8.1. Теплообмен при вынужденном движении теплоносителя в каналах

стенки трубы среднюю температуру теплоносителя у входа в трубу у выхода Г, тогда усредненная температура теплоносителя по длине канала t может быть определена по формуле

In t ' ~ t п

f - t .

в которой знак плюс берется при охлаждении теплоносителя, а знак ми­ нус - при его нагревании. При небольших изменениях температуры ее определяют как среднеарифметическую,

Средняя скорость теплоносителя определяется через объемный секундный расход и площадь сечения канала по формуле

Входящим в критерии подобия линейным размером для трубы круг­ лого сечения является внутренний диаметр. Для каналов некруглого се­ чения в качестве характерного размера берется эквивалентный диаметр

где S - площадь поперечного сечения канала; П - полный (смоченный) периметр сечения канала независимо от то­ го, какая часть этого периметра участвует в теплообмене.

Пример 1. Определить характерный размер для канала квадратного сечения аХа.

Решение. По формуле (8.7) определяем dm = 4 S /ll= 4 a 2/4a = a .

Пример 2. Определить характерный размер канала при течении теплоносителя в трубе диаметром D в пространстве между четырьмя трубками диаметром d (рис. 8.4).

Решение. По формуле (8.7) определяем

При ламинарном неизотермическом течении теплоносителя воз­ можны два режима с различными закономерностями теплообмена: вяз­ костный и вязкостно-гравитационный.

Вязкостный режим соответствует течению вязких жидкостей при отсутствии естественной конвекции. В этом режиме передача теплоты к стенкам канала и наоборот осуществляется только теплопроводно­ стью, средний коэффициент теплоотдачи в прямых гладких трубах реко­ мендуется определять по формуле

(8.8)

По этому уравнению определяется число Нуссельта, а по нему - ко­ эффициент теплоотдачи а = NuX/d. Нижний индекс в уравнении (8.8) относится к определяющей температуре, которая принимается либо по температуре потока, либо по температуре стенки канала.

При вязкостно-гравитационном режиме на вынужденное движение теплоносителя влияет свободная конвекция, учитываемая числом Грасгофа, достаточно точное обобщение опытных данных дает формула

Для воздуха и двухатомных газов число Прандтля практически не зави­ сит от температуры, поэтому отношение (Ргпот /Ргст) = 1, формула (8.9) упрощается и принимает вид

(8. 10)

Формулы (8.8-8.10) дают среднее значение коэффициентов теплоот­ дачи в длинных трубах (/ > 50d). Для коротких труб (/ < 50d) значения ко­ эффициентов теплоотдачи из этих формул следует умножить на попра­ вочный коэффициент Е/ (табл. 8.1).

При переходном режиме сложный характер течения затрудняет ко­ личественное описание процесса теплообмена, обобщенные методики расчета теплообмена в переходной области отсутствуют.

При турбулентном режиме теплообмена в интервале чисел Рей­ нольдса Reno^l' Ю4- • .5-106 и Прандтля Ргпот=0,6...2500 теплоотдача опи­ сывается уравнением М.А. Михеева

Как и в предыдущих формулах (8.8-8.10), при расчете теплоотдачи в коротких каналах (/ < 50d) вводится поправочный коэффициент

увеличивающий расчетные значения теплоотдачи по формулам (8.11,8.12). Расчетные формулы показывают, что турбулизация течения (с уве­ личением числа Рейнольдса) ведет к увеличению теплоотдачи и потока тепла. В теплообменных аппаратах на практике применяют турбулизирующие решетки на входе в канал, закрутку потока теплоносителя и дру­ гие меры, которые приводят, однако, к увеличению гидродинамического

сопротивления.

Пример 3. Определить коэффициент теплоотдачи и количество пе­ реданной теплоты при течении воды в горизонтальной трубе диаметром d = 8 мм и длиной / = 6 м, если скорость и = 0,1 м/с, температура воды /Пот= 80°С, температура стенки трубы tcr= 20°С.

Решение. При tnm= 80°С свойства воды: А,пот= 0,675 Вт/(м*К), vnoT= =0,365IQ'6 м2/с, р = 6,32-10"* К"', Ргпот = 2,21; при Гст= 20°С Ргст = 7,02.

При этих свойствах вычисляем критерии Рейнольдса и Грасгофа:

из полученных значений делаем вывод о вязкостно-гравитационном ре­ жиме течения воды, применяя формулу (8.9), получаем

N u - r =0,15 Re®’” Pr®^3Gr®^ (Ргпот /Ргст )0,25 = = 0,15-2190°’” • (1,43-106)0’‘(2,21/7,02)°’25 =8,56.

Средний коэффициент теплоотдачи

Поправку на длину трубы вводить не следует, т.к. I / d = 6 1 0,008 = =750 > 50. Количество передаваемой теплоты через всю трубу

Q = a ( f nOT —/ст )пdl = 724 • (80 - 20) • 3,14 • 0,008 • 6 = 6,54 кВт.

Теплоотдачу в жидких металлах, для которых Pr < 1 (v < а), т.е. моле­ кулярная теплопроводность преобладает не только в пограничном слое, но и в турбулентном ядре потока, можно рассчитать по формуле

применяемой в интервале критериев Прандтля Рг = 0,004.. .0,032 и Рей­ нольдса Re = 104... 106. Для коротких труб (l/d < 30) вычисленное значе­ ние коэффициента теплоотдачи умножается на поправочный коэффици­ ент, величина которого определяется по формуле

При вычислении чисел подобия за определяющий линейный размер принят внешний диаметр трубы, за определяющую температуру - сред­ няя температура теплоносителя.

Пример 4 . Цилиндрическая труба с наружным диаметром d = 30 мм и длиной / = 5 м охлаждается поперечным потоком воды с температурой tnoT = 283 К. Скорость воды и = 2 м/с. Температура поверхности трубы tCT =353 К. Определить коэффициент теплоотдачи от поверхности трубы к охлаждающей воде и количество передавае­ мой теплоты.

Решение. При ^пот= 283 К свойства воды: А*от= 0,575 Вт/(м К), vn0T= 1,306* 10"6 м2/с, Ргпот = 9,52; при tcr= 353 К Ргст = 2,21.

В этих условиях по значению критерия Рейнольдса

применяем формулу (8.18)

откуда

Количество теплоты, передаваемой трубе,

Q = а (/пот - t„ )ndl= 10200 • (353 - 283) -3,14 0,03 *5 = 336 кВт.

Для расчета теплообменных аппаратов при смешанном режиме (Ren0T и 1 103 —1 105) применяются уравнения, полученные В.П. Иса­ ченко для третьего ряда пучка труб:

при коридорном расположении труб

где поправочный коэффициент е, учитывает влияние относительных ша­ гов и определяется по формулам для глубинных рядов коридорного пуч­

нята средняя температура теплоносителя, за определяющую скорость - скорость теплоносителя в самом узком сечении ряда, за определяющий размер - диаметр трубы.

Значение коэффициента теплоотдачи для первого ряда трубок опре­ деляется путем умножения коэффициента теплоотдачи для третьего ря­ да на поправочный коэффициент Е]=0,6; для второго ряда трубок в шах­

матных пучках - на е2=0,7, а в коридорных - на е2=0,9.

Среднее значение коэффициента теплоотдачи для всего пучка труб

где a i - средние коэффициенты теплоотдачи в отдельных рядах труб; S, - площади поверхности нагрева каждого ряда; п - количество рядов труб.

Пример 5. Определить средний коэффициент теплоотдачи конвек­ цией от поперечного потока дымовых газов состава Н20~11 %; С 0 2~13 % и N2~76 % к стенкам восьмирядного пучка труб. Трубы диа­ метром d = 60 мм. Средняя скорость потока газов в самом узком сече­ нии пучка и = 10 м/с. Температура газов перед пучком fnorl=1473 К, за пучком *„от2= Ю73 К. Давление пара внутри труб равно 100 бар и тем­

пература поверхностей труб *„=584 К. Расчет провести для коридорно­ го и шахматного расположения труб в пучке.

Решение. За определяющий размер принят диаметр труб, за опреде­ ляющую температуру - средняя температура дымовых газов

=0>5(<пот, + *пот2)га//= 0,5(1473+ 1073) = 1273 К Значения физических параметров дымовых газов при этой темпера­

туре: v,,OT—174,3 • 1СГ6 м2/с, А,пот= 0,109 Вт/(м*К), Ргпот = 0,58; при fCT= 584K Ргст = 0,652. Число Рейнольдса Rе = м <//v = 10 0,06/l74,3 10~6 =3450.

При этом числе Рейнольдса расчет теплоотдачи ведется для третьего ря­ да пучка по следующим уравнениям:

при коридорном расположении труб - по формуле (8.20)

а ш1 = 0,6а ш3 =0,6-80,3 = 48,2- ? Ь м К

Например, средний коэффициент теплоотдачи при турбулентном режиме свободной конвекции определяют из уравнения

В этих формулах за определяющую температуру принята темпера­ тура теплоносителя вдали от нагретой поверхности. Определяющий раз­ мер зависит от формы и расположения поверхности теплообмена: для труб и шаров за определяющий размер следует принимать их диаметр, для вертикальных плит - их высоту, отсчитываемую от начала теплооб­ мена, для горизонтальных плоских поверхностей - наименьший гори­ зонтальный размер.

Запишем уравнение (8.24) в размерных переменных, приняв за мас­ штаб длины высоту стенки А,

Видно, что при турбулентном режиме средний коэффициент тепло­ отдачи не зависит от характерного размера - высоты стенки, т.е. процесс теплоотдачи автомоделей к этому параметру.

Пример 6. Определить передачу теплоты при свободной конвекции от голого вертикального трубопровода диаметром d= 120 мм и высотой h =6 м к воздуху. Температура стенки t„= 523 К, температура воздуха tm =293 К.

Решение. При определяющей температуре /пот= 293 К свойства воз­

Ra ПОТ = GrnOT •Ргпот = 7,34 10'2 0,703 = 5,16 Ю'2

При этих условиях движение воздуха турбулентно и теплоотдача определяется уравнением (8.24)

Эквивалентная теплопроводность

Хт = е кХ = 2,14 0,0349 = 0,0747 Вт/(м К).

Плотность теплового потока через воздушную прослойку определя­ ются по формуле (8.29)

Вопросы для самоконтроля

1.Как определяется средняя температура теплоносителя?

2.Как определяется средняя скорость при вынужденном движении теплоносителя?

3.Как определяется эквивалентный диаметр для каналов некругло­ го сечения?

4.До какого числа Рейнольдса поток теплоносителя не может пере­ ходить из ламинарного в турбулентный режим?

5.Как влияет свободная конвекция на теплоотдачу при ламинар­ ном движении теплоносителя?

6.Какие уравнения подобия рекомендуются при турбулентном движении теплоносителя в трубах?

7.Каковы особенности теплоотдачи в жидких металлах?

8.Каковы особенности процесса теплоотдачи для одиночной тру­ бы при поперечном движении теплоносителя?

9.Какие пучки труб применяются в технике?

10.Какова методика расчета теплоотдачи для пучков труб при попе­ речном движении теплоносителя?

11.Каковы закономерности теплоотдачи при свободном движении

теплоносителя в неограниченном объеме?

12. Каковы закономерности теплоотдачи при свободном движении теплоносителя в ограниченном объеме? Вычисление коэффициента конвекции.

где Щи, у, w) - вектор скорости; V p - градиент давления; а2, р2 - коэффи­ циент температуропроводности и плотность жидкой фазы металла.

На границе фазового перехода (на рис. 9.1 это граница х = е) плотно­ сти тепловых потоков в твердой и жидкой фазах равны и связаны со ско­ ростью продвижения границы соотношением

(9.5)

где L [Дж/кг] - удельная теплота фазового перехода; плотность р отно­ сится к исходной фазе, при затвердевании металла это плотность жидкой фазы.

Таким образом, постановка задачи включает уравнение теплопро­ водности для твердой фазы (9.1), систему уравнений тепломассопереноса (9.2-9.4) в жидкой фазе и баланс тепловых потоков на границе раздела фаз (9.5). Задача замыкается другими рассмотренными ранее краевыми условиями, включающими начальное распределение температуры и по­ ля скоростей жидкой фазы, условия теплообмена на поверхности слитка (х=0) и на оси симметрии (*=5), условия «прилипания расплава» на границе фазового перехода.

9.2. Затвердевание плоского слоя

Рассмотрим задачу затвердевания плоского слоя из неперегретого неподвижного расплава, имеющего постоянную температуру U«г- По­ скольку на левой поверхности слоя поддерживается постоянная темпе­ ратура t„< происходит затвердевание расплава, т.е. формируется во

Эффективная теплоемкость (9.12) в этих условиях скачком возраста­ ет в интервале температур двухфазной зоны (рис. 9.7),

Таким образом, выделение скрытой теплоты затвердевания учиты­ вается за счет эквивалентного повышения теплоемкости в двухфазной зоне. При такой постановке

лоемкости от температуры (рис. 9.8) наблюдается спектр повышения тепло­

в которых выделяются теплоты указанных переходов. Поэтому его реше­ ние сводят к последовательному решению линейных уравнений с независя­ щей от температуры неоднородной теплоемкостью. Сначала задают посто­ янную теплоемкость и находят поле температур. По найденному полю тем­ ператур уточняют поле спектральных теплоемкостей и задачу решают вновь. Процесс вычислений продолжается до получения удовлетворитель­ ной точности.

9.4. Приближенный учет конвекции жидкого ядра кристаллизующегося слитка

Для многих металлов коэффициент теплопроводности с увеличени­ ем температуры уменьшается, поэтому теплопроводность твердой фазы больше теплопроводности жидкой фазы (Х^Х*). Однако в жидкой фазе (жидком ядре слитка) тепло переносится не только теплопроводностью, но и конвекцией. Причинами этому могут быть естественная конвекция перегретого расплава, перемешивание расплава струей подаваемого жидкого металла, электромагнитные и другие воздействия на жидкое яд­ ро слитка. Конвективный теплоперенос в объеме жидкой фазы может быть учтен введением эквивалентной теплопроводности

(9.14)

где £ к - коэффициент конвекции, зависящий от интенсивности движения расплава. В частности, в условиях свободной конвекции он зависит, как было показано ранее, от критерия Рэлея и может достигать нескольких де­ сятков. Таким образом, эквивалентная теплопроводность жидкой фазы может значительно превышать теплопроводность твердой фазы слитка.

При затвердевании сплавов, температурный интервал двухфазной зоны которых заключен между значениями температур ликвидуса и солидуса, возникает необходимость интерполяции теплопроводности. На рис. 9.9 показан вариант линейной интерполяции теплопроводности в двухфазной зоне:

Рис. 9.9. Аппроксимация теплопроводности у фронта фазового перехода

Возрастание эквивалентной теплопроводности в жидкой фазе при ее перемешивании приводит к увеличению теплоотдачи на фронте фазово­ го перехода, разогреву твердой фазы и соответственному увеличению теплоотдачи на поверхности слитка.

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяются границы фронта фазового перехода при затвер­ девании сплавов?

2.Как определяется плотность теплового потока на границе фазово­ го перехода?

3.Математическая формулировка задачи теплопроводности с под­ вижной границей фазового перехода.

4.Получите «закон квадратного корня» роста корки твердой фазы при затвердевании слитка.

5.Какова методика сквозного счета в задачах теплопроводности со структурными и фазовыми переходами?

6.Вид функции относительного содержания твердой фазы в задачах

сфазовым переходом.

7.Способы вычисления эффективной и спектральной теплоемкостей.

8.Способ вычисления теплопроводности на границе фазового пере­

хода.

9.Как приближенно учесть конвекцию жидкого ядра кристаллизую­ щегося слитка в задачах теплопроводности?

10. ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО

ЭКСПЕРИМ ЕНТА В ЗАДАЧАХ

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

10.1. Основные понятия метода сеток

Решение краевых задач теплофизики в каждом конкретном случае является достаточно сложным процессом. Аналитическое решение даже одномерного уравнения теплопроводности, являющегося дифференци­ альным уравнением в частных производных параболического типа, трудноосуществимо, если иметь в виду зависимость теплофизических свойств от температуры, нелинейность граничных условий, т.е. зависи­ мость их от температурного поля. Можно сказать, что аналитические ме­ тоды оказываются практически непригодными для нахождения двух- и трехмерных температурных полей в областях сложной конфигурации. От этих недостатков свободны численные методы, в которых дифферен­ циальные операторы заменяются алгебраическими, получающиеся мат­ ричные уравнения решаются на компьютерах с нахождением темпера­ турного поля в узловых точках конечно-разностной сетки.

Основная идея численных методов состоит в замене непрерывных производных по времени и координатам, входящих в уравнения переноса и Пуассона, а также в краевыеусловия, их приближенными значениями в от­ дельных точках (узлах) конечно-разностной сетки. В результате такой за­ мены дифференциальная краевая задача сводится к системе алгебраических (матричных) уравнений относительно искомых параметров в узлах и ячей­ ках сетки.

В общем случае расположение узлов сетки в исследуемой области мо­ жет быть произвольным. Оно определяется особенностями решаемой зада­ чи. На практике часто применяют сетку, равномерно покрывающую расчет­ ную область. Такая сетка с постоянными расстояниями между ближайши-

ми узлами (ma^a^li i ltenf 1) нас! fteоаотря-■'регулярной? PpdsQJ];нт такой сетки

Л ы

Ат

Нх

Рис. 10.1. Фрагмент регулярной сетки

ми узлами (шагами сетки) называется регулярной. Фрагмент такой сетки применительно к одномерной нестационарной задаче показан на рис. 10.1. Узлы этой сетки определяются координатами

где N - число разбиений по толщине слоя Нх; hx, ht - соответственно шаги

пространственной (по х) и временной (по т) сеток; /, к - номера узловых

точек в направлении координат х, т .

Получим приближенные (аппроксимированные) формулы для пер­ вой и второй производных переносимой величины S(x, х), входящей в уравнение переноса. Для этого рассмотрим ее разложение в ряд Тейло­

Ряд является убывающим, и для нахождения приближенного значе­ ния первой производной можно ограничиться двумя членами разложе­ ния. Третий член разложения (10.2), являясь максимальным из отбро­ шенных, характеризует в этом случае ошибку аппроксимации или огра­

ничения. С точностью до ошибки аппроксимации можно записать первую производную в конечных разностях:

Выбирая узловые точки справа и слева от рассматриваемой точки х0 на расстоянии шага hx(х=х0+ hx, х=х0- йх), можно получить из (10.3) фор­ мулы право- и левосторонней разностей:

dS(x,x о) S(x,x0 + hx) - S ( x ,x 0)

дх

dS(x,x о) S(x,x0) - S ( x ,x 0 - h x)

(10.4)

Для нахождения ошибки аппроксимации полученных выражений воспользуемся рядом Тейлора (10.2), учитывая в нем три члена разложе­ ния. Подставим в этот ряд значения х=х0и x=x0+hx и вычтем из второго уравнения первое, в результате получим

порядок шага сетки hx. В этом случае, имея в виду первую степень шага сетки в остаточном члене разложения, говорят, что формула (10.5) ап­ проксимации первой производной имеет первый порядок точности.

Используя нумерацию узловых точек, можно записать полученные формулы односторонних разностей для i-й узловой точки на k-и слое по времени:

Среднее арифметическое значение право- и левосторонних разно­ стей дает формулу центральной разности

Существующие схемы аппроксимации делятся на явные, когда все производные по координате в уравнении переноса записываются на «старом» (£-1)-м временном слое с известным распределением перено­ симого параметра S, и неявные, когда все производные по координате в этом уравнении записываются на «новом» к-м временном слое с из­ вестным распределением S.

Используя формулу односторонней разности для производной по времени, а также формулу центральной разности для конвективного чле­ на, запишем примеры схем аппроксимации:

явной

и неявной

S - . , t — 2 S , у 4 - s . * .

= ^ _ i±u ------- a ----- !ZLL + B ..

Отметим, что полученные аналоги имеют второй порядок точности по пространственной переменной и лишь первый - по времени.

Из уравнения (10.13) можно явно выразить неизвестную Sik через значения переменных на предыдущем временном слое:

Явная схема проста и позволяет в короткий срок составить и отла­ дить программу расчета на компьютере. Однако жесткое условие устой­ чивости этой схемы накладывает ограничения на величину шага по вре­

мени, что приводит к неоправданному увеличению времени счета, т.е. снижает эффективность программы.

Неявная схема (10.14) дает лишь распределение S на к-м слое:

Соотношения (10.16) образуют для всех внутренних узловых точек к-го слоя систему линейных алгебраических уравнений (TV-l)-ro поряд­ ка, которую можно решать при больших по сравнению с явной схемой шагах по времени.

Различные схемы аппроксимации рассмотрим на примере частного случая уравнения переноса - уравнении теплопроводности (диффузии)

Производные по времени и координате в этом уравнении имеют раз­ личные ошибки аппроксимации соответственно первого и второго по­ рядков точности относительно шагов сетки. Погрешность всего уравне­ ния определяется максимальным значением этой ошибки. Возникает во­ прос нахождения такого соотношения между шагами сетки hx и А*, при котором ошибки аппроксимации левой и правой частей уравнения (10.17) равны. Имея в виду тот факт, что ошибки аппроксимации должны удовлетворять уравнению теплопроводности, запишем

Рис. 10.3. Сеточные шаблоны

Это накладывает ограничение на выбор шага сетки по времени

не противоречащее условию (10.21). Поясним физический смысл огра­ ничения (10.25). Максимально допустимый временной шаг равен време­ ни диффузии параметра S на шаге сетки Ах. При явном методе информа­ ция в точку ijk поступает лишь из окружающих точек с характерной для сетки скоростью А*/Ах. Если эта скорость мала из-за большого шага по времени, то следует ожидать неустойчивости счета.

Условие устойчивости явной схемы является достаточно жестким. Так, при #*=0,01 мЛ=1,5*10_5м2/с (сталь), #=20, Ат< 0,0083 с. Необходи­ мость счета с мелким шагом по времени приводит к увеличению объема вычислений и является существенным недостатком, ограничивающим применение явной схемы первого порядка точности.

От этого недостатка свободна неявная схема первого порядка точно­ сти (схема Лаасонена), согласно которой правая часть уравнения (10.17) записывается на к-м временном слое с неизвестными значениями S:

Шаблон этой схемы, которая абсолютно устойчива при любых ша­ гах по времени и координате, представлен на рис. 10.3,6. Она не дает яв­ ной формулы для определения неизвестных значений S в узловых точках к-го слоя, а описывает лишь распределение:

Соотношения (10.27) образуют для всех внутренних узловых точек к-]го слоя систему линейных алгебраических уравнений (ЛЧ)-го поряд­ ка. Поскольку схема абсолютно устойчива, то счет можно вести с доста­ точно крупными шагами по времени. Это, однако, приводит к увеличе­ нию ошибок аппроксимации уравнения теплопроводности.

Для уменьшения ошибок аппроксимации правую часть уравнения теплопроводности (10.17) усредняют по времени:

Эта схема, называемая схемой Кранка-Николсона, также абсолютно устойчива, имеет второй порядок точности и находит широкое применениев практических расчетах. Шаблон этой схемы представлен на рис. 10.3,в. Соотношения (10.28) образуют для всех узловых точек к-го слоя систему линейных алгебраических уравнений вида (10.27).

В рассмотренных схемах производная по времени аппроксимирова­ лась односторонней разностью с использованием двух слоев сетки по времени. Такие схемы называются двухслойными. Если производную по времени в уравнении (10.17) заменить центральной разностью, имеющей второй порядок точности, а правую часть разнести по трем временным слоям, то получим трехслойную схему. Примером ее может служить схе­ ма Дюфора-Франкеля (рис. 10.3, г)

Из (10.29) можно получить явное выражение для неизвестного значения Si>k+1 в каждом узле сетки:

(10.30)

h2x + 2 Ah,

Полученное соотношение дает необычную для явных схем абсолют­ ную устойчивость счета при любых шагах сетки hx и йт. Однако следует отметить, что при больших шагах по времени рассматриваемая схема приводит к колебаниям, хотя и не возрастающим. Причиной этого явля­ ются ошибки аппроксимации. Поэтому при больших шагах по времени метод Дюфора-Франкеля неточен.

Существуют и другие явные и неявные методы разностной аппрок­ симации уравнения переноса.

10.3. Анализ ошибок

Ошибки, связанные с дискретным представлением уравнения пере­ носа и проведением расчетов на компьютере, можно разделить на три ви­ да: ошибки округления, ошибки аппроксимации, схемные ошибки.

Ошибки округления связаны с выполнением арифметических опера­ ций, в которых числа представляются в экспоненциальной форме с огра­ ниченным числом разрядов. Ошибки округления можно уменьшить, из­ меняя метод решения матричных уравнений, последовательность ариф­ метических операций и увеличивая число разрядов для записи чисел в компьютере (например, применяя двойную точность).

Ошибки аппроксимации обычно больше ошибок округления и связаны с дискретным представлением отдельных членов уравнения переноса, ис­ пользованием разложения функции в укороченный ряд Тейлора. Порядок ошибки аппроксимации оценивается максимальным значением остаточно­ го члена ряда Тейлора. Так, ошибка аппроксимации первой производной односторонней разностью (10.5) имеет первый порядок, т.е. порядок шага сетки в первой степени. Ошибка аппроксимации второй производной (10.9) имеет второй порядок точности относительно шага сетки. Грубо ошибки

аппроксимации можно оценить на следующем примере. При числе разбив ний по толщине слоя ЛМО шаг сетки 1/10, ошибка аппроксимации пер. вой производной односторонними разностями определяется как О(й>1/1(ЫО%, второй производной - 0(h*) «1/100 «1%. Более точно ошибки аппроксимации всего уравнения переноса можно оценить, находя решение на последовательности сгущающихся сеток.

Проиллюстрируем это на формуле для второй производной (10.9):

Имея два расчета на разных сетках, можно оценить величину по­ грешности. Для этого вычтем из (10.32) (10.31), в результате получим оценку погрешности

R _ S(x,hx ) - S ( x ,r h x )

(10.33)

г 2 —1

Первое слагаемое есть главный член погрешности. Таким образом, расчет на второй сетке позволяет с точностью до остаточного члена o(hx ) оценить погрешность расчета на первой сетке.

Исключая найденную погрешность (10.33) из формулы (10.31), мож­ но получить результат с более высокой точностью:

Формулы (10.33), (10.34) называются формулами Рунге. По этому методу находят решение на последовательности сеток, причем сгущение

удобно производить в одно и то же число раз, например, йх, hJ2, hJA, h ji и т.д. По каждой паре сеток производят уточнение, включая главный член погрешности (10.33). Уточненные решения также группируют в па­ ры и исключают ошибку следующего, более высокого порядка точности. Число возможных уточнений на единицу меньше числа сеток. При этом на каждом уточнении вычисляется погрешность (10.33), позволяющая увеличить точность приближенного решения (10.34).

На практике полезно строить график изменения функции в характер­ ной точке при сгущении сетки (рис. 10.4). При этом схемы первого по­ рядка точности в области достаточно густой сетки дают линейное при­ ближение к точному решению, а схемы второго порядка точности - параболическое.

Рис. 10.4. Стремление численных решений к точному решению со сгущением сетки при схемах аппроксимации первого (1)

и второго (2) порядков точности

Правило Рунге является частным случаем общего метода экстрапо­ ляции Ричардсона с целью уменьшения ошибок аппроксимации.

Общим свойством ошибок аппроксимации является их исчезнове­ ние при асимптотическом стремлении к нулю шагов сетки.

Кроме ошибок аппроксимации, связанных с точностью представле­ ния отдельных членов уравнения переноса, существуют ошибки, связан­ ные со схемой конечно-разностного аналога всего уравнения переноса (схемные ошибки), В отличие от ошибок аппроксимации схемные ошиб­ ки не исчезают при асимптотическом уменьшении шагов сетки. Однако

Поделим последнее уравнение на АД и перейдем к индексным обозначениям, учитывая, что времени т соответствует индекс к - 1, а т+А - индекс А, получим

Отметим, что конечно-разностный аналог (10.39) уравнения перено­ са, полученный интегральным методом, отличается от соответствующего аналога (10.13), полученного применением приближенных конечно-раз­ ностных формул ряда Тейлора непосредственно к уравнению переноса, т.е. дифференциальным методом. Отличие касается аппроксимации кон­ вективного члена уравнения.

Для того чтобы выявить это отличие, приведем полученную инте­ гральным методом аппроксимацию конвективного члена к виду уравне­ ния (10.13). Для этого предположим, что скорость линейно возрастает в направлении координаты х. Пользуясь формулой усреднения (индекс к- 1 опускаем)

Указанное отличие, как видно из сравнения (10.40) с соответствую­ щей аппроксимацией конвективного члена уравнения (10.13), составляет

A u -S i/h xn исчезает, когда Дм = 0, т.е. при постоянной скорости. Это сви­ детельствует о том, что интегральный и дифференциальный методы дают различные конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения переноса, причем это различие увеличивается с возрастанием градиента скорости переноса. Интегральный метод позволил учесть закон сохране­ ния переносимого параметра S, сформулированный в виде дифференци­ ального уравнения переноса, в дискретном аналоге этого уравнения. Сле­ довательно, ошибку Дм • S. / hxможно трактовать как нарушение закона со­ хранения переносимого параметра в дискретном аналоге уравнения переноса, полученном дифференциальным методом.

Заметим, что указанная схемная ошибка в отличие от ошибок аппрок­ симации при сгущении сетки (hx —>0) не только не стремится к нулю, но даже возрастает.

Рассмотренный пример иллюстрирует преимущество интегрально­ го метода для получения конечно-разностного аналога уравнения пере­ носа перед дифференциальным методом. Однако если дифференциаль­ ный метод применить к уравнению переноса в консервативной форме, то соответствующий конечно-разностный аналог полностью совпадет с (10.39), т.е. закон сохранения переносимого параметра будет строго соблюдаться и в дискретном аналоге уравнения. Форма уравнения пе­ реноса потому и называется консервативной, что она обеспечивает вы­ полнение интегрального закона сохранения переносимого параметра даже при дифференциальном методе получения конечно-разностного аналога.

Другая схемная ошибка связана с неодинаковой точностью конеч­ но-разностного представления отдельных членов уравнения переноса. Поясним ее на следующем примере. Запишем стационарное уравнение пе­ реноса без источника (5=0):

Получим конечно-разностный аналог этого уравнения, применяя для аппроксимации правой части (диффузионного члена) формулу (10.9) вто­ рого порядка точности, а для левой части (конвективного члена) - форму­ лу правосторонней разности (10.5) первого порядка точности:

Уравнение (10.42) имеет низший, первый порядок точности, поэтому по­ грешностью 0 ^h * y имеющей более высокий второй порядок, можно

пренебречь. Подставляя в (10.42) погрешность 0(hx ) из (10.5), получим

Усредним скорость в пределах шага сетки и = и и объединим коэф­ фициенты при вторых производных, в результате получим

(10.44)

Из последнего уравнения видно, что погрешность влияет на коэффици­ ент при диффузионном члене уравнения переноса, поэтому ее называют

схемной искусственной диффузией. Вынесем в уравнении (10.44) коэф­ фициент диффузии за скобку:

При переносе импульса параметр А принимает значение кинемати­ ческой вязкости (A=v), при переносе тепла - коэффициента температуро­ проводности (А=а). Введем сеточные числа Рейнольдса и Пекле по Ло­ кальной скорости и характерной длине, равной шагу сетки:

а при переносе тепла - в схемную температуропроводность,

откуда

(10.47)

Последние соотношения являются условиями, при которых счетная вязкость и температуропроводность не проявляются. Эти соотношения

Однако в практических расчетах ограничение (10.48) оказывается очень жестким, поэтому диффузия, которую мы будем в дальнейшем назы­ вать счетной диффузией, всегда присутствует. С математической точки зре­ ния счетная диффузия увеличивает физическую вязкость и температуро­

Счетная диффузия проявляется в «размазывании» внешних возму­ щений, в стремлении сделать распределение переносимых величин бо­ лее однородным.

Отметим, что аппроксимация всех членов уравнения переноса с оди­ наковым порядком точности, например, вторым, приводит к исключе­

нию счетной диффузии. Имея в виду перенос импульса, такие схемы на­ зывают безвязкостными.

Следующая схемная ошибка связана с нарушением свойств транспортивности, при котором внешнее возмущение переносится за счет конвекции только в направлении скорости. Ошибку транспортивности проиллюстрируем на уравнении переноса, учитывая в нем только нестационарный и конвективный члены,

Конечно-разностный аналог этого уравнения запишем с помощью формул правосторонней и центральной разностей:

Рассмотрим некоторое возмущение *S=8 только в одной точке полагая н>0. Тогда в точке i=n+ 1 по потоку

Таким образом, возмущение 8, которое должно переноситься только в направлении скорости, т.е. по потоку, при использовании формулы центральной разности для конвективного члена переносится и против потока. Схема (10.52) не обладает поэтому свойством транспортивности, а (10.54) характеризует схемную ошибку в точке i= n-1, связанную с На­ рушением этого свойства. Нарушение свойства транспортивности экви­ валентно возникновению фиктивных (счетных) источников (стоков) в конечно-разностном аналоге уравнения переноса.

Существуют и другие схемные ошибки, связанные главным образом с нестационарностью и многомерностью уравнения переноса. Схемы ап­ проксимации уравнения переноса, свободные от схемных ошибок, назы­ ваются нейтральными.