МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, i№, № 1, с.

УДК 539.3:678.067

А. П. Виштак, Н. А. Шульга

ИССЛЕДОВАНИЕ РАДИАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕГУЛЯРНО-СЛОИСТОГО ПОЛОГО ШАРА

Расчет многослойных элементов конструкций из композитных мате­ риалов, представляющих практический интерес, неосуществим без при­ влечения прикладных технических теорий [1, 4]. При этом существен­ ным является вопрос об их точности и пределах применимости. Кор­ ректные оценки в этом плане можно получить на основании детального анализа задач, имеющих точное решение по трехмерной теории упру­ гости. По этим соображениям в настоящей статье излагаются резуль­ таты точного исследования центрально-симметричных колебаний (сво­ бодных и вынужденных) регулярно-слоистого полого шара.

Рассмотрим изотропный регулярно-слоистый шар с внутренним ра­ диусом г0 и внешним радиусом r2N+\ = r0 + H (Я — толщина шара), со­ стоящий из 2Я+1 чередующихся слоев двух типов, со свойствами Х\, рь pi и X2i \i2, Р2 и толщиной hx и h2 соответственно.

При центрально-симметричной деформации отличные от нуля пере­

всюду опущен), который вне поверхностей r= r0 + nh — h2 = r2n- ь г= г0 + +nh = r2n (я=1,...,Я; h = h\ + h2i H = Nh + h\) разрыва механических свойств удовлетворяет уравнению

( 1)

На основании известного [3] решения уравнения (1 ) перемещение ити напряжение аг в каждом из слоев многослойного шара удобно пред­ ставить в следующей форме:

(4)

>271-2<^2n-b n —1,..., Я + 1;

(5) с матрицей ленточного типа удобно решать методом прогонки [2]. Отметим, что заменой переменных

М{ Г 2п> Г2п+2) =

=М(а!, в,, г2п) М (а,, 0, г2п-м)Л1 (а2, 02, л2п+1)М -'(а2, 0, rjn«).

При предельном переходе (г=г0+х, /о-^оо) к плоским слоям пере­ ходная матрица М (f2n, r2n+2) вырождается в переходную матрицу

N2=N(au Q1) N - l (au 0)N{a2, 02)ЛГ-‘(а2, 0),

не зависящую от номера п [5].

Характерные результаты численного анализа собственных частот и форм колебаний, а также перемещений и напряжений при нерезонан­ сном нагружении усилиями cro¥=0, <T2JV+I = 0 представлены на рис. 1—5. Механические свойства слоев определены отношениями pi/p2= 2; EI/E2 = =20; vi = 0,3; v2 = 0,35 и используются безразмерные параметры ©*=

=<оЯ.Уц2р2- 1; co = co*/(W+6i); е=2Я/(2г0+ Я ); 6i = fti/ft; а*= (cro/pi)огг; и*= (ni/aoh)ur-, п — количество слоев в многослойном слое (или шаре).

Остановимся прежде всего на анализе частотного спектра для не­ однородного слоя толщины Я со свободными границами (сго=ог2л-+1 = 0). Характерными его частотами являются частоты колебаний coi* однород­ ного слоя со свойствами Е\, vi, pi и частоты колебаний ю2* однородного

Рис. 1. Распределение собственных частот колебаний неоднородного слоя в зависимо­

Был проведен численный анализ собственных форм колебаний не­ однородного слоя при разном количестве слоев. Из численных расчетов следует, что с увеличением количества слоев, зависящим от механико­ геометрических параметров, форма собственных колебаний неоднород­ ного слоя стремится к форме собственных колебаний однородного слоя, приведенные упругие параметры которого определены по формулам (7).

Перейдем к изучению спектра частот неоднородного шара тол­ щины Н. Как и в случае плоских неоднородных слоев, характерными частотами являются частоты колебаний шара той же толщины Н со свойствами Е\, vi, рь которые обозначим через (о*ь и частоты колебаний (0*2 однородного шара со свойствами Еъ V2>Р2 (в нашем случае со*2< <co*i). Первая собственная частота со* (1) слоистого шара существенным образом зависит от его кривизны. При изменении относительной тол­ щины слоя 61 от 0 до 1 и при любом количестве слоев 2N+1 частота со*(1) монотонно увеличивается от со*2(1) До co*i(l), причем при малых значениях 61 увеличение со* (1) более сильное, чем при больших 61. При любом количестве слоев распределение других частот колебаний полого

слоистого шара с малой кривизной 1е= ^ +HI2] такое же> как и в

неоднородном слое. Если е->0, то частоты колебаний неоднородного по­ лого шара со* (2), со*(3) и т. д. при любом количестве слоев стремятся к частотам колебаний неоднородного слоя со*(1), со*(2) и т. д., а первая частота для шара со* (1) стремится к нулю.

С увеличением кривизны сферических слоев зависимость частот от относительной толщины 61 слоя меняется. Качественное распределение лишь высших собственных частот колебаний шара при малом количе­ стве слоев (со*(3), со* (4) и т. д. при количестве слоев не больше пяти; а со* (5), со* (6) и т. д. при количестве слоев не больше девяти) такое же, как и в неоднородном слое. Низшие же частоты колебаний шара со* (/) существенным образом реагируют на изменение е, и характер их изме­ нения от со*2(/) до co*i (/) отличен от случая неоднородного плоского слоя: их изменение становится монотонным и при малых и больших 61 более существенным.

Зависимость собственных частот от е при различных п и фиксирован­ ном 61 показана на рис. 4. Из него следует, что при малом количестве слоев кривизна влияет только на первые частоты (на со* (1)—со* (3) для трехслойного шара, а с увеличением количества слоев кривизна влияет на более высокие частоты (на со* (1) =<о* (5) для девятислойного шара).

Проведем вне резонанса [со*=^=со*(/)] численный анализ напряженнодеформированного состояния неоднородного слоя и полого шара, возбуж­ даемых нагрузкой ао=^0, 02iv+i = 0 в зависимости от его кривизны и час-