамического пограничного слоя Г. Кружилин в в 1936 году ввел понятие температурного пограничного слоя (рис. 2.5). При движении у твердой поверхности частицы вязкой среды, имеющие температуру tc, при торможении у поверхности нагреваются до температу­ ры этой поверхности t„. Температурным пограничным слоем называется слой вязкой среды толщиной 8 гУ твердой поверхности, в пределах которого d t/d y ^0 .

пограничного слоя, а процесс теплоотдачи осуществляется в пределах температурного пограничного слоя и подчиняется закону теплопроводности Фурье q = —Х(ди/ду).

Подставляя эту плотность теплового потока из закона Фурье в урав­ нение теплоотдачи (2.34), получаем уравнение теплоотдачи в погранич-

коэффициент теплопроводности X в котором относится к вязкой среде в пограничном слое.

2.5. Условия однозначности

Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена описывает бесконечное множество процессов. Чтобы выделить конкрет­ ный процесс и определить его единственное решение, систему диффе­ ренциальных уравнений нужно замкнуть условиями однозначности, дающими математическое описание всех частных особенностей рас­ сматриваемого явления.

Различают следующие виды условий однозначности.

1. Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тел или системы, в которой протекает процесс.

На свободной поверхности жидкости, не контактирующей с твер­ дой поверхностью, действует элементарная сила поверхностного натя­ жения

где а - коэффициент поверхностного натяжения жидкости, (Н/м). При постоянном коэффициенте поверхностного натяжения эта сила не явля­ ется причиной движения жидкости, она лишь вызывает дополнительное давление, изменяя уровень жидкости в каналах малого диаметра (капил­ лярах), либо стремится придать конечному объему жидкости форму с наименьшей поверхностью. Например, в условиях невесомости жид­ кость принимает форму шара. Однако при переменном коэффициенте поверхностного натяжения силы поверхностного натяжения не скомпен­ сированы, появляется причина движения, и граничные условия на сво­ бодной поверхности в этом случае принимают вид

%, =0 дх

Коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры

где у - температурный коэффициент поверхностного натяжения, (Н/(м-К)), у = —ди/ду, отрицательное значение этого коэффициента от­ ражает тот факт, что сила поверхностного натяжения уменьшается с увеличением температуры. С учетом линейной зависимости (2.41)

и граничное условие (2.40) принимает вид

(2.42)

у=0

Явление движения жидкости, инициированное силами поверхностного натяжения при неоднородном распределении температуры, называют mер-

Система дифференциальных уравнений в совокупности с условиями однозначности дает математическую формулировку краевой задачи кон­ вективного теплообмена, имеющую единственное решение.

2.6. Приближение Буссинеска в задачах тепловой конвекции

Уравнение Навье-Стокса в форме (2.33) получено без учета зависи­ мости физических свойств жидкости от температуры, в частности, в нем не учтена зависимость плотности от температуры. Однако свободная конвекция жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых ее слоев.

Рассмотрим приближенный способ учета переменной плотности в неоднородном температурном поле, называемый приближением Бус­ синеска, на примере полученного ранее одномерного уравнения НавьеСтокса (2.30)

dx - p » - 5 + V

Входящая в это уравнение плотность принимается в соответствии с уравнением состояния линейно зависящей от температуры,

где р - коэффициент теплового (объемного) расширения (1/К). После подстановки зависимости (2.44) в уравнение (2.43) получаем

Поскольку ускорение свободного падения значительно больше уско­ рения частиц жидкости при свободной конвекции (g> > dw/dx), то измене­ нием плотности в левой части уравнения (2.45) можно пренебречь по срав­ нению с изменением ее в правой части уравнения, в результате получаем

Полученное одномерное уравнение описывает свободную тепловую конвекцию жидкости в приближении Буссинеска. В общем трехмерном случае для вектора скорости W(u, v, w) уравнение движения в этом при­ ближении принимает вид

Образуется замкнутый контур циркуляции жидкости с пограничными слоями у стенок канала.

Запишем систему уравнений тепловой конвекции. Уравнение несжи­ маемости для компонент вектора скорости и и vсоответственно в проекциях на оси х и у в плоскости циркуляции жидкости принимает вид

После подстановки последнего соотношения в уравнение Пуассона (2.53) получим

Для замыкания системы дифференциальных уравнений запишем краевые условия, включающие начальные температуру и поле скоро­ стей, а также граничные температурные условия на изотермических и адиабатных границах и условия прилипания для скоростей,

*(x = 0) = f0, ы(т = 0) = V (T = 0) = О,

Ф ,У ) = ({, t{Hx,y ) = t2, — (х,0) = ~ ( х ,Н ) = 0, (2.55) ду ду

и(0, у) = и(Нх, у) = v(x,0) = v(x, Н у ) = 0.

Пять дифференциальных уравнений (2.48, 2.49, 2.51, 2.52 и 2.54) вместе с краевыми условиями (2.55) образуют краевую задачу тепловой конвекции, граничные значения для давления в которой определяются приближенно из уравнения Пуассона (2.54). Переменные u-v-p-t назы­ вают динамическими переменными, а соответствующую краевую задачу - задачей в динамических переменных.

Таким образом, в динамических переменных плоская задача тепло­ вой конвекции сводится к системе пяти дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями.

2.8. Постановка задачи тепловой конвекции в переменных завихренность-функция тока

Рассмотрим другую постановку этой же задачи, исключающую дав­ ление и уменьшающую тем самым число дифференциальных уравнений тепловой конвекции. Для этого вычтем из уравнения (2.51) уравнение (2.52), предварительно продифференцировав первое из них по у, а вто­ рое - по х. В результате получим

уравнений: переноса энергии (2.49), переноса завихренности (2.59) и Пу­ ассона (2.58), в которых скорость связана с функцией тока соотношения­ ми (2.57).

Начальные краевые условия для завихренности и функции тока име­ ют вид

со(т = 0 ) = 0 , \|/(т = 0 ) = 0

Граничные значения функции тока следуют из отсутствия расхода вязкой среды через непроницаемые стенки канала. Функция тока на стенках канала не должна изменяться, следовательно, она должна быть постоянной или, в частности, нулевой:

у (0, у) = у (Н х, у) = V(x, 0) = (*, Н у ) = 0.

Граничные значения завихренности определяются приближенно из уравнения Пуассона (2.58).

Формулировка плоской задачи тепловой конвекции несжимаемой жидкости в со-\|/-/-переменных оказывается предпочтительнее формули­ ровки ее в динамических (u-v-p-t) переменных, так как понижает поря­ док системы дифференциальных уравнений с пяти до трех.

Вопросы для самоконтроля

1.Дифференциальное уравнение неразрывности, уравнение несжи­ маемости, их физический смысл.

2.Вывод дифференциального уравнения переноса энергии.

3.Коэффициент температуропроводности, его размерность и физи­ ческий смысл.

4.Уравнение теплопроводности как частный случай уравнения пе­ реноса энергии.

5.Вывод дифференциального уравнения движения вязкого тепло­ носителя.

6. Коэффициенты динамической и кинематической вязкости, их

размерность и физический смысл.

7. Дифференциальное уравнение теплоотдачи в пограничном слое.

8 . Условия однозначности в задачах конвективного тепломассооб­ мена, виды граничных условий для скорости.

9.Коэффициент поверхностного натяжения, его размерность и фи­ зический смысл. Условия возникновения конвекции Марангони.

10.Коэффициент объемного расширения теплоносителя. Приближе­ ние Буссинеска в задачах тепловой конвекции, его физический смысл.

1 1 . Какие уравнения включает постановка краевой задачи тепловой

конвекции в динамических переменных?

1 2 . Завихренность, функция тока теплоносителя, их размерности, фи­ зический смысл. Дифференциальное уравнение переноса завихренности.

тогда

Элементарный угловой коэффициент излучения d(p,_ 2 = d 2Ф пад2 / {дх d-S, )

характеризует долю энергии излучения, падающей с элементарной площадки первого тела на элементарную площадку второго тела по отношению к полной энергии излучения элементарной площадки первого тела.

Элементарная взаимная поверхность излучения d 2H ] 2 = б 2Ф пад2/^,

характеризует долю элементарной площадки первого тела, полное излуче­ ние с которой эквивалентно энергии излучения с элементарной площадки первого тела на элементарную площадку второго тела.

Найдем поток излучения с элементарной площадки d»^ на поверх­ ность S2yдля этого проинтегрируем соотношение (3.3),

Энергия, которой обмениваются пластины, равна разности их эф­ фективных потоков,

Введем обозначение приведенной степени черноты двух параллель­ ных бесконечных пластин,

а также приведенного коэффициента излучения

в результате получаем расчетные формулы: для плотности потока излу­ чения (Вт/м2)

и с учетом площади пластин S для потока излучения (Вт)

Пример 2. Определить поток излучения в малом зазоре между парал­ лельными изотермическими пластинами площадью 5=1 м2. Температу­ ры пластин 7*1=1000 К, 7’2=800 К. Степень черноты материала пластин ei=e2=0,8.

Решение. Приведенная степень черноты по формуле (3.12)