Механика композитных материалов 4 1979
..pdfАКАДЕМИЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР
механика
композитных
материалов
1979 * 4 |
5 7 7 — 7 6 8 |
Июль—август
Журнал основан в 1965 г. Выходит 6 раз в год
РИГА «ЗИНАТНЕ»
РЕДАКЦИОННАЯ к о л л е г и я
В.А. Белый
Г.Бодор (Будапешт)
B.В. Болотин
Г.И. Бранное (София)
Г.А. Ванин
Ф.Винклер (Берлин)
И.Я. Дзене
A. Дуда (Берлин)
К.Душек (Прага)
C. Н. Журков
С.Загорский (Варшава) B. К. Калнберз
И. В. Кнетс М. А. Колтунов
A.Ф. Крегер
B.А. Латишенко
B.П. Макеев
Р.Д. Максимов A. К• Малмейстер C. Т. Милейко
П. М. Огибалов
К.В. Опреа (Яссы) Ю. Н. Работное
B. Р. Регель
Г.Л. Слонимский
В. П. Тамуж
Ю.М. Тарнопольский
Г.А. Тетере
Г.Н. Третьяченко
Ю.С. Уржумцев
Л.А. Файтельсон
Л.П. Хорошун
Главный редактор А. К. МАЛМЕЙСТЕР Заместители главного редактора
В. А. ЛАТИШЕНКО, В. П. ТАМУЖ, Ю. С. УРЖУМЦЕВ
Ответственный секретарь И. Я■ДЗЕНЕ
Адрес редакции:
226006 Рига, ул. Айзкрауклес, 23, тел. 551694 Институт механики полимеров АН Латвийской ССР
Издательство «Зинатне»:
226018 Рига, ул. Тургенева, 19, тел. 225164 Р е д а к ц и я в с е с о ю з н ы х ж у р н а л о в
Заведующий редакцией А. В. Венгранович
Редактор С. Г. Бажанова Технический редактор Е. К■Пиладзе
Корректоры В. Н. Арне, О. И. Гронда, Л. А. Дмитриева
Сдано в набор 23.05.79. Подписано в печать 13.08.79. ЯТ 04323. Формат бумаги 70X108/16. Высокая печать. 16,98 уел. печ. л., 17,02 уч.-изд. л. Тираж 2260 экз. Заказ 1262-Д. Отпечатано в типографии «Циня* Государственного комитета Латвийской ССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 226424. ГСП Рига, ул. Блаумана, 38/40.
©Издательство «Зинатне», «Механика композитных материалов», 1979 г. (До 1979 г. — «Механика полимеров»).
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, М 4, с. 579—585
УДК 536.7:678.01
ГА. Ильюшина
ОНЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЯХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
ДЛЯ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
За последние десятилетия в механике сплошных сред (МСС) был раз вит так называемый функциональный метод представления связей между термодинамическими функциями сплошной среды при необратимых про цессах1.
Согласно основному постулату МСС все функции, характеризующие состояние физической частицы с фиксированными лагранжевыми коорди натами в момент времени t, допускают представление в виде функциона
лов процесса (е(т), Т(т), где е(т) = (ег7) — тензор деформации, Т(т) — температура, t — рассматриваемый момент времени, те[0, /]. Свободная
энергия ЧДт) =W[e(u), |
Т(и)]1=01 энтропия s(x)=s[e(«), |
Т(и)]и=о, тен |
||||||
зор |
напряжений |
a7j(x) = сггДе (w), |
Г(и)]и=о |
и |
рассеяние W*(x) = |
|||
= W * [E ( U ) , Т{и)]и=о связаны |
между |
собой основным |
термодинамиче |
|||||
ским соотношением, которое в общем |
(необратимом) случае имеет вид: |
|||||||
|
dW* _ d 4 |
dT |
deg . |
|
|
( 1 ) |
||
|
|
dx |
dx |
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Соотношение (1) может быть записано также в следующей форме: |
||||||||
|
F (т) = |
¥ (т) + Э (т) - |
W (т) + W* (т) =0, |
(2) |
||||
|
|
|
X |
|
Т |
|
deij |
|
|
|
|
Г |
dT |
|
f |
|
|
где по определению Э (т) = J |
s (I) ——dl\ W (т) = J |
ои (£) — - d%. |
||||||
В |
соответствии |
|
о |
® |
|
о |
|
* |
с общим |
предположением |
о |
дифференцируемости |
|||||
функционалов состояния1-§§9-11 будем считать, что Ч*, s, W*, Oij диффе ренцируемы по Фреше. Для наглядности линейные функционалы, пред ставляющие собой дифференциалы Фреше соответствующих функциона
лов, в дальнейшем рассматриваются в пространстве CVfO,т], |
эти |
рассмотрения можно ввести и в /ДО, т] (при этом соотношения, |
анало |
гичные полученным ниже (10) и (11), будут справедливы почти всюду
на [0,х]).
Общий вид линейного ограниченного функционала в Со^О.т] таков
X |
|
(т входит как параметр): L[cp] = J~ |
duf{u, т); VcpeCo1[0, т]; здесь |
о
f(u,x) — функция с ограниченным изменением, которая в общем случае есть сумма трех слагаемых — абсолютно непрерывной функции, функции скачков и сингулярной составляющей. Из физических сообра жений ясно, что достаточно общими будут такие выражения для вариа ций, в которых отсутствуют два последних слагаемых, а именно, ограни
чимся случаем нормальной (по Вольтерре) |
формы вариации: |
|
||
х |
d |
* |
d |
|
Г |
С |
(3) |
||
6W(T) = J |
А(хЛ ) — |
6T(l)dt+ jB ftI( T ,|) - r - 6e„,(?№ |
||
n |
ai=> |
0 |
* |
|
579
6 S (T ) = |
1 с (т, 6) - ^ - 6Г(|)<<|+ |
n |
|
(4) |
|
|
n |
“ S |
|
|
|
6aij(x)= |
Jfij(T ,i)-^ -6 7 ,(g)rfi+ |
JVtjftzCc, £) - ~ 6 e hi{l)dl\ |
(5) |
||
6tt7*(x)= J G (T,E) -^■67’(6)dE+ 1я ы(т, g) - ^ |
6e«(6)dg. |
(6 ) |
|||
Здесь функциональные |
аргументы 6Г(£), бег-;-(|) — |
произвольные |
из |
||
класса С0![0, т], т. е. непрерывно дифференцируемы и обращаются в 0 при £ = 0; функции Л (т, #<j(T, £) — непрерывные по совокупности при причем величины, снабженные индексами, представляют
собой функции-тензоры соответствующего ранга.
В (3) —(6) ядра интегральных представлений дифференциалов Фреше функций 4я, s ,... называются также функциональными производными этих функций по соответствующим функциональным аргументам, так что,
лщ |
fiW* |
например, А(т, £) = — , Ны(т, I) = |
. |
Соотношение (2) справедливо для всякого процесса, протекающего в рассматриваемой частице тела. Целесообразным аналогом (или обоб щением) принципа равновесной термодинамики является гипотеза о том, что дифференциал Фреше функционала F в левой части (2) равен нулю, т. е. что на физически возможных процессах F, нестрого говоря, имеет экстремум. Эта гипотеза приводит к соотношениям, связывающим s, Oij, W* с функционалом свободной энергии 4я.
Варьируя (2) в Со![0,т], получим: |
|
|
||
б/^бЧ Ц т) + бЭ(т) -6W(x) +61Г (т) = 0. |
(7) |
|||
где в силу (3) и (4) |
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
6Э(т) = | |
[6s (w) Т(и) +s(u)dT(u)]du= JбТ(и) [s(w) + |
|
||
о |
|
|
о |
|
т |
|
г |
г |
|
+ I7,(£)£(£» u)d£\du+ |бедг(ц) J J DM{1, и) T(Qdl ] du\ |
(8) |
|||
и |
|
0 |
и |
|
г |
|
|
г |
|
6W{%)= J [6Gij{u)kij{u) +Gij{u)6kij(u)]du= |бёг;(ц) £Gij (и) + |
|
|||
о |
|
|
о |
|
г |
|
г |
г |
|
+ |
|
]<*«+ Jef(u) [ J £«(!,и)йН|)<а ]du; |
(9) |
|
и |
|
О |
и |
|
здесь точки означают |
дифференцирование по аргументу, так |
что |
||
аГ(«)^ - 4 - Ь Т (и); |
Г(5) |
Л и , д . |
|
|
du |
|
dl |
|
|
580
Подставим (3), (6), (8), (9) в (7) и в силу произвольности бег;-, бТ по лучим основные соотношения
т
Л(х, и) +s(u) + J [с(£ , и)-— —£ гД£, w) — |
G?£+G(T, w) = 0; (10) |
|
|
|
|
йТ |
|
den 1 |
|
|
|
|
|
Д D ы (£ , u ) — — F kiij ( £ , и ) — |
j db, + Н ы (T , U ) = 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
d \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( И ) |
Из уравнений (10) и (11) следует: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
s (т) = —Л (т, т) —G (т, т) = — 64я |
6W* |
|
( 12) |
||||
|
|
|
|
|
6Т |
|
бТ |
|
|
|
|
Gki (т) = Вм(т, т) + Нм(т, т) = 64я |
6W* |
|
(13) |
||||
|
|
|
|
|
бем |
бEkl |
|
|
|
Введем |
обозначения |
64я |
64я |
dT |
64я |
|
deij |
6W* |
|
61F |
|
dT бW |
бт |
6Т |
dx |
бег |
|
бт |
бт |
|
deij |
Тогда из (1), (12) |
и |
(13) |
получаем со- |
||||
6Т |
т dx +■ бег] |
dx |
|||||||
отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dW* |
бW* |
dW |
64я |
|
|
(14) |
|
|
|
|
dx |
бт |
dx |
бх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
которое является обобщением соотношения |
(11.32) |
§ |
11 работы1 и при |
||||||
заданном функционале 4я представляет собой функциональное уравнение для рассеяния W*.
Далее рассмотрим два примера.
Пример 1. Идеально упругое тело. В этом случае по определению
IF*е з0; ^ (т ) = Ч г[е(т), Т(х)] = Чя[(ец(т), |
, е33(т), Т (т)]; |
|
(15) |
Gki{x) =Ohi[e(x), Т(т)]; s{x)=s[e{x),T(x)]\ |
4яG C2, |
т. е. свободная энергия, энтропия и напряжение являются функциями
(а не функционалами более общего вида) |
компонент тензора деформа |
|||||
ции и температуры. |
|
|
в правых частях |
(3) —(6) в |
||
Функциональные производные Л, |
|
|||||
силу (15) равны соответствующим частным производным: |
|
|
||||
(W |
~ |
|
(34я |
~ |
Vw<=[0, т]; |
|
Л(т, и) =— |
[е(т), Г(т)]; |
Вы(т, и) = - ^ — [е(т), Г(т)]; |
||||
Лс |
Л/ |
|
Лс |
~ |
Ец(х,и) = |
|
С(т, и) = — |
[е(т), Г(т)]; |
Dij(x, и) = - ^ — [е{х),Т(х)]\ |
||||
= ^ - [Г (т ),Г (х )]; |
|
|
G ^0 ; |
Н„шш0; |
||
|
i, /=1,2,3; |
O ^ W^ T. |
|
|
||
581
Основная система уравнений (1), (10), |
(11) принимает вид: |
|||
|
|
§ w |
™ |
i + s M u ) . |
Т |
|
|
|
|
Т(и)]+ J |
{ г ( £ )^ - [е ,а ) ,7 - (|)] - ё ,Д |)^ - [8 (|),Г (1 )]} < г 5 = 0; |
|||
и |
|
|
|
|
дцг ~ |
— |
X |
ds |
~ |
г г |
||||
[еЫ . Т (т )]-0 м[Е(и),Т(и)]+ J j f ^ ) — |
[е(Е), Г (^ )]- |
|||
- 8 « (|) - |^ [Г (|),Г (|)] } d |= 0; |
к, 1=1, 2, 3; |
¥м е[0,т]; |
||
У те [0, t].
Предположим, что решение этой системы существует. Тогда, полагая в последних двух уравнениях и = т, получим для Уме[0, t]:
~ |
- |
- |
дЧ7 - |
5[е(м), Т(и)] = — — |
[е(и)> Г (и)]; |
aftzEe(w), Г(м) ] =-^— [e(w), Г(и)]; |
|
(16)
с другой стороны, если подставить (16) в последние три уравнения, то они обратятся в тождества, так как
т |
дя |
до • ■ |
1 |
|
И |
||||
f (1)-^г-[е(Ю. г (6)] |
|
Щ )] } <*S= |
||
и |
|
|||
|
|
|
--иЖ|г[*(5ь7(5)1
т
С d ( dxY ~ |
1 |
H^W8(IKr(S)]K
Таким образом, мы доказали, что справедливо следующее утверж дение.
Утверждение 1. В случае идеально упругого тела система (1), (10), (11) имеет единственное решение (16).
Пример 2. Вязкоупругая среда максвелловского типа. Эта среда опи сывается следующими функционалами (см.2>с-71_72) :
2 Го ■{Т(и)-r0)2+-i J J [PQ(U-%U м — T2) 0T (T I ) I0T ( T 2) + |
||
W («) = |
|
|
о |
о |
|
+ Рс(и—Т], и —т2)ёц (ti)ёц (т2) ] дтхй%2, |
(1 7 ) |
|
где ет= 0 -З а (Г -Г о ); Г0 = Г(0); |
,0 = 6 ^ ; ец = ец— т 6г,-0; |
= |
582
с, а, То — положительные постоянные; ядра Рв(х,у), Ре(х,у) — симмет ричные из класса С1;
U
s (u) = - ^ ( Т - Т 0) +3а | р 0(н- ть 0)6T (TI)^ TI; |
(18) |
||
|
7 О |
п |
|
|
U |
и |
|
&ij (tl) = |
J* Ре (и |
T’liO)^ij('Ti) dXi + 6jj J P Q(U —Ть 0)QT { x i) d n \ |
(19) |
|
О |
о |
|
|
и и |
|
|
W*(u) = — |
J J [PQ{U— XU м- т2)0т(т1)0г (т2) + Ре( « - т ь U-X2) X |
||
^ |
0 0 |
|
|
X eij{xi)eij(x2)]dx\dx2+ \ dxij* [PQ{X\— X2, 0) 0r (TI)0T (T2) +
о0
+ P e{x\—X2, 0)eij{xi)eij{x2)]dx2. |
(20)* |
Вариации (3) —(6) в рассматриваемом примере таковы:
U |
|
|
|
и |
|
|
6W(u)= Jп |
■* 0 |
Г(«)]—За п| / >9(« -1,ы -т,)ет(|)^ }б7'(т,)Л ,+ |
||||
LL |
U, |
|
IX |
|
|
|
+ J [ |
Jpe(м —I, м —Ti) 0Г (£) + J Ре(м-Ть И-Е)ёг;(|)^] X |
|||||
|
|
|
|
XbEij{x\)dx\’, |
|
|
6s{и) - |
J |
|
9а2Ре(и-Б, 0) ] б Г ф ^ + Заб,,- j Р0(и - |
|||
|
|
0 |
7 ° |
|
|
о |
|
|
|
|
-6, 0 ) б М 5 № |
|
|
|
|
|
и |
и |
|
|
6оц(и) = -За6ц | р 0(и-&, 0)6f (£)<£ + |
j {б,-,-6ы [ р 0(и-Е ,О )- |
|||||
|
|
|
0 |
о |
|
|
|
- 4 - Л ( “-Е,0) ] +6w6 ,A (“-S.O) |
}ввы(1)<й; |
||||
|
|
О |
|
J |
|
J |
|
|
и |
|
и |
|
Х\ |
б W * ( u ) = |
/ з а б 7 ’(т1) |
[ | , 0т (т 2)Р е(Ц — т ь и — x2)d x 2— J* 0т (тг) Ре (ti — |
||||
|
о |
о |
|
|
о |
|
|
|
U |
|
|
а |
Т| |
—т2, 0)с?т2- |
|
J 0т(t2)Ре(т2 —Т], 0)dx2 ]dti + |
J6feij(xi) {б;; J*0T (т2)Pe(TI — |
|||
* Выражение (20) для W* получено интегрированием правой части равенства, сле дующего за (10.7) на с. 72 работы2.
583
и ч
-Т2, 0)^Т2+J0г(Тг)/5©(Т2—-Cl, 0)dx2+ J Pe{V\-t2, 0)eij{x2)dx2+ \.РеЫ ~
|
t, |
0 |
Tl |
|
и |
|
|
|
—r\,0)eij(x2)dx2— j* [eij{x2) P e{u — xu u —x2) +5ijQ‘T{x2)PQ(u — |
||
|
о |
|
|
|
—Ti, u—x2)]dx2} dxu |
|
|
откуда получаем: |
|
|
|
|
|
x |
|
|
A(x,u) = — ^-[Г (т) - Го] - |
За JРе (t- 1 , t - |
и) 6т (I) di; |
|
'О |
о |
|
|
т |
т |
|
Вы{х, ы)= 6Лг J p 0(t-E ,T -M )0r ( E ) ^ + J |
|
||
|
о |
0 |
|
|
С(х, и) = ——— 9а2Ре (х—и, 0); |
Da (т, м) = 3a6ijPe (т—и, 0), |
|
|
То |
|
|
|
Еа (т, и) = — ЗабцРв (т—и, 0); |
|
|
Fm |
(r, и) =6цЬи [Р в (т - « ,0) ~ Р . ( т - и , 0) ] + 6« 6н Р ,(т-и, 0); |
||
|
X |
|
|
|
G (т, и) = За JPQ(т - и, х - 1) 0Т (Е) d\ - |
За X |
|
|
о |
|
|
и |
х |
|
х |
x [ J 0T(l)Pe(«-|,O )d|+J 0г (5) Ре (S—«> 0) dg ]; Я„(т,«) = - 1 [ е д ( |)Х
О |
и |
О |
|
|
и |
X P ,( T - « ,T - i)+ 8 0e,-(|)Pe(T - « ,T - l) ]d |+ J ё<Д&)Р.(и-&, 0)d£+ |
||
Т |
|
U |
+ Гр „(? -“.0)ео(1)сг| + 6(4 |
^0r(l)Pe(«-i,O)dS + |
|
|
|
о |
|
т |
|
+ |
JflT(i)Pe(S-u,0)d|] |
|
|
и |
(21а, б, в, г, д, е, ж) |
|
|
|
для любых |
Подставляя эти выражения для функциональ |
|
ных производных (с очевидными изменениями обозначений аргументов там, где это нужно) в (10) и (11), получаем тождества. Таким образом, доказано следующее утверждение.
Утверждение 2. Функционалы (17) —(20), описывающие максвеллов скую вязкоупругую среду, удовлетворяют системе функциональных урав нений (1), (10), (11).
584
В рассмотренных примерах в первом случае G(r, w )=0; |
и ) = 0; |
||
Vwe[0, т]; |
k,l= 1,2,3, а во |
втором примере, как следует из |
(21е, ж), |
G(T, T)= 0 ; |
Hxi(т, т )= 0 ; |
k ,/=1,2,3. Поэтому, пользуясь обозна |
|
чениями функциональных производных, можно утверждать, что в приме рах 1 и 2
|
; вы (т) =, |
6^ |
|
|
|
беы |
|
а соотношение (14) имеет вид*: |
|
|
|
dW* _ |
dW |
SW |
|
dx |
dx |
бт |
!x |
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. Изд. 2-е. М., 1978. 287 с.
2.Ильюшин А. А., Победря Б. П. Основы математической теории термовязкоуп
ругости. М., 1970. 280 с.
Московский государственный университет |
Поступило в редакцию 01.02.79 |
им. М. В. Ломоносова |
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 4, с. 586—593
УДК 539.376:678
А. Я. Гольдман, С. А. Цыганков, Э. С. Григорян
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБЪЕМНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ СШИТЫХ ПОЛИМЕРОВ С РАЗЛИЧНОЙ СТЕПЕНЬЮ ОТВЕРЖДЕНИЯ
При решении задач вязкоупругости обычно пренебрегают объемной ползучестью, полагая, что полимерные материалы по отношению к всесто роннему сжатию ведут себя упруго, либо принимают предположение о несжимаемости материала. Во многих случаях подобные допущения при описании объемных свойств материала не оказывают существенного влияния на исследуемую картину напряженно-деформированного состоя ния. Однако существуют задачи, в которых погрешности при выборе за кона, описывающего объемные свойства, существенно сказываются на результатах1.
Данные по исследованию объемной ползучести сшитых полимеров весьма бедны. Можно привести лишь несколько работ в этой области2-7, причем вопросам прогнозирования объемной ползучести в них отведено незначительное место.
Настоящая работа посвящена изучению и прогнозированию объемной ползучести сшитых полимеров с различной степенью отверждения при всестороннем гидростатическом сжатии в широком диапазоне давлений, температур и времени. В качестве объектов исследования были выбраны эпоксидные композиции ЭХД и ЭД-13, отвержденные триэтаноламинтитанатом (ТЭАТ). Эти композиции широко применяются в качестве свя зующих при изготовлении намоточных изделий из стеклопластиков, экс плуатирующихся при воздействии различных сред с высоким гидростати ческим давлением. Исследовались образцы, отвержденные при различ ных температурах, что обеспечивало и различные конечные степени от верждения материала, контролируемые по величине химической усадки. В качестве примера в работе приводятся данные по исследованию объем ной ползучести эпоксидной композиции ЭД-13+ ТЭАТ, отвержденной при температурах 120 и 130° С, что соответствует степеням отверждения т] (1 ^ т ]^ 0 ), численно равным т] = 0,92 и т|= 1.
Серию опытов проводили при постоянном давлении и различных тем пературах по методике, подробно описанной в4.
На рис. 1 представлены результаты опытов. Каждая кривая есть ре зультат усреднения по данным испытания не менее трех образцов. Вели чина гидростатического давления составляла 600 кгс/см2, температура варьировалась от —10 до 70° С. Анализ экспериментальных данных пока зал, что по результатам кратковременных испытаний можно построить кривые длительной объемной деформативности методом температурно временной аналогии (ТВА). Обобщенные кривые для базовой темпера туры 70= 30° С и функции температурного сдвига lg атпоказаны на рис. 2. Коэффициенты вариации опытных точек от усредненных обобщенных кривых составили соответственно для кривой 1 — 8,2%, для кривой 2 — 8,8%. Следует отметить, что влияние температуры на скорость изменения объемной ползучести проявляется в данном случае значительно слабее, нежели в опытах на сдвиговые деформации. Влияние температурных условий отверждения (степени отверждения) материала проявляется су щественно лишь для мгновенно-упругих объемных деформаций, о чем
586