- X |
N + |
~ 4tN + У-» |
|
a { } N +\ О |
|
|
|
2К |
получается более точное по сравнению с (10.83) значение температуры на границе
1с + ( 4^ |
(10.85) |
t N + |
|
1+ |
ъх |
2ahx
Отметим нелинейность граничных условий для температуры, давле ния, завихренности, т.е. их зависимость от искомых параметров во внут ренних узлах сетки. Это приводит к итерационному процессу удовлетво рения граничным условиям, который заканчивается при достижении на перед заданной точности.
10.7. Расщепление многомерного уравнения переноса
При решении многомерного (двух- и трехмерного) уравнения пере носа методом сеток объем вычислений резко возрастает по сравнению
Рис. 10.8. Схема разбиения области на фиксированном временном слое
с решением одномерного уравнения. Идея расщепления заключается в том, что многомерное уравнение переноса сводится к сходящейся по следовательности одномерных уравнений с одновременным сокращени ем числа арифметических операций. Рассмотрим эту идею на примере расщепления уравнения переноса без источника (5=0) в прямоугольной области
as , |
as , |
as |
, a2s |
, |
a2s) |
|
dx |
dx |
dy |
[dx2 |
|
dy2 |
|
Область покрывается регулярной сеткой (рис. 10.8): |
|
|||||
•*<=(*'- 1)ЛХ, |
/= 1 ,2 , |
|
N + 1; |
hx = H x/ N , |
|
|
У} = ( j ~ l)hy> |
J = l>2> |
М + 1; |
hy = H y/ M , |
( 10.86) |
||
хк = { k - l) h x, к = 1,2,
где NyM - числа разбиений области в направлении координат х, у. Применение явной схемы аппроксимации, рассмотренной для од
номерного уравнения переноса, легко распространяется на двухмер ный случай. Количество арифметических действий на одном времен ном слое, пропорциональное числу узлов N в одномерном аналоге, становится пропорциональным N-M в двухмерном аналоге, т.е. оста ется пропорциональным числу узлов сетки. При неявной схеме ап проксимации одномерного уравнения переноса число арифметиче ских действий при решении системы матричных уравнений прямым методом пропорционально N2, а для двухмерного уравнения это число операций возрастает пропорционально {N-M)1 При сведении двух мерного уравнения переноса к двум одномерным число арифметиче ских действий пропорционально (ТУ2+Л/2) и значительно сокращается по сравнению с (N'M )2.
Схемы аппроксимации, в которых число арифметических действий, необходимых для перехода от одного временного слоя к другому про порционально числу неизвестных, называются экономичными. Напри мер, экономична явная схема, в которой, однако, объем вычислений ве лик из-за жесткого ограничения на шаг по времени. Экономичной явля ется и схема расщепления неявного уравнения переноса, позволяющая проводить расчеты с большими шагами по времени.
\ п ' +Ф-(* “) +фЛ А V ') = A [A - ( * ) + A ,W ]- <10-89>
При переходе с полуцелого слоя схема, наоборот, явна по у и неяв на по х :
S ‘Jh + ФX(S и) + Фу(§ v) = A [ A x(s) + A y(5)]. (10.90)
Описанную схему расщепления называют продольно-поперечной прогонкой. Уравнения (10.89), (10.90) можно переписать, поместив неиз вестные в левую, а известные в правую часть:
+ у [ ф # “) - л л . р ) И . , |
--< * ,(* )]. (1091) |
S,., + у[ф.(Й')-<Л.('9)Н и - YK(^)-^A,(s)j.
В результате для всех внутренних точек соотношения (10.91) обра зуют две системы линейных алгебраических уравнений:
а \ * ^ i - i j |
|
|
+ c i * ^ i + i . j |
= f \ |
> |
|
|
a 2 ^ i |
, j - \ |
, + |
$ i , j |
~ ^ C 2 ^ i J |
+\ = f |
2 * |
(10.92) |
/ = 2, |
3, |
N\ |
У=2, 3, |
|
M y |
|
|
которые решаются последовательно. Коэффициенты и правые части урав нений (10.92) могут быть найдены из сравнения их с уравнениями (10.91). Решению каждой системы предваряет снос части граничных условий с предыдущего слоя, который на схеме расщепления (см. рис. 10.9) пока зан штриховыми стрелками.
Продольно-поперечная схема расщепления объединяет преимуще ства явной и неявной схем, поэтому ее называют явно-неявной.
При решении трехмерного уравнения переноса вводится два полуцелых слоя: £-1/3 и £-2/3. Выполняя аналогичные преобразования, можно показать, что задача в этом случае сводится к последовательному реше нию трех систем линейных алгебраических уравнений на каждом слое по времени.