Механика композитных материалов 4 1979

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 4, с. 673-677

УДК 611.71:539.3

В. И. Кучерюк, В. В. Заякин, А. В. Полухина, Н. Г Копейкин

К ИССЛЕДОВАНИЮ КЛАПАНА АОРТЫ*

Актуальность изучения клапана аорты обусловлена большой частотой пороков клапанов. Пораженные клапаны заменяются протезами, поиск совершенной модели которых еще не завершен. Существенную помощь в создании оптимальной конструкции протеза оказывают сведения о строе­ нии и механических свойствах естественного клапана. В частности пред­ ставляет интерес форма заслонки клапана и ее изменения под действием нагрузки.

Особенностью заслонки является ее большая деформативность, что исключает применение контактных методов исследования начальной формы, деформаций и напряжений. В этом случае представляет интерес использование бесконтактных оптических методов — голографической интерферометрии и теневого муарового. Оба метода взаимно дополняют друг друга. Метод голографической интерферометрии обладает повышен­ ной чувствительностью, но имеет малый диапазон измерений. Применение ступенчатого нагружения клапана не дает положительного результата из-за колебательного процесса его деформирования, вызванного неизбеж­ ной потерей давления вследствие невозможности обеспечить полную гер­ метичность. Метод муаровых полос имеет меньшую чувствительность, но больший диапазон измерений.

Для создания воздушного давления в клапане аорты используется прибор ртутный манометрический (рис. 1). С помощью резиновой груши 1 воздух по резиновым трубкам 2 через запорный вентиль 3, герметичный стеклянный сосуд 4, выполняющий роль ресивера, и штуцер 5 нагнета­ ется в восходящую аорту с клапаном 6. Давление воздуха измеряется ртутным манометром 7. Винт 8 обеспечивает герметичность сосуда 4.

«9

Рис. 1. Нагрузочное устройство. Пояснение в тексте.

* Доклад, представленный на II Всесоюзную конференцию по проблемам биомеха­ ники (Рига, апрель 1979 г.).

Для различных по размерам клапанов в установку ёхоДит сменный на­ бор штуцеров 5. Обеспечение герметичности соединения восходящей аорты со штуцером 5 и увеличение жесткости стенок аорты сердца осу­ ществляется пластилином (аморфной массой).

Схема голографической установки, приведенная на рис. 2, позволяет осуществить способ сфокусированных изображений1-2. Когерентный пу­ чок света, генерируемый лазером 1 типа ЛГ-38, пройдя через затвор 2, разветвляется светоделителем 3 на два луча — объектный и опорный. Опорный луч проходит через нейтральный фильтр 4, расширяется мик­ рообъективом 5 и линзой 6, затем с помощью зеркала 7 направляется на фотопластинку 8. Объектный луч, изменяя направление от зеркала 9, расширяется микрообъективом 10 и линзой 11, освещает клапан сердца 12, помещенный в иммерсионную камеру 13. Лучи, отраженные от по­ верхности заслонок клапана, фокусируются объективом 14 на фотоплас­ тинку 8, где в результате интерференции их с опорными происходит запись объемного изображения — голограммы.

Поверхность заслонок имеет сложную геометрическую форму, по­ этому для расшифровки интерферограмм целесообразно воспользоваться способом выделенных точек на поверхности заслонки клапана1. Обрабо­ танную интерферограмму при восстановлении изображения заслонки ос­ вещают неразведенным лазерным лучом, в результате чего в плоскости голограммы восстановятся изображения двух элементов поверхности, со­ ответствующих двум положениям заслонки при нагружении клапана (метод двойной экспозиции). При наблюдении через матовое стекло бу­ дет видна картина интерференционных полос, которые несут информацию о смещении поверхности в области рассматриваемой точки. Если голо­ грамму смещать так, чтобы луч лазера проходил вдоль определенной линии и картина полос последовательно фотографировалась, то после расшифровки получим эпюру прогибов по рассматриваемому сечению.

Для некоторых сечений контур поверхности заслонки клапана близок к прямой, поэтому можно воспользоваться методикой исследования пло­ ской поверхности. Ниже приводим некоторые результаты.

Исследование выполняли на установке, собранной согласно схемам, представленным на рисунках 1 и 2. Угол падения луча лазера на одну из заслонок лазера был равен 33° Разность между опорным и предметным лучами составляла 2,5 см, отношение предметного к опорному — 1/3, угол между центральными лучами опорного и отраженного (объект­ ного) — 36°

Предварительно для придания клапану аорты естественной рабочей формы выполняли выдержку под давлением 120 мм рт. ст. в 10% рас-

Рис. 2. Схема голографической установки. Пояснение в тексте.

674

волны, то при смене показателя преломления угол падения предметного пучка на фотопластинку 8 практически не меняется. Также не меняются длина волны излучения лазера и угол падения опорного пучка. Поэтому отсутствует боковое смещение и масштабы восстановленного изображе­ ния клапана не меняются.

При смене жидкости в камере между экспозициями образуется раз­ ность хода двух лучей, приходящих в одну и ту же точку поверхности заслонки клапана и распространяющихся из нее в направлении, перпен­ дикулярном к окну камеры. В результате интерференции голограмма будет представлять собой изображение клапана с полосами на его по­ верхности аналогично контурной карте рельефа поверхности Земли.

Цена одной полосы, соответствующая разности хода лучей на одну длину волны X, определяется по формуле

(1+cos Pi)Mi —(1+cos $2)п2

где рь р2 — углы между нормалью к окну камеры и лучами после про­ хождения окна и сходящимися в одну точку поверхности заслонки между экспозициями; п\, п2 — коэффициенты преломления жидкостей между экспозициями. Цену деления полосы можно менять в широких пределах, варьируя п\ и п2. В качестве иммерсии можно использовать смеси воды и этиленгликоля или воды и спирта.

Простотой отличается установка, на которой производится исследова­ ние поверхности и перемещений от нагрузки теневым муаровым мето­ дом4. Схема установки показана на рис. 4. Исследуемый клапан аорты 1 закрепляется с помощью пластилина на поворотном столе 2. Световой пучок от проектора 3 падает на линейчатый растр 4 и создает его тень на

Рис. 4. Схема теневой муаровой установки. Пояснение в тексте.

6 76

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 4, с. 678—683

УДК 611.1:532.135

И. М. Старобин, В. М. Зайко

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ВДЕФОРМИРУЮЩЕЙСЯ ТРУБКЕ*

Всердечно-сосудистой системе человека наряду с пассивным транс­ портом крови, обусловленным работой сердца, существует и активный транспорт, вызываемый самостоятельными сокращениями гладкомышеч­ ной мускулатуры кровеносных сосудов. Так, например, на ангиограммах крупных кровеносных сосудов нередко отмечается присутствие таких перистальтикоподобных сокращений стенок. На рис. 1 представлена ан­ гиограмма сонной артерии человека, на которой виден пакет следующих друг за другом сокращений сосудистой стенки. Представляет интерес то,

что волна образована чередующимися невозмущенными зонами и зонами сужений просвета сосуда, поскольку такая структура отличается от обычной косинусоидальной перистальтической волны.

В настоящей работе на основе численного решения полных уравнений Навье—Стокса проводится анализ течения вязкой жидкости (крови) в трубке (сосуде), по стенке которой распространяются возмущения, имею­ щие структуру волны, изображенной на рис. 1.

1. Рассмотрим задачу движения вязкой жидкости (крови) в осесим­ метричной трубке (сосуде) со стенками, активно деформирующимися по закону бегущей волны, которая представляет собой пакет следующих друг за другом через определенные постоянные промежутки А сужений просвета сосуда, возникающих в результате периодических сокращений гладкомышечной мускулатуры сосудистой стенки. Будем считать, что из­ гибы стенки, образующиеся при прохождении по ней волны сжатий, пред­ ставляют собой сегменты окружностей, — тогда закон изменения радиуса трубки в зависимости от осевой координаты zL и времени t будет иметь следующий вид:

( 1)

где а, £ — амплитуда и радиус кривизны изгибов стенки трубки; /*0 — ра­ диус трубки в недеформированном состоянии; X — период г (zLjt), рав­

ный Д+ 2]/2£а —а2; с — скорость волны.

Индекс L в формуле (1) вводится для обозначения лабораторной системы отсчета. В волновой системе отсчета, связанной с лабораторной формулами перехода

явная зависимость от времени в (1) будет отсутствовать, что просто озна­ чает неподвижность стенки в системе, движущейся вместе с волной.

* Доклад, представленный на II Всесоюзную конференцию по проблемам биомеха­ ники (Рига, апрель 1979 г.).

678

В дальнейшем необходимо учитывать, что в лабораторной системе ко­ ординат в аргументы функции F входит также и время, т. е. F явно за­ висит от времени, кроме того, параметр q при переходе в лабораторную систему координат также зависит от времени, поскольку в ней

Численный эксперимент проводился в следующем диапазоне парамет­

2.Запишем закон сохранения энергии при отсутствии массовых сил

влабораторной системе координат для участка трубки длиной X (для определенности zL]=X и zL2 = 2X):

«П

Здесь Nin — мощность потерь за счет вязкого трения в единице объема

Контрольный объем V\ ограничен боковой поверхностью сгбок и торце­ выми площадками 5 Ь S2, которые в каждый момент времени равны

между собой. В силу периодичности решения в первом интеграле в (12)

вего часть, взятую по торцевым площадкам, будет давать вклад только разность давлений Дpx(r, t), а соответственно по боковой поверхности сгбок

всилу осевой симметрии вклад дадут все ненулевые компоненты тензора напряжений pij, за исключением — p6ij. Таким образом, (12) будет иметь следующий вид:

Определим средний перепад давления Др\ соотношением

т

680

Вводя замену (2), для Ар*. получим:

0 s

где VF = ( V Z — C ) — скорость жидкости в волновой системе отсчета. Из формулы (10) следует, что знаменатель в выражении (14) равен сред­ нему за период расходу qL, который будем обозначать q. Легко видеть, что при переходе в волновую систему координат (замена (2), подынтег­ ральное выражение в третьем интеграле в (13а) не изменяется, поскольку в мощность вязких потерь Nin входят только производные скорости. Окончательно (с учетом (14) уравнение (13а) приводится к виду:

Отметим, что величины p'n и Nin в (15) известным образом выражаются через решение задачи (3) — (9) F = {яр, со}, поле давления определялось по F так же, как в работе2.

При с= 0 формула (15) переходит в уравнение баланса энергии для обычного стационарного течения вязкой жидкости в трубке с неподвиж­ ными стенками. Легко видеть, что, в отличие от случая неподвижной стенки, при наличии распространяющейся волны сокращений (с=И=0)

знак величины Арх может изменяться в зависимости от знака интеграла 1 А, ст

— J* J* p'n (vF + c)dodz. Последнее означает, что ненулевой расход жидко-

^ 0 стбок

сти через сокращающуюся трубку возможен даже тогда, когда давление

Рис. 2. Зависимость среднего по периоду перепада давления Др\ от среднего расхода q для различных чисел Рейнольдса (значения указаны у прямых). Кружками отмечены точки пересечения графиков с расходными характеристиками, соответствующими пуазейлевскому течению в трубке с радиусом г.

Рис. 3. Зависимость расхода q при Дрд.= 0 и а= 1 от числа Рейнольдса. Цифры у кри­ вых — значения е.

681

возрастает вниз по потоку (рис. 2). Как видно из рис. 2, в общем нелиней­

ном случае увеличение Арх происходит значительно быстрее с ростом Ц, чем в линейной теории, не учитывающей инерционных членов в уравне­

ниях (3), (4). Перепады давления Ар%, меньше пуазейлевских для тру­

бок с радиусом = только в ограниченном диапазоне расходов.

Другими словами, для каждого Re существует такой q*, что при q>q*

пуазейлевское течение в трубке с радиусом г при одних и тех же Ар\ обеспечивает большие расходы, чем течение в трубке с деформирующейся стенкой. В пределе при стремлении скорости волны к бесконечности (Re->-oo) решение нелинейной задачи в некотором смысле переходит в

решение линейной, поскольку q*->-оо и Арх меньше соответствующего пуазейлевского перепада практически при любых Ц.

Для q<q* прокачивание жидкости в направлении движения волны

может происходить при препятствующих Ар, которые при одном и том же q увеличиваются с ростом чисел Рейнольдса. Будем обозначать q при

Ар\ = 0 через qQ. Различие зависимостей на рисунках 3 и 4 от результатов, полученных по линейной теории, где q0 не зависит от Re (размерный q0

влинейной теории прямо пропорционален с, а не с312, как в численном экс­ перименте), а является функцией только а и е, объясняется, по всей ви­ димости, влиянием инерционных эффектов, проявляющимся в частности

внесовпадении профилей скоростей с пуазейлевскими, получающимися

врезультате решения линейной задачи3-8. В самом деле, профили акси­ альной скорости приближаются к пуазейлевским только при больших Ц, заведомо превышающих q* (рис. 5).

Как видно из рис. 5, для Re = 93 при 0 ,5 ^ ^ ^ 1,5 профили аксиальной скорости почти плоские, что говорит о стремлении к минимуму величины мощности Nin, диссипируемой в объеме Vj, за счет вязкого трения. Разу­ меется, что подобный эффект имеет место для любых Re, но лишь в опре­ деленном диапазоне расходов, характерном для каждого Re. Как пока­ зывают расчеты, расходы q o ^ q ^ q * попадают в указанный диапазон, по­

этому для Ц, принадлежащих (qo,q*) интервалу, перепады давления Арх (см. рис. 2) меньше соответствующих пуазейлевских перепадов.

682