Вопросы для самоконтроля

1.Какие процессы приводят к решению нестационарной задачи теп­ лопроводности?

2.Постановка краевой задачи нестационарной теплопроводности.

3.В чем состоит идея метода разделения переменных при решении нестационарного уравнения теплопроводности?

4.Аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводно­ сти для плоского слоя.

5.Как определить температуру на поверхности и в центре плоского слоя при его нагревании, охлаждении?

6.Когда применяют метод регулярного теплового режима расчета нагрева, охлаждения тел?

7.Выведите уравнение метода регулярного теплового режима.

8.Как определить темп охлаждения, нагревания тела?

7 . ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

ИМОДЕЛИРОВАНИЯ ЯВЛЕНИЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

7.1.Условия подобия процессов тепло- и массообмена

Решение реальных задач тепломассообмена на основе математиче­ ского моделирования затруднительно. Наиболее мощным средством ре­ шения таких задач, обобщения экспериментальных и расчетных данных является теория подобия и моделирования.

Теория подобия (учение о подобных явлениях) дает общий метод преобразования выражений, содержащих дифференциальные операто­ ры, к простейшим алгебраическим уравнениям.

Суть метода в том, что реальный процесс заменяет­ ся простейшей условной схемой (моделью), в кото­ рой все дифференциальные операторы сохраняют по­ стоянное значение в про­ странстве и во времени. Тер­ мин «подобие» заимствован из геометрии. Так, для по­ добных фигур (рис.7.1)

где С/ - константа геометрического подобия. Для реализации подобия физических явлений геометрического подобия недостаточно, необходи­ мо соблюдение подобия и по другим характеристикам, определяющим

эти явления: времени, скоростям, температурам, теплофизическим свой­ ствам и т.д.

Дадим основные понятия подобных явлений.

Одноименными величинами называются такие, которые имеют оди­ наковые физический смысл и размерность (например, температура объ­ екта и модели).

Сходственными точками системы называются такие точки, коорди­ наты которых удовлетворяют условию геометрического подобия (7.1).

Сходственные моменты времени наступают по истечении периодов времени т1и тм, имеющих общее начало отсчета и связанных между со­ бой константой временного подобия Сх = тм/т\

Подобными называются физические явления, протекающие в гео­ метрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных величин есть постоянные числа. Эти постоянные числа называются критериями подобия.

Следует отметить, что подобными могут быть явления одинаковой природы, описывающиеся одинаковыми аналитическими зависимостями. Явления, описываемые одинаковыми уравнениями, но имеющие различ­ ную природу, называются аналогичными. Пример аналогичных явлений: теплопроводность и диффузия, описываемые одинаковыми по внешнему виду уравнениями Фурье и Фика. Известны электротепловая, гидротепло­ вая аналогии.

Получим критерий подобия из уравнения теплоотдачи в погранич­ ном слое

Запишем это уравнение для реального объекта

Введем константы подобия для входящих в уравнение (7.2) величин:

из которых найдем переменные для модели:

Подлинный смысл этого факта заключается в том, что существенное зна­ чение для процесса теплоотдачи имеет не каждый из этих параметров в отдельности (а, /, Х)> а вполне определенная их комбинация, называе­ мая критерием Нусселыпа,

Критерий Нуссельта Nu = a/(X /tj характеризует безразмерный коэф­ фициент теплоотдачи.

При внешней схожести критериев Нуссельта и Био между ними су­ ществуют два различия:

1) в критерий Био входит коэффициент теплопроводности X твердо­ го тела, а в критерий Нуссельта - X теплоносителя (жидкости или газа)

впограничном слое;

2)в критерии Био коэффициент теплоотдачи а задан из граничных условий 3-го рода, в критерии Нуссельта коэффициент теплоотдачи - ве­ личина искомая, поэтому сам критерий Нуссельта является искомой величиной.

Критерий подобия Нуссельта можно получить и другим путем - пу­ тем анализа размерностей уравнения теплоотдачи (7.2):

Полученной константой подобия - критерием Нуссельта - удобно пользоваться при моделировании теплоотдачи между твердой поверхно­ стью и омывающей эту поверхность текучей средой. В результате при исследовании единичного явления можно получить обобщенную зави­ симость, пригодную для всех подобных явлений. Эта функциональная зависимость критерия Нуссельта от других критериев подобия (Ки К2>...) называется уравнением подобия,

Уравнение подобия (7.4) выполняется только в диапазоне критериев по­ добия К и Къ ..., который наблюдался в опытах или использовался в рас­ четах для получения этого уравнения.

Условия, достаточные для существования подобия физических явле­ ний, были впервые сформулированы в 1930 году (теорема КирпичеваГухмана) в виде трех положений:

1)подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т.е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться оди­ наковыми дифференциальными уравнениями;

2)условия однозначности подобных процессов должны быть одина­ ковыми во всем, кроме численных значений размерных постоянных, со­ держащихся в этих условиях;

3)одноименные критерии, определяющие подобные процессы, должны иметь одинаковые численные значения.

Последнее положение теоремы Кирпичева-Гухмана отражает тот факт, что при исследовании процесса теплоотдачи на модели, уменьшен­ ной в два раза, коэффициенты теплоотдачи будут во столько же раз за­ вышены по сравнению с реальным процессом.

Отметим следствия теоремы:

1)если процессы А и В подобны, то любая физическая величина <р

вданной точке процесса А пропорциональна соответствующей величи­ не в сходственной точке процесса В\

2)подобные процессы можно рассматривать как один и тот же про­ цесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных величин могут быть неодинаковыми.

7.2. Критерии подобия

Дифференциальные уравнения тепловой конвекции содержат раз­ мерные физические величины, описывающие процесс теплообмена в конкретных условиях. При объединении размерных физических вели­ чин в безразмерные комплексы число этих комплексов оказывается меньше числа составляющих их величин. Это значительно упрощает многопараметрическое исследование процессов конвективного теплооб­ мена. Полученные безразмерные комплексы, называемые критериями подобия, можно рассматривать как новые переменные.

Рассмотрим критерии подобия, вытекающие из уравнения переноса тепловой энергии. Для этого запишем одномерное уравнение переноса тепловой энергии без источников тепла

(1)(2) (3)

Оценим отношение второго члена уравнения, характеризующего кон­ вективное тепло, к третьему члену, характеризующему диффузионное те­ пло. При этом будем пользоваться характерными размерными величина­ ми: скоростью и, температурой t, температуропроводностью а и линей­ ным размером /:

(2) _ ut lat_ _ Ш

0 ) ~ 1 / 7 ~ 7

Полученный критерий подобия называется числом Пекле,

характеризующим относительную интенсивность конвективного и диф­ фузионного механизмов переноса тепловой энергии. Так, при Ре>1 кон­ вективный механизм переноса тепловой энергии преобладает над диффу­ зионным механизмом. Если задача решается с инженерной точностью 5 %, то при Ре>95 третьим членом в уравнении (7.5) можно пренебречь по сравнению со вторым. Таким образом, в сравнении интенсивностей про­ цессов конвекции и диффузии тепла существенное значение имеют не три

размерных параметра н, /, а в отдельности, а их вполне определенная ком­ бинация, называемая числом Пекле.

Отношения других членов уравнения (7.5)

характеризуют безразмерное время процесса переноса тепла, причем /2Уа - характерное время процесса переноса тепла теплопроводностью, //м - характерное время процесса переноса тепла конвекцией. Получен­ ные критерии характеризуют безразмерное время процесса переноса те­ пла и называются критериями Фурье (Fo) и гомохронности (Но - одно­ родности по времени),

При одинаковом характерном времени процесса переноса тепла конвекцией (//м) для объекта и модели гомохронность переходит в син­ хронность.

Рассмотрим критерии подобия, вытекающие из уравнения движения

Уравнение представляет баланс сил инерции (1,2), тяжести (3), внешнего давления (4) и вязкого трения (5).

Отношение второго члена уравнения, характеризующего силы инер­ ции при стационарном течении, к пятому, характеризующему силы вяз­ кого трения, является важнейшим критерием подобия, характеризую­ щим режим течения и называемым числом Рейнольдса,

При малых значениях числа Рейнольдса (Re < 2 103) силы вязкого тре­ ния преобладают над силами инерции, циркуляция вязкой среды имеет слоистую, ламинарную структуру. При больших значениях числа Рей­ нольдса (Re > 104), когда инерционные силы преобладают над силами вязкого трения, циркуляция вязкой среды имеет турбулентную структу­ ру. Поперечные пульсации скорости и температуры при турбулентной конвекции приводят к возрастанию вязкости и температуропроводности. Полученные, ранее уравнения переноса импульса и энергии остаются справедливыми для усредненных скоростей и температур, в них появля­ ются лишь добавки к коэффициентам вязкости и температуропроводно­ сти, учитывающие турбулентность и вычисляемые с привлечением до­ полнительных полуэмпирических гипотез турбулентности. Область из­ менения числа Рейнольдса 2 103 < Re < 104 характеризует смешанный режим течения, при котором наблюдается примерное равенство сил инерции и вязкого трения и происходит смена ламинарного и турбулент­ ного режимов течения.

Таким образом, число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкого трения, играет важную роль для определения структуры течения теплоносителя при вынужденной конвекции.

Отношение третьего члена уравнения (7.6) ко второму дает число

Фруда:

характеризующее относительную по сравнению с инерционной силу тя­ жести.

Из сравнения сил внешнего давления с силами инерции в уравнении (7.6)

(4) _ Др j и2 _ Ар

/

получается число Эйлера

характеризующее отношение перепада давления к удвоенному динами­ ческому напору (рм2 /2), т.е. безразмерный перепад давления.

В критериях Рейнольдса, Пекле, Фруда, Эйлера содержится харак­ терная скорость процесса, легко определяемая при вынужденной кон­ векции, например, при течении теплоносителя в каналах при заданном перепаде давления эта скорость определяется как отношение объемного секундного расхода теплоносителя к площади поперечного сечения ка­ нала. При свободной конвекции выделение характерной скорости за­ труднительно. Поэтому представляет интерес получение из комбинации полученных критериев нового критерия, не содержащего характерную скорость процесса. Такая комбинация, составленная из критериев Рей­ нольдса и Фруда, называется критерием Галилея,

Ga = Re2 • Fr = —— , v2

характеризующим соотношение сил тяжести и вязкого трения.

Умножая полученное число Галилея на другой безразмерный ком­ плекс - относительное изменение плотности вязкой среды, получаем критерий Архимеда,

Ар

Аг =

Р

характеризующий относительную подъемную силу в вязкой среде с не-

однородной плотностью. Число Архимеда, например, пропорционально интенсивности разделения смеси двух теплоносителей с разными плот­ ностями в поле сил тяжести.

В том случае, когда различие плотностей в однородной среде вызва­ но температурным полем,

Ар _ Ро — Р _ Ро — РоО ~ РД0 _ pAf>

число Архимеда переходит в число Грасгофа,

g l 3

Gr = — — РА*, v

Это число представляет собой отношение кинематической вязкости теп­ лоносителя, пропорциональной толщине динамического пограничного слоя, к температуропроводности, пропорциональной толщине темпера­ турного пограничного слоя. Таким образом, число Прандтля является непосредственной мерой отношения толщин динамического и темпера­ турного пограничных слоев.

В предельном случае, когда число Прандтля мало, толщина динами­ ческого пограничного слоя много меньше толщины температурного по­ граничного слоя (рис. 7.2),

8 Д « 5 Т =^Рг <<1.

Рис. 7.2. Распределение скорости и температуры в пограничных слоях при малом (слева) и большом числах Прандтля

Такой случай имеет место для жидких металлов. При больших числах Прандтля, наоборот, толщина динамического пограничного слоя боль­ ше, чем толщина температурного слоя,

5 Д » 8 Т =>Рг > > 1.

Это наблюдается в смолах, маслах и других вязких средах с малой темпе­ ратуропроводностью.

7.3. Безразмерная формулировка краевой задачи конвективного теплообмена

Для записи уравнений конвективного теплообмена в безразмерном виде выберем в качестве масштабов следующие характерные величины: / - характерный размер области; tQ- температуру; р0 - давление; и0 - ско­

рость. Через эти величины можно вычислить масштабы времени т о = Чио>завихренности со0 = и0//, функции тока \|/ 0 = и0 /. Тогда безраз­ мерные переменные (они обозначены сверху чертой) примут вид:

Отсюда получаются размерные переменные

Масштаб характерной скорости щ может быть выбран в зависимо­ сти от решаемой задачи. В задачах вынужденной конвекции этой скоро­ стью может быть средняя скорость потока, определяемая через объем­ ный секундный расход теплоносителя К[м3/с] и площадь сечения канала S [м2]: u0=V/S. В задачах свободной конвекции эта скорость может быть задана по формуле (7.7) и0 = ^jg р At /. В режимах смешанной конвек­

ции масштабы скорости могут быть выбраны из условия равенства сил инерции и вязкого трения:

Re = — = 1 =>w0 = v//, v

либо из условия равенства диффузионных и конвективных потоков тепла:

Ре = — = 1 =Ф и0 = а / /.

а

Первый из этих масштабов удобно использовать при больших числах Прандтля, когда с размером исследуемой области соизмерима толщина динамического пограничного слоя, а второй - при малых числах Прандт­ ля, когда с размером области соизмерима толщина температурного по­ граничного слоя.

Возможны и другие варианты выбора масштаба скорости. Подставим размерные переменные в уравнение переноса энергии:

вынося постоянные масштабы за знаки производных, получим

В правой части полученного уравнения образовалось число Пекле, поэтому уравнение переноса энергии в безразмерных переменных при­ нимает окончательный вид

Подставим размерные переменные в уравнение движения в прибли­ жении Буссинеска

Аналогичный вид принимает и уравнение движения в проекции На другую ось,

где Fr, Eu, Re - числа Фруда, Эйлера и Рейнольдса:

Ей Ро

Ро“о ’

Подставим размерные переменные в уравнение переноса завихрен­ ности:

После аналогичных преобразований получим безразмерное уравнение

в котором числа Грасгофавг = g lzfiA t/v2 и Рейнольдса Re = u0//v об­ разуют комплекс G r/R e2, характерный для свободной конвекции.

Запишем также в безразмерных переменных уравнение Пуассона для давления:

и уравнение Пуассона для функции тока:

Отметим, что при выбранных масштабах последнее уравнение имеет одинаковый вид в размерных и безразмерных переменных.

И, наконец, запишем в безразмерном виде уравнение теплоотдачи в пограничном слое: