УДК 611.08:539.04

А. Э. Мелнис

ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ХАРАКТЕР РАЗРУШЕНИЯ КОМПАКТНОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ

Исследование механического поведения компактной костной ткани требует анализа механизмов деформирования и разрушения. Известно, что характер разрушения любого материала определяется его струк­ турной организацией, и это особенно характерно для костной ткани — сложного по строению биокомпозита. Взаимодействие между ее отдель­ ными структурными элементами на различных структурных уровнях — между кристаллами гидроксиапатита и коллагеновыми молекулами, между коллагеново-минеральными волокнами и межфибриллярным связующим веществом, между ламеллами в остеонах и остеонами и цементирующей межостеонной матрицей — обусловливает сложность многоступенчатого механизма деформирования и разрушения костной ткани. К тому же наличие в костной ткани множества пор, канальцев и каналов, которые в определенных условиях могут служить как кон­ центраторами трещин, так и факторами, тормозящими их распростра­ нение, еще более усложняет процессы разрушения этого материала. Характер разрушения костной ткани зависит также от ряда других факторов, особенно важными среди которых являются вид и ориентация нагрузки относительно направления осей анизотропии материала, темпе­ ратура, влажность, скорость деформирования или нагружения, возраст человека и др.

В литературе имеется ряд работ, посвященных исследованию влия­ ния перечисленных факторов на механизмы деформирования и разру­ шения компактной костной ткани. Так, установлено [1], что при растя­ жении образцов вдоль продольной оси кости поверхность разрушения неровная и наклонена к этой оси под углом от 45 до 90°. Для образцов, растянутых вдоль трансверсальной оси, т. е. в направлении по каса­ тельной к поперечному сечению кости, поверхность излома более ров­ ная и ортогональна к направлению нагружения. Подобное же измене­ ние топографии поверхности разрушения в зависимости от ориентации образца относительно продольной оси кости установлено в [2] при растяжении и в [3] при изгибе. Выявлено также, что линии разруше­ ния проходят в основном по наружным поверхностям остеонов или между ламеллами и весьма редко — через гаверсовы каналы [4]. Уве­ личение температуры приводит к изменению типа разрушения от хруп­ кого к вязкому [5]. Аналогичное действие на характер разрушения оказывает и влажность [6]: сухая костная ткань разрушается хрупко, образуя гладкую поверхность разрыва; возрастание влажности изме­ няет характер разрушения — оно становится вязким, удельная энергия деформации в момент разрушения значительно увеличивается. Основ­ ная особенность разрушения костной ткани в старческом возрасте свя­ зана с резким понижением удельной энергии деформации, необходимой для разрушения этого материала, и с образованием более гладких, по сравнению с молодой костью, поверхностей излома [7].

Исследование процесса разрушения компактной костной ткани ме­

тодами акустической и фотонной эмиссии выявило [8], что выраженное разрушение, сопровождающееся интенсивным выделением акустических и фотонных импульсов, наблюдается лишь на заключительном этапе нагружения. На основе анализа структуры компактной костной ткани

в [9] сделано заключение, что именно наличие различных структурных уровней в костной ткани, т. е. ее ламеллярно-остеонное строение, обес­ печивает замедление распространения трещин в ней и тем самым уве­ личивает ее вязкое сопротивление разрушению. В [10] отмечено, что основным механизмом разрушения компактной костной ткани при кру­ чении является разрушение между ламеллами в остеонах или по по­ верхности раздела между остеонами и связующим веществом. В [11] рассмотрены три выраженных вида разрушения костной ткани на микроструктурном уровне — разрушение по так называемым цементи­ рующим линиям между остеонами и связующим веществом, через от­ дельные остеоны или группы остеонов и разрушение между ламеллами отдельных остеонов.

При изучении влияния скорости деформирования на характер раз­ рушения компактной костной ткани установлено [12], что при малых скоростях деформирования разрушение от сжимающих нагрузок про­ исходит из-за расщепления ламеллярной структуры вдоль участков бо­ лее слабого соприкосновения ламелл, а при больших скоростях — по связующему веществу вдоль наружных поверхностей остеонов. Со­ гласно [13] вблизи скорости деформирования, равной 2,4 • 10~3 с-1, про­ исходит изменение вида разрушения при сжатии — от хрупкого к вяз­ кому. По мнению авторов [13], это подтверждает изменение формы кривых сг11—6i1 и поверхностей разрушения костной ткани при значе­ ниях скоростей деформирования выше и ниже критической величины. Подобный же переход от хрупкого разрушения при больших скоростях к вязкому разрушению при малых скоростях распространения трещины при изгибе выявлен в [14].

Целью настоящей работы являлось уточнение влияния скорости де­ формирования на характер разрушения компактной костной ткани че­ ловека при растяжении.

Известно, что процессы, происходящие при деформировании и раз­ рушении материала, находят отражение во внешнем виде поверхности разрушения. Изучение этой поверхности и надлежащая интерпретация полученных данных могут дать ценные сведения о механизме разруше­ ния материала. Поэтому исследование влияния скорости деформиро­ вания на характер разрушения костной ткани проводили путем ана­ лиза поверхности разрушения методом электронной микроскопии.

Объектом исследования служили поверхности разрушенных влажных образцов (влагосодержание №=10,5%) при различных скоростях деформирования в условиях растяжения. Методика эксперимента и полученные результаты в диапазоне скоростей деформирования от 10-5 до 1 с-1 представлены в [15]. Материал изучали при помощи электронного микроскопа IEM-100C со сканирующей приставкой ASID-4D при рабо­ чем напряжении на ускоряющем электроде 40 кВ. Перед исследованием поверхности костной ткани напыляли слоем золота толщиной 60—80 нм в вакуумной установке 1ЕЕ-4с. Съемки проводили при увеличениях 1000 и 5000 X.

зуется третий участок, вследствие чего увеличивается максималь­ ная деформация при разрушении (кривая 2). Дальнейшее увеличение скорости деформирования (ёц = 0,1—1 с-1) приводит к слиянию вто­ рого и третьего участков деформирования при практически неменяющейся деформации разрушения. Такое изменение формы кривой сц —ец в зависимости от скорости деформирования, по-видимому, является следствием различных механизмов деформирования и разрушения кост­ ной ткани при различных скоростях деформирования. Поэтому изучаемый на микроскопе материал был распределен по трем группам: образцы, разрушенные при скоростях деформирования ёц = 10- 5 и КН с-1; при ец = 10-2 с-1; при ёц = 0,1 и 1 с-1.

С помощью электронного микроскопа были получены микрофотогра­ фии поверхности костных образцов, разрушенных при различных ско­ ростях деформирования (рис. 2). Уместно отметить, что анализ поверх­ ностей разрушения осложняется тем, что характер разрушения меня­ ется в зависимости не только от скорости деформирования, но и от структурных неоднородностей в костной ткани. Наличие в ней разветв­ ленной сети каналов, пор, лакун и других полостей обусловливает зна­ чительную вариабельность внешнего вида поверхностей разрушения. Поэтому для обобщающих выводов о характере разрушения костной ткани в зависимости от скорости деформирования было получено до­ статочно большое количество фрактограмм при всех значениях ёц. В работе приведены лишь некоторые из них, наиболее ярко характери­ зующие особенности разрушения компактной костной ткани в данном диапазоне скоростей деформирования. Кроме того, при различных зна­ чениях ёц в основном изучали одни и те же структурные элементы — поверхности разрушенных остеонов и зоны их соприкасания с межостеонным связующим веществом. Поверхность разрушения остеона при медленном деформироваии (ёц = 10“5—10-3 с-1) весьма неровная с выраженным углублением во внутреннем слое остеона. Наблюдали также расщепление по каиболее сложным плоскостям отдельных ламелл остеонов. При быстром деформировании (ёц = 0,1—1 с-1) поверх­ ность разрушения остеона более ровная с выраженной шероховатостью (см. рис. 2—а). Разрушение в этом случае, как правило, происходит с образованием множества мелких осколков костной ткани. На границе соприкосновения остеона со связующим веществом, которое не имеет определенного ламеллярного строения, топография поверхности разру­ шения изменяется — от сравнительно ровной она переходит в неров­ ную с укрупненным рельефом поверхность межостеонного вещества. Поверхность разрушения при скорости деформирования ёц = 10“2 с-1 является промежуточной между ними. Внешний вид рельефа поверх­ ности в данном случае меняется в весьма широком интервале — от ровного с образованием сравнительно мелких элементов до рельефа с очевидными неровностями (см. рис. 2—6).

Для более детального рассмотрения поверхностей разрушения одну часть образцов после их разрушения подвергали деминерализации (вы­ деляли минеральные составляющие костной ткани), а другую — депротеинизации (выделяли органические вещества). Поверхность разруше­ ние деминерализованной костной ткани в диапазоне скоростей дефор­ мирования ёц=10-5—10-3 с-1 имеет значительные неровности и углубления, обусловленные продольным смещением остеонов и ламелл относительно связующей матрицы (рис. 3—а). На рис. 3—б четко видны ламеллы, выступающие на поверхности разрушения костной ткани при скорости деформирования ёц = 10~2 с-1. Однако следует отметить, что деминерализация костной ткани после разрушения образцов, хотя и сохраняет рельефность поверхности разрушения с крупными элемен­ тами — остеонами и ламеллами, тем не менее значительно сглаживает мелкие неровности поверхности разрушения. Так, образующаяся при более быстром деформировании (ёц=0,1—1 с-1) шероховатая поверх­ ность разрушения после деминерализации приобретает специфический

для деминерализованной костной ткани вид с характерными пластин­ чатыми элементами. При большем увеличении эта поверхность весьма гладкая, без какого-либо структурного рисунка (рис. 3—в). Такое из­ менение поверхности разрушения, по-видимому, можно отнести не только за счет деминерализации костной ткани, но и .значительной усадки коллагеновой матрицы вследствие ее высыхания.

Депротеинизация разрушенных костных образцов, наоборот, при­ вела к большей контрастности поверхностей разрушения и к более наглядному проявлению структурной организации костной ткани. Мик­ рофотографии поверхности разрушения в диапазоне скоростей дефор­ мирования от 10“5 до 10“3 с-1 четко показывают ламеллярное строе­ ние основного самостоятельного элемента костной ткани — остеона (рис. 4—а). Распространяющаяся трещина по внешнему контуру ос­ теона указывает на разрушение костной ткани по поверхности раздела между остеоном и связующим веществом. На рис. 4—б при большем увеличении показан участок поверхности разрушения этого же остеона. Выступающий фрагмент ламеллы и выраженные углубления в сосед­ них ламеллах указывают на различный характер их разрушения из-за разного направления армирующих коллагеново-минеральных волокон. Поверхность разрушения при ёц = 0,1—1 с-1 более ровная, со значи­ тельной шероховатостью (рис. 4—в). Наблюдения при большом увели­ чении показывают, что рельеф поверхности разрушения в данном ди­ апазоне скоростей деформирования состоит из выступающих пучков или отдельных коллагеново-минеральных волокон.

Таким образом, анализ микрофотографий поверхностей разрушения отражает общую картину структурных изменений, происходящих в ко­ стной ткани при растяжении костных образцов в диапазоне скоростей деформирования 10~5—1 с-1. Изменение внешнего вида поверхностей разрушения свидетельствует о широком спектре процессов разрушения, происходящих на различных структурных уровнях костной ткани. Как видно из приведенных микрофотографий и кривых деформирования, полученных в [13] для влажной костной ткани, в данном диапазоне скоростей деформирования не имеет места переход от вязкого разру­ шения к хрупкому, как это выявлено в [11] при сжатии и в [12] при изгибе. Критическое значение скорости деформирования, при котором наблюдается этот переход, по-видимому, зависит от вида нагружения. Если при сжатии оно равно всего 2,4*10-3 с-1 [11], то при растяжении эта величина, по всей вероятности, значительно больше и находится за пределами рассматриваемого диапазона скоростей деформирования.

В интервале изменения ё от 10-5 до 1 с-1 .разрушение имеет в ос­ новном вязкий характер. Об этом свидетельствует образование специ­ фических для костной ткани поверхностей разрушения с выступающими отдельными элементами — более крупными (остеонами и ламеллами) при медленном деформировании (ёц = 10“5—10~3 с-1) и мелкими (от­ дельными коллагеново-минеральными волокнами или пучками воло­ кон) при повышенных скоростях деформирования (ёц = 0,1—1 с-1). При ёц = 10“2 с-1 имеет место вытягивание как остеонов и ламелл, так и коллагеново-минеральных волокон.

Если в случае малых скоростей деформирования (10-5—10-3 с-1) трещины, как правило, идут по внешнему контуру гаверсовых систем, то при остальных исследованных значениях скоростей деформирования распространение трещин чаще всего не связано с определенными гео­ метрическими особенностями микростроения костной ткани.

Возвращаясь к идеализированным кривым деформирования костной ткани (см. рис. 1), необходимо отметить, что их вид определяется глав­ ным образом взаимодействием структурных элементов на всех уровнях структурной организации среды, как и у синтетических композитных материалов. Увеличение скорости деформирования приводит к более выраженному деформированию коллагеново-минеральных волокон и вызывает их ориентирование относительно продольной оси образца.

Это, по-видимому, и обусловливает увеличение, по сравнению с малыми значениями ёп, разрушающей деформации и появление третьего уча­

влияние процессов, происходящих на более низких уровнях (фибрил­ лярном и молекулярном) структурной организации костной ткани, что в свою очередь вызовет слияние второго и третьего участков дефор­ мирования на кривой Оц—ец.

Следует, однако, заметить, что полученные фрактограммы поверх­ ностей разрушения дают представления о характере разрушения в ос­ новном на трех высших структурных'уровнях костной ткани. Некото­ рые соображения о механизмах деформирования и разрушения костной ткани на молекулярном уровне можно найти в [16]\ где при помощи метода рентгеновской дифракции исследовано микродеформирование минерального компонента костной ткани — кристаллов гидроксиапатита. Установлено, что кристаллы гидроксиапатита деформируются непропор­ ционально деформации образца, а разрушение происходит по поверх­ ности раздела между кристаллом и коллагеновой матрицей. Своеоб­ разная модель деформирования костной ткани на этом структурном уровне приведена в [17]. На основе представлений о костной ткани как о двухфазном композитном материале полученный перегиб на кри­ вой оц —ец авторы работы [17] объясняют упругим поведением колла­ гена и пластическим деформированием минеральных кристаллов. Не отрицая реального вклада процессов, происходящих на молекулярном уровне в механизмах деформирования и разрушения костной ткани, такое объяснение все же следует считать сомнительным, так как, по мнению большинства исследователей, деформирование кристаллов гид­ роксиапатита является упругим.

Заключение. Как показали электронно-микроскопические исследова­ ния, основным видом разрушения влажной костной ткани является вяз­ кое разрушение с вытягиванием отдельных элементов на различных структурных уровнях — более крупных при малых скоростях деформи­ рования и мелких при больших значениях ёц. Продольное сдвиговое деформирование между остеонами и связующим межостеонным вещест­ вом, между отдельными ламеллами в остеонах, между коллагеново-ми­ неральными волокнами и межфибриллярной связующей матрицей, а также между кристаллами гидроксиапатита и молекулами коллагена в основном и определяет вязкоупругие свойства костной ткани. При определенных значениях скоростей деформирования превалируют про­ цессы, происходящие на том или ином структурном уровне костной ткани.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Dempster W. Т., Coleman R. F. Tensile strength of bone along and across the grain. — J. Appl. Physiol., 1961, vol. 16, N 2, p. 355—360.

9.Кнетс И. В. Разрушение компактной костной ткани. — Механика композит, материалов, 1979, № 2, с. 338—343.

10.Saha S. Longitudinal shear properties of human compact bone and its con­

р.455—471.

14.Piekarski K. R. Fracture of bone. — J. Appl. Phys., 1970, vol. 41, N 1, p.215—223.

15. Мелнис А. Э., Кнетс И. В. Влияние скорости деформирования на механические свойства компактной костной ткани. — Механика композит, материалов, 1982, № 3,

с.512—517.

16.Крауя У. Э., Курземниекс А. X., Пфафрод Г. О. Особенности микродеформи­ рования компактной костной ткани человека. — Механика композит, материалов, 1980,

УДК 611.71:620.1

И.В. Дроздова

ОВЛИЯНИИ НАГРУЗКИ НА ПОВЕРХНОСТНЫЙ РОСТ

ТРУБЧАТОЙ КОСТИ

Рассмотрим задачу о малых упругих деформациях толстостенного цилиндра, высота которого существенно превосходит его радиусы, находя­ щегося под действием внешнего и внутреннего давлений, и аксиальной нагрузки, с учетом того, что скорость ростового изменения радиусов ци­ линдра зависит от напряжений. Решение этой задачи может быть приме­ нено для описания поверхностного роста диафизарной части большебер­

цовой кости человека.

В статье [1] такая задача была решена в предположении о том, что силы внешнего и внутреннего давления отсутствуют. Была также пред­ ложена используемая ниже с некоторыми оговорками классификация случаев возможного движения внутренней (эндостальной) и наружной (периостальной) поверхностей диафизарной части длинной кости, моде­ лируемой с помощью толстостенного цилиндра. В отличие от работы [1] в данной статье исследуются деформации цилиндра при двух разных гипо­ тезах о характере роста. Согласно первой из них, поверхностный рост цилиндра является изотропным, согласно второй — анизотропным. Предположения работы [1] эквивалентны второй гипотезе. Метод реше­ ния задачи о деформации цилиндра при помощи фазового портрета не­ сколько отличен от используемого в статье [1].

Термин «поверхностный рост» или, точнее, «поверхностная рекон­ струкция» был предложен в работе [2] для описания явления резорбции или отложения костной ткани на эндостальной или периостальной по­ верхностях трубчатой кости в результате химических реакций. В ка­ честве гипотезы поверхностного роста примем соотношение, связываю­ щее скорость поверхностного роста по нормали к поверхности V (пред­ полагаем, что в тангенциальном направлении скорость поверхностного роста равна нулю) с физическими компонентами тензора напряжений оц в произвольной точке Q поверхности тела:

где Мг> феноменологические коэффициенты; % — параметры, возможно, тензорные, которые характеризуют анизотропные особенности роста; т величина, определяющая скорость роста в отсутствие напря­ жений. В работах {1, 2] принималось соотношение типа (1), причем по­ стулировалась линейная зависимость между скоростью V и отклонением малых деформаций от некоторых отсчетных значений, отвечающих со­

стоянию без реконструкции, а зависимость от параметров типа у не вво­ дилась.

Предположим, что цилиндр подвержен действию внешнего давления Pe\t)y внутреннего давления pi(t) (Pi(t) и pe(t) не меняются по длине цилиндра и не зависят от полярного угла 0 в сечении, перпендикулярном оси и г ) и аксиальной нагрузки P(t) таким образом, что все перемеще­ ния кроме перемещений w вдоль оси цилиндра не зависят от z и в силу осесимметричности задачи зависят лишь от полярного радиуса г и вре­ мени г, а перемещение w есть линейная функция z и не зависит от г.

огда, если нижний торец цилиндра не имеет аксиальных перемещений, в сечениях, перпендикулярных оси, происходит плоская деформация и

ectb равномерное сжатие вдоль этой оси. Компоненты тейзора малых Де­ формаций гц имеют в этом случае вид

где и (г, t) — радиальное перемещение.

Как показано в монографии [3], ткань большеберцовой кости человека является ортотропным материалом. Модули Юнга в направлениях z, 0, г неодинаковы {Ez :Ee:ET= 1 :0,46:0,38), но различие между Ео и Етне­ велико. Поэтому для простоты примем, что костную ткань можно рас­ сматривать как трансверсально изотропный материал. Тогда закон Гука будет иметь вид

0гг= (^2+2р.2)егг+Я2е00—A.ie(0; <T00=^28rr+ (А.2+2р.г) во©—Aie(^);

где %u pi (t=l,2) — упругие постоянные. При выполнении соотношений

(2) и (3) единственным уравнением равновесия, не удовлетворяющимся тождественно, будет

( 4 )

~дГ

Граничные условия имеют вид

Orr=-Pi(t) при r—a(t)\ Orr=-pe(t) при r=b(t);

(5а, б, в)

Ь 2Л

JJ ozzrdrdQ=-P(t),

а0

где a(t), b(t) — внутренний и внешний радиусы цилиндра.

Решая уравнение (4) стандартным образом путем введения функции напряжений, из условий совместности в напряжениях с учетом гранич­ ных условий (5) получаем для напряжений известные формулы

<Tzz=Ai (А2 + Р2)-1 (o?Pi — b2pe) (b2—a2)~l+ [Ai2(A2 + p2)-1—AI ~ 2pi] -e; e(0 =Ez-4P/n+2vz(a2pi- b 2pe)] {b2- a 2)~\

где vz — коэффициент Пуассона в аксиальном направлении (технические константы упругости можно выразить через упругие постоянные Х{,

Pit2]).

Для ozz справедливо соотношение

Ozz=-P(t) [л(62—а2)] -1

В случае, когда цилиндр не испытывает аксиального сжатия, нет нужды рассматривать граничное условие (5в). Тогда для azz справедливо соот­ ношение (6в) при условии, ЧТО 8= 0.

Предполагая, что поверхностный рост цилиндра, как и его упругие деформации, осесимметричен, можно выделить следующие наиболее простые гипотезы о характере поверхностного роста.

I. Поверхностный рост определяется первым инвариантом тензора напряжений. Прямого влияния факторов анизотропии на рост нет.

II. Анизотропия роста в аксиальном направлении существенна: M{J — тензор, характеризующий текстуры типа m • с» : m [4]. Тогда в вы­ бранной цилиндрической системе координат имеется лишь одна ненуле­ вая компонента M33(Q).

Анализ некоторых обобщений этих гипбтёз йрйвоДйтся нй&е. ГиПОтезы I и II с учетом того, что скорость роста по нормали к поверхности есть производная от радиуса по времени, математически можно записать

в виде

Здесь а0, Ьо — начальные значения радиусов; та, ть, Ма, Мь — пара­ метры роста; а — функция напряжений, определяемая из гипотез I и II формулами

Проведем исследование на фазовой плоскости (X, У) системы диффе­ ренциальных уравнений (10) в случае, когда между параметрами роста есть детерминированная зависимость (у=0), наличие которой ведет к пропорциональности скоростей изменения внутреннего и внешнего ра­ диусов. Для простоты предполагаем, что ре, ри Р не зависят от времени. При этих предположениях фазовые траектории системы, удовлетворяю­ щие начальным условиям Х(0) = У(0) = 1, — лучи, исходящие из точки 0 1 (1,1), и на фазовой плоскости есть особая кривая равновесных состоя­ ний, определяемая соотношением а+2И=0. Уравнение этой кривой для гипотез I и II будет иметь вид

силу неотрицательности радиусов и ненулевой толщины стенки ци­ линдра физический смысл имеют точки части плоскости А, описываемой неравенствами

К сожалению, в литературе не удалось найти данных о величинах давлений Рх и ре. Большеберцовая кость человека окружена расположен­ ными вдоль нее поперечно-полосатыми мышцами, которые, сокращаясь (например при ходьбе), дают основной вклад в аксиальную, а не в ради­ альную нагрузку. Поэтому в качестве характерного значения внешнего давления можно принять величину атмосферного давления. Внутри кост­ номозгового канала находятся кровеносные сосуды, поэтому можно

Решение уравнения (16) в зависимости от Знака Мь стремится либо к конечному значению (при Мь< 0), либо (при М6> 0 ) к нулю (если 9Л< <.РЬ02[п(Ьо*—а04)]-1) или к бесконечности (если Ш>РЬ02[п(Ь0*—flo4)]-1). причем в первом случае решение относят к типу 3° или 4°, а во втором — к типу 7 или 6. Такое разделение представляется не совсем правомер­ ным, так как решение задачи об изменении радиусов цилиндра при t>t* теряет физический смысл (внутренний радиус становится отрицатель­ ным). Решение уравнения (16) при t> t* не совпадает с решением для b(t)/bo, которое следует из уравнения (106) с учетом соотношения (11) при у=0. Наряду с принимаемой в статье [1] гипотезой относительно по­ ведения радиусов цилиндра после момента времени t* допустимы и дру­ гие предположения. Если при t=t* a(t) обращается в нуль, то можно либо считать, что решение системы дифференциальных уравнений (10) при t>t* не отражает поведение реального объекта, либо полагать, что после момента времени /* радиусы цилиндра сохраняют значения 0 и b(t*), относя решения к типам 3° и 4° (именно это предположение и бу­ дет приниматься). Было проведено сопоставление результатов данной статьи и работы [1]. Результаты совпадают с точностью до указанной различной трактовки типов решения 3° и 4°. Заметим, что структура табл. 3 работы [1] представляется нерациональной: разбиение интервала ]—оо, —1( для q на два интервала ]—оо, —Ь0/а0[ и ]—Ьо/а0, —1[ важно лишь в случае, когда 1<5<с52, причем ограничение, накладываемое на 5 (S < S 2), является по существу ограничением на q: указанные выше два интервала нужно уменьшить до интервалов ]—оо, >—а0/(М О(.

]—Оо/{Ьокг),If-

Из физических соображений кажется очевидным, что в действитель­ ности могут реализоваться случаи, когда радиусы цилиндра стремятся к конечным равновесным значениям (типы решений 1—5). На самом же деле, как следует из соотношений (9), в модели изначально заложен ли­ нейный по времени рост, который уничтожается требованием =mblMb — tndMa=0. В статье [2], где задачи о поверхностном росте (по­ лого цилиндра под действием только аксиальной нагрузки и цилиндра, внутрь которого введен стержень) решаются линеаризацией уравнений по переменным а/ао—1 и b/bo—1, и в работе [1] также указывается, что для избежания неограниченного во времени роста необходимо тождест­ венное равенство некоторых коэффициентов. Это положение нуждается в специальном^ обсуждении^ Два параметра (та/Ма и ть/Мь), характе­ ризующие свойства костной ткани в разных ее местах, не могут быть тождественно равны друг другу, различия между ними для реальной кости всегда есть [5]. Нельзя забывать также, что для реальных живых систем решение имеет смысл рассматривать лишь на конечных проме­ жутках времени. Поэтому отбрасывать по формальным соображениям решения типов 6 (а, Ь-*оо), 3°, 4°, так же как и исключать из рассмотре­ ния тенденции поведения при у=^0, не следует. Так как механические свойства костной ткани значительно меняются со временем, то не исклю­ чена возможность непостоянства коэффициентов milMu что ограничи­ вает отрезки времени, на которых возможно рассмотрение уравнения (7) с постоянными коэффициентами (по-видимому, сшивая решение системы на разных отрезках времени с разными mi/Mu можно добиться ограни­ ченности радиусов при больших временах). Кроме того в статье [1] ука­ зывается, что при приложении гиперфизиологической нагрузки исследо­ ватели наблюдали полное зарастание костномозгового канала локтевой кости собаки. Это означает, что ситуации, отвечающие типам решения 3° и 4°, подтверждаются физиологическими наблюдениями.

Наличие линейного во времени роста радиусов при отсутствии напря­ жений содержится уже в общем законе поверхностного роста (1), когда m(Q) фО. Любая дополнительная гипотеза, делающая решение диффе­ ренциального уравнения (1) (V=dr(Q)/d/) ограниченным во времени, при отсутствии напряжений устраняет и неограниченный рост радиусов в исследуемой задаче. Так, в моделях, где m(Q) связано, например, с

химической кинетикой соотношением m(Q) =^(dc/dt) (здесь с — кон­ центрация вещества, ср — некоторая функция, для которой ф(0) =0), вы­ ход концентраций на равновесные значения ведет к обращению m(Q) в нуль и, соответственно, к ограниченности решений уравнений (1). Таким образом, трактовка детерминированной зависимости между парамет­ рами роста как единственной возможности его ограниченности — из­ лишне ограничительна.

Сопоставим далее несколько случаев поведения цилиндра при одних и тех же параметрах роста при наличии аксиальной нагрузки и в ее от­ сутствие. Предположим, для ненагруженного цилиндра при условии, что Ре<Рг<&о2^к)“2Ре, имеет место случай 16, когда 9Л принимает значение, при котором радиусы цилиндра не изменяются. Так как это значение положительно и достаточно мало, то нужно поставить ему в соответствие случай 2в. Если Мь<.0,. а Мь1Ма< .—у\у то внутренний и внешний ра­ диусы выходят на равновесные значения (тип решения 3).

Рассмотренный пример с гипотетическими данными допускает физио­ логическую интерпретацию. Предположим, что в последний период роста организма человека (как указывается в работе [6] — от 12 до 16 лет) по медицинским показаниям было проведено усечение нижней конечности в области стопы или нижней части голени и после ампутации подросток либо не протезировался, либо мало пользовался протезом. Тогда конеч­ ности будут находиться в разных условиях: одна под действием аксиаль­ ной нагрузки, а другая нет. Известно [7], что при нормальной функции конечности диафизы трубчатых костей увеличиваются в поперечнике, т. е. утолщаются за счет надкостницы, камбиальный слой которой в пе­ риоды роста постоянно продуцирует костную ткань, напластовываю­ щуюся вокруг диафиза. Таким образом, кортикальный слой все время наращивается по периферии, подвергаясь незначительной ресорбции со стороны костномозгового канала. В терминах рассуждений, приведенных выше, это означает, что при наличии аксиальной нагрузки происходит довольно интенсивное увеличение внешнего радиуса и толщины стенки цилиндра. После ампутации конечности одновременно с гистологиче­ скими изменениями костной ткани начинает развиваться атрофия кости (уменьшается ее объем), причем после ампутации в детстве имеется не столько истинная атрофия, сколько резкое отставание в развитии усечен­ ной кости от здоровой. Поэтому у взрослых, перенесших в детстве ампу­ тацию конечности, диафиз усеченной кости значительно тоньше диафиза кости здоровой конечности [7]. Это явление, видимо, описывается рас­ смотренным примером.

В приведенном выше случае влияние может на самом деле быть и не основным фактором: рост усеченной конечности происходит в патологи­ ческих условиях и, возможно, нужно было бы для описания развития усеченной и неусеченной конечности задавать различные параметры по­ верхностного роста Mby МЛу 9Л. В отличие от этого, после ампутации части нижней конечности у взрослого выраженность атрофии скелета культи определяется прежде всего функцией конечности, т. е. ее аксиаль­ ной нагруженностью. При постоянном пользовании протезом (протезиро­

или совершенно отсутствует. Если же ампутированный не пользуется протезом, то может развиться выраженная атрофия скелета культи, со­ провождающаяся заметным расширением костномозгового канала и также, судя по схемам рентгенограмм (см. {7], рис. 78), возможным уменьшением диафиза кости на периферии со стороны надкостницы. Для описания этого явления сопоставим, принимая гипотезу I, случаи 1в и 26 при условии 2ре<Ш <2(1 +vz)Pe, М ь< 0, —1<Л4ь/Ма< —ао/Ьо (не­ равенства 1в 2 и 26 2). Если же принимается гипотеза II, то нужно взять случай 2в 2 и 2vz{b02pe-ao2Pi)I(Ьо2- а 02) < 331<2ре. Тогда у аксиально нагруженного цилиндра будет происходить уменьшение радиусов до рав­ новесных значений (тип 4), а у ненагруженного — увеличение радиусов до равновесных значений (тип 2).

о*

С помощью изложенных методов представляется возможным также описать случаи, когда протезирование проводится без упора конца культи в протез, который с большим натяжением охватывает усеченную конечность (в этом случае нужно решать задачу при pe> pi).

Таким образом, обсуждаемая модель даже в простейшей постановке позволяет описать явления, происходящие при росте большеберцовой кости человека.

Автор выражает благодарность С. А. Региреру, Ю. И. Гильдерману и И. Б. Скляру за полезные обсуждения.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Cowin S. С., Firoozbakhsh К. Bone remodelling of diaphysial surfaces under

constant |oad: theoretical predictions. — J. Biomech., 1981, vol. 7, p. 471—484.

2. Cowin S. C., Van Buskirk W. C. Surface bone remodelling induced by a medullary pin. — J. Biomech., 1979, vol. 12, p. 269—279.

3.Кнетс И. В., Пфафрод Г. ОСаулгозис Ю. Ж. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей. Рига, 1980. 319 с.

4.Седов JI. И. Механика сплошной среды. М., 1973. Т. 1. 536 с.

5.Регирер С. А. О моделях биологических сплошных сред. — Прикл. математика

имеханика, 1982, т. 46, вып. 4, с. 531—542.

6.Игнатьев В. Е. К вопросу о росте и его нарастании. — Рус. антропол. журн., 1913, № 1, 2.

7.Косинская Н. С. Рентгенологическое исследование в протезировании после ампу­ тации. Л., 1958. 215 с.

УДК 620.179:678.029

В.А. Локшин, Ю. В. Дряпочко, В. С. Фетисов, А. В. Сандалов,

В.Ф. Зинченко

И С С Л Е Д О В А Н И Е А К У С Т И Ч Е С К И Х С В О Й С ТВ К Е Р А М И Ч ЕС К О ГО

МА ТЕР И А Л А

Впредлагаемой работе предпринята попытка выяснить возможность диагностики механических характеристик керамического материала с использованием акустических методов — импульсного ультразвукового

ирезонансного. Исследуемый материал изготовлен на основе кварцевого волокна и находит широкое применение как термостойкий.

Целесообразность диагностики механических характеристик иссле­

дуемого материала обусловливается необходимостью индивидуального контроля каждой заготовки.

При проведении исследований направление, параллельное основанию заготовки, обозначали как «сильное», а перпендикулярное ему направ­ ление — как «слабое». Характеристики, соответствующие этим направ­ лениям, обозначены символами || и _1.

Исследование возможности применения акустических методов для оценки анизотропии механических характеристик и определения дина­ мических модулей упругости проводили в основном на аппаратуре, раз­ работанной в Специализированном КБ научного приборостроения Ин­ ститута механики полимеров АН Латвийской ССР. Прочность и модуль упругости при статическом сжатии сгсж и Ест, прочность и модуль упру­ гости при статическом растяжении ар и £ р определяли по результатам испытаний, проведенных на универсальной испытательной машине 1231У-10.

Скорость ультразвука v определяли при сквозном прозвучивании, т. е. излучатель и приемник располагали соосно на противоположных гранях образца или заготовки. При этом использовали следующие при­ боры: опытный ИСЗУ-А7 (СКВ НП ИМП АН ЛатвССР) и серийный УК-10П («Электроточприбор»). Ввод и прием ультразвука осуществ­ ляли через тонкие полиуретановые прокладки или при непосредственном контакте датчик—материал, так как использование жидкой контактной

Табл. 1

Коэффициент вариации значений скорости ультразвука при повторных измерениях и фиксированных точках

и по плоскостям в направлениях сквозного прозвучивания блока А, Б, В

А Б В

Зависимость скорости ультразвука от длины образца для «сильного» направления (поперечное сечение 20x20 мм)

Табл. 3

Зависимость скорости ультразвука от длины образца для «слабого» направления (поперечное сечение 20x20 мм)

среды для данного материала не представляется возможным. Для оценки воспроизводимости результатов измерений при определении скорости ультразвука проводили последовательно по 10 измерений в каждой из 10 точек, равномерно расположенных на плоскостях заготовки в трех вза­ имно перпендикулярных направлениях (А и Б соответствует «сильному», В — «слабому»). Воспроизводимость результатов измерения в фиксиро­ ванных точках и разброс значений скорости по плоскостям оценивали по величинам коэффициентов вариации VT и Ур соответственно. Резуль­ таты измерений приведены в табл. 1. Эти данные свидетельствуют о воз­ можности определения скорости ультразвука в исследуемом материале с помощью указанных аппаратуры и методики с удовлетворительной для практического использования воспроизводимостью.

Изучали влияние размеров образцов на скорость распространения продольных ультразвуковых волн. Было обнаружено, что для обоих направлений анизотропии не наблюдается существенного различия v как при измерениях, проведенных на образцах различных размеров и формы, так и на заготовках с размерами около 180Х180Х (70—90) мм, из которых эти образцы вырезали. Размах значений не превышал 10%. Статистическая обработка показала отсутствие связи между скоростью ультразвука и размерами образцов в исследуемых пределах. Результаты изучения влияния длины образца (базы прозвучивания) на v приведены в табл. 2 и 3 для «сильного» и «слабого» направлений соответственно. Индексы у v обозначают длину образца в миллиметрах. Поскольку не наблюдалось зависимости v от длины образца, в работе при определении £имп через v как в образцах, так и в заготовках использовали выражения для стержня.

Для определения динамического модуля упругости резонансным ме­ тодом пользовались известными выражениями, связывающими собствен­ ные частоты колебаний стержня с его модулем упругости [1, 2]. Модули упругости определяли при изгибных и продольных колебаниях (Еи и Епр соответственно).

Собственные частоты измеряли с помощью прибора ИЧЗ-З (СКВ НП ИМП АН ЛатвССР). Измерения проводили на призматических образ­ цах сечением 20x20 мм. Параллельно в них же измеряли скорость ульт­ развука. Поправочные коэффициенты в формулы для определения Еи и

Отношения значений механических характеристик в «сильном» и «слабом» направлениях

Еар не вводили, так как значения модуля упругости, вычисленные по этим формулам, для образцов различных размеров и формы несущест­ венно отличались друг от друга, причем продольные колебания доста­ точно хорошо возбуждаются даже при небольшом, равном трем, отноше­ нии длины образца к стороне его поперечного сечения.

В табл. 4 приведены отношения механических характеристик иссле­ дуемого материала в «сильном» и «слабом» направлениях, определенных при статических испытаниях. Эти данные свидетельствуют о существен­ ной анизотропии прочности при растяжении, модулей упругости и сжа­ тия. В меньшей степени проявляется анизотропия прочности при сжа­ тии. Это может быть объяснено различием в характере разрушения при сжатии: в «сильном» направлении исследуемый материал разрушается по типу хрупкого, в «слабом» — по типу пластического.

Результаты экспериментов по использованию акустических методов приведены в табл. 5 и на рисунке. Как следует из представленных дан­ ных, динамические модули упругости, определенные импульсным ульт­ развуковым и резонансным методами, изменяются аналогично, имеют достаточно хорошее совпадение как для «сильного», так и для «слабого» направлений. Экспериментальные данные устойчиво ложатся на прямую с тангенсом наклона, близким к единице (см. рис.). Оба метода в равной степени чувствительны к анизотропии материала.

Коэффициент анизотропии упругих характеристик, определенных ре­ зонансным методом, несколько выше, чем для характеристик, определен-

Результаты корреляционно-регрессионного анализа экспериментальных данных

ных импульсным ультразвуковым. Однако это различие аналогично для материала всех исследованных заготовок. В то же время коэффициент анизотропии для всех модулей упругости при сжатии и растяжении из­ меняется неодинаково и в общем имеет больший разброс, чем для упру­ гих характеристик, определенных акустическими методами для мате­ риала тех же заготовок. Различие следует объяснить тем, что модуль упругости при статических испытаниях вычисляли по измерению сбли­ жения и расхождения опорных поверхностей и захватов испытательной машины, так как применение навесных тензометров при испытании об­ разцов из исследуемого материала не представлялось возможным. Таким образом, измерения проводили не в зоне равномерных деформаций. Вы­ числение упругих характеристик по измерению мерной базы с помощью катетометра связано с большой трудоемкостью. Определение же упругих характеристик с помощью резонансного и импульсного ультразвукового методов, в которых возмущения, вводимые в материал, невелики, лишено этих недостатков.

между свойствами этого материала с привлечением, наряду со скоростью распространения ультразвука, комплексов других физических характе­ ристик, определяемых неразрушающими методами.

Выводы. 1. Исследованный материал обладает ярко выраженной трансверсальной изотропией акустических, упругих и прочностных свойств.

2. Динамические модули упругости, определяемые с помощью акус­ тических методов, являются более устойчивыми и удобными характерис­ тиками для контроля упругих свойств исследуемого керамического мате­ риала, чем модули, определяемые при статических испытаниях.

3. Скорость распространения ультразвука может являться информа­ тивным параметром для диагностики жесткости и прочности исследуе­ мого материала.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Латишенко В. А. Диагностика жесткости и прочности материалов. Рига, 1968. 320 с.

2.Гершберг М. ВИл юшин С. В., Смирнов В. И. Неразрушающие методы контроля судостроительных стеклопластиков. Л., 1971. *198 с.

3.Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. М., 1971. 576 с.

Анализ полученных совокупностей коэффициентов а, Ь, ть тг для разных (Те позволил выявить вид зависимости этих коэффициентов от амплитуды напряжения. На рис. 4 представлены значения коэффициен­ тов аппроксимации а, ть тг от амплитуды циклического напряжения в стационарном режиме. Видно, что зависимость коэффициентов а, тьтг может быть принята линейной в полулогарифмических координатах о0 — lg (коэф). Расчеты, выполненные методом наименьших квадратов, дали следующие соотношения:

Коэффициенты корреляции между величинами lga, lgti, lg t2 и напря­ жением Оа равны соответственно 0,988, 0,964, 0,978. Коэффициент b ли­ нейно зависит от амплитуды напряжения. Связь эта может быть пред­ ставлена в виде

6=0,0196+0,000397оо. (5)

Коэффициент корреляции между b и аа равен 0,669. Зависимость (1) совместно с выражениями (2) —(5) позволяет описать кинетику изме­ нения параметра поврежденности в материале образца для любого стационарного уровня амплитуды напряжения в исследованном диапа­

зоне.

Экспериментальные кривые П(М), полученные при разных уровнях амплитуды напряжения ст0, дают возможность определить зависимость критического значения параметра поврежденности П* от напряжения Оа- Эта зависимость показана на рис. 5, из которого видно, что усред­ ненные для каждого уровня оа значения П* в пределах разброса опыт­ ных данных не зависят от оа- Средняя величина критического значе­

ния параметра поврежденности П* = 0,074 при среднеквадратичном от­ клонении s = ±0,008. Отметим, что обнаруженное постоянство П* при нагружении образцов нагрузками с различными уровнями оа согласу­ ется с экспериментальными результатами, полученными применительно к различным классам материалов [7, 8], хотя известны работы [4, 9], в которых П* зависит от оа- Можно предположить, что последнее вы­ звано неизотермическим характером нагружения образцов. Кроме того, при сопоставлении результатов следует учитывать, что частота нагру­ жения в [4, 9] более чем на порядок отличается от частоты нагруже­ ния, примененной в данной работе.

Вследствие противоречивости литературных данных представлялось целесообразным проверить полученный результат, используя в качестве параметра поврежденности изменение других физических характерис­ тик материала.

В сериях экспериментов, проведенных при амплитудах напряжения оа= 38 и 65,6 МПа, на образцы в опасном сечении наклеивали тензорезисторы с базой 10 мм, посредством которых перед испытанием на усталость определяли амплитуду динамической деформации еао при по­ ниженной амплитуде напряжения, не превышающей 15 МПа. Послед­ нее вызвано тем обстоятельством, что используемые тензорезисторы имели сравнительно низкое значение усталостной прочности. Затем об­ разец доводился до усталостного разрушения по принятому критерию, после чего на него вновь наклеивали тензорезисторы (ранее наклеен­ ные тензорезисторы к этому времени выходили из строя) и снова опре­ деляли амплитуду динамической деформации е*а образца при о'а = = 15 МПа. Динамические модули упругости неразрушенных и разру­

шенных образцов определяли по формулам Е^ = о/а/гао, £* = a'a/e*a со“ ответственно. В табл. 1 приведены результаты расчета Е0 и Е* при разных амплитудах динамического напряжения aa, а также относитель­ ные изменения динамических модулей упругости бЕ* образцов к мо­ менту их разрушения. На каждом уровне оа было испытано по три образца.

4.Олдырев ft. ft. О накбйлёйий пббреЖДений в с*ёклбпластике Ирй циклическом растяжении—сжатии. — Механика полимеров, 1971, № 5, с. 881—885.

5.Апинис Р. П., Скалозуб С. Л. Установка для испытаний образцов стекло­ пластиков на усталость в режиме симметричного растяжения—сжатия при звуковых частотах колебаний. — Механика полимеров, 1972, № 3, с. 525—528.

6.Куксенко В. С., Орлов Л. Г., Фролов Д. И. Концентрационный критерий ук­ рупнения трещин в гетерогенных материалах. — В кн.: Разрушение композитных ма­ териалов. Рига, 1979, с. 25—31.

7.Тамуж В. П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных мате­ риалов. Рига, 1978. 294 с.

8.Васинюк И. М. Исследование взаимосвязи между поврежденностью цикли­ чески деформируемых материалов и характеристиками неупругости. Автореф. дис. на

соиск. учен. степ. канд. техн. наук. Киев, 1972. 20 с.

9. Малмейстер А. К Т а м у ж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление композитных и полимерных материалов. Изд. 3-е. Рига, 1980. 572 с.

10. Сандалов А. В., Лейт В. А., Медведев М. 3. Возможности использования светопропускания для неразрушающего контроля армированных пластиков. — Меха­ ника полимеров, 1975, № 3, с. 563—565.