10.8. Решение уравнения Пуассона

Итерационный процесс (10.96) заканчивается при достижении тре­ буемой точности:

\ич+1

Y i j

где Еунаперед заданное малое число. Необходимое число итераций зави­ сит от числа узловых точек и уменьшается от нескольких десятков в на­ чальной стадии решения о - 1|/-/-системы, когда градиенты велики, до не­ скольких единиц по мере уменьшения градиентов.

Основное преимущество итерационного метода заключается в само­ корректирующемся решении, дающем минимальные ошибки округле­ ния. Привлекает в нем и простота вычислительного алгоритма.

Другой алгоритм состоит в переходе от уравнения (10.93) к уравнению

т* —♦ оо д\у/дх —>0 уравнения (10.93) и (10.98) совпадают. К уравнению (10.98) можно применить расщепление по указанному параметру. При­

где А . - шаг параметра установления или итерационный параметр. Соотно­ шения (10.99) приводят к двум системам алгебраических уравнений, совпа­ дающих по структуре с уравнениями (10.92). Точность итерационного про­ цесса, как и в первом случае, контролируется условием (10.97). Второй ал­ горитм более трудоемок, но может оказаться предпочтительнее из-за высокой скорости сходимости при удачном выборе итерационного пара­

полненной с размещением ненулевых элементов по диагонали в три ряда. Такие матрицы называются ленточными трехдиагональными. Важным свойством является симметрия матрицы относительно ее диагонали, выте­ кающая из равенства коэффициентов а и с в уравнении (10.100). Указанные свойства матрицы [Я] позволяют занимать незначительное место для ее хранения в запоминающем устройстве компьютера, поэтому матрицу [Я] называют порождающейся в отличие от хранящейся матрицы.

Перейдем к рассмотрению эффективных способов решения системы

( 10. 100).

10.10. Метод прогонки

Метод прогонки является модификацией метода исключения Гаус­ са, учитывающей свойства матрицы Я. Решение системы (10.100) в узло­ вой точке ищется в виде линейной функции. В частности, для (М)-й точ­ ки эта функция имеет вид

где р у, z .- неизвестные пока вспомогательные коэффициенты. Подста­ вим (10.103) в (10.100):

который реализуется в фортран-программе:

SUBROUTINE PROG(A,B,C,F)

DIMENSION BETA(lOl), ZET(101), F(101)

COMMON S(101), N, TC, LAMBDA, H, ALFA

N1 =N-1

C = LAMBDA/ALFA/H

BETA(2) = C/(l+C)

ZET(2) = TC/(1+C)

DO 1 1 = 2,N

R=A*BETA(I)+B

BETA(U-l) = -C/R

1ZET(I+1) = (F(I) -A*ZET(I))/R

S(N) = (C*ZET(N+1)+TC)/( 1+C*( 1 -BETA(N+1))) DO 2 I = 2, N1

J = N+l-I

2 S(J) = BETA(J+1) *S(J+1)+ZET(J+1) RETURN

END

В качестве теста для проверки программы рассмотрим пример ста­ ционарной теплопроводности плоской стенки при граничных условиях

первого рода (а=°°). Решении задачи методом сеток дает систему урав­ нений с граничными условиями

=; S n+, = s n

При числе разбиений N = 4, граничных условиях 5„=100,5П=200 система имеет следующее решение: 5^=125,5'3=150,54=175. Запишем эту систему в векторно-матричной форме:

, + з ( 1- " - )

Неизвестные с номерами, кратными 2, но не кратными 4, определяются из уравнений

где A=l, 2,....

Из уравнения (10.127) следует, что после (n-l)-ro шага исключения остается одно уравнение для S 2._, = S N/2 с известной правой частью:

D ^ ' S j = F . ("_l) + 5 0 + j = 2n-' (10.130)

Объединяя его с группой уравнений (10.128), получим последова­ тельность уравнений

которая в совокупности с уравнениями (10.129) описывает метод полной редукции. Сначала по формулам (10.129) преобразуются правые части, а из уравнений (10.131) находится решение исходной задачи (10.120).

Графическая иллюстрация описанного алгоритма для N=8 представле­ на на рис. 10.11. Сначала показана последовательность вычисления правых

частей F jk\ причем в заштрихованных квадратах информация запоминает­

ся для последующего использования. На обратном ходе (рис. 10.11,6) по найденным правым частям и граничным условиям последовательно вычис­ ляются значения искомого параметра во всех узловых точках, обозначен­ ных окружностями.

F ® r -

F 0> -

F f -

b

ь

m

Рис. 10.11. Геометрическая интерпретация прямого ( а)

и обратного ( б) ходов метода полной редукции

Поскольку в Фортране цикл начинается с 1, то перейдем от индексаj к первоначальному индексу / и запишем алгоритм полной редукции:

£)(*) = [£,(*-')]2 _ 2у

который реализуется в программе: SUBROUTINE RED (D,F) DIMENSION F(101) COMMON NM, S(101)

N = 2**NM N1=N+1

NM1=NM-1

DO 1 K = 1,NM1 Ю=2**К

11= 10+1

I2=N 1 -10

D=D**2-2.

DO 1 1=11,12,10

1F(I)=F(I-I0+2)+D*F(I)+F(I+I0-2) DO 2 K=l, NM

KK=NM-K+1 I0=2**(KK-1) *2 11=1+10/2

I2=N 1-10/2

DO 2 1=11,12,10

2S(I)=(F(I)+S(I-I0/2)+ S(I+I0/2))/D RETURN

END

В качестве примера приведем решение методом редукции одномер­ ной тестовой задачи о температурном поле плоского слоя. Постановка конечноразностной краевой задачи имеет вид

Получили искомое линейное распределение искомого параметра. Метод редукции позволяет уменьшить по сравнению с методом про­

гонки число арифметических действий для нахождения решения задачи. Существенным преимуществом редукции является то, что она дает меньшие ошибки округления при обращении матриц высокого порядка, чем прогонка.

10.12. Метод последовательной линейной верхней релаксации

Наряду с прямыми методами для решения сеточных уравнений при­ меняются итерационные методы, дающие решения в виде предела после­ довательности однообразных итераций. Основное их преимущество пе­ ред прямыми методами заключается в самокорректирующемся решении, дающем минимальные ошибки округления. Привлекает в них и простота вычислительного алгоритма.

Рассмотрим один из эффективных итерационных методов - метод по­ следовательной линейной верхней релаксации, итерационная процедура которого применительно к разностному уравнению (10.100) имеет вид

/ = 2,3,..., N, (10.134)

О

где q - номер итерации; у - параметр релаксации. При у = 1 получаем про­ цесс последовательных смещений, или процесс Зейделя. Введение пара­ метра верхней релаксации 1 < у < 2 позволяет ускорить сходимость ите­ рационного процесса (10.134), причем наибольшая скорость сходимости имеет место при оптимальном значении параметра релаксации у = уопт. Последнее зависит от порядка системы и может быть вычислено через число разбиений расчетной области,

Эта формула применима для одномерной области с регулярной сеткой. Расчет по формуле (10.134) с учетом (10.135) продолжается до тех пор, пока искомое решение не будет удовлетворять требуемой точности,

— (10.136)

S 4

где s s - требуемая точность. С использованием обозначений: IT - теку­ щий номер итерации q; МАХ - максимальное число итераций; EPS - тре­ буемая точность; GAMMA - оптимальный параметр релаксации; PI - число л; D - ячейка с максимальной относительной погрешностью запи­ шем Фортран-программу, реализующую итерационный алгоритм:

SUBROUTINE POLE (А, В, С, F)

DIMENSION F(101)

COMMON S(101), N, MAX, EPS, PI

SI=SIN(PI/2/N)

GAMMA=2./( 1 .+SQRT(SI*(2.-SI)))

G l=l.-G A M M A

IT=1

1D=0

DO 21=2, N

SS=GAMMA/B*(F(I)-A*S(I-1)-C*S(I+1))-KJ 1*S(I) R=ABS (1-S(I)/SS)

IF (R.GT.D) D=R

2S(I)=SS

IF (D.LE.EPS) GO TO 3

IT=IT+1

IF (IT.GT.MAX) GO TO 3

GOTO 1

3RETURN END

Вкачестве теста для контроля итерационного процесса рассмотрим систему уравнений с граничными условиями

+S | —О,

^1 = » ^ЛГ+1 = 5 , -

При числе разбиений N=4, граничных условиях 5'n=200, S„=100 и у=1 результаты первых итераций представлены в нижеследующей табл. 10.1