УД/< 539.3.001:678

И. Н. Преображенский, Ю. М. Коляно, О. И. Борисенко

УРАВНЕНИЯ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕД

Одной из основных проблем механики деформируемого твердого тела является термомеханика тел неоднородной структуры [1]. Основные урав­ нения классической термоупругости тел двухмерной и одномерной струк­ туры выведены в [2, 3] с использованием аппарата обобщенных функций, и на их основе получены решения квазистатических и динамических за­ дач несвязанной термоупругости, единые для всей области их определе­ ния. При этом1предполагалось, что скорость распространения тепла — величина бесконечно большая. Однако учет конечной скорости распро­ странения тепла оказывает существенное влияние на динамические про­ цессы в твердых телах [4]. Приведем основные уравнения неклассической (обобщенной) термоупругости тел трехмерной, двухмерной и одномер­ ной структуры, используя при этом развитую в работах [5, 6] алгебру асимметричных обобщенных функций.

Пусть в изотропном теле, занимающем область Q, ограниченную по­ верхностью 5, имеется М3 слоев изотропных параллелепипедных включе­ ний по М2 рядов в каждом слое, состоящих из М\ включений в каждом ряду. Грани включений параллельны координатным плоскостям декарто­ вой прямоугольной системы координат **, начало которой разместим в геометрическом центре системы включений. Размер включений по оси Xk обозначим через 2 ЪкУа расстояние между центрами включений по оси хь.

через 2dk. Тогда akr= (2r- 1 - M k)dk- b ky $kr= ( 2 r - \ - M k)dk+ bhy где

г — номер слоя включений по оси Хи\ анг, |3ьг — координаты начала и конца этого слоя соответственно.

Система дифференциальных уравнений взаимосвязанной термоупру­ гости неоднородного изотропного тела имеет вид [7]

Р — коэффициенты, учитывающие механические и теплофизические свойства материала; щ — компоненты вектора перемещений; р — плот­ ность; cv — объемная теплоемкость при постоянной деформаций; Я* — коэффициент теплопроводности; /0 — температура тела в ненапряжен­ ном состоянии; t — приращение температуры тела; wt — плотность внут­

ренних источников тепла; еZj = (Uitj + Ujyi) — компоненты тензора дефор­

маций; т — время; / = 1+ T*J^; T* = const — время релаксации теплового

потока; i yj y k = 1,3; точки над величинами обозначают производные по времени т; 6„ — символ Кронекера.

Механические граничные условия, как и в классической теории упру­ гости, задаются либо в перемещениях, либо в напряжениях. Граничное условие теплообмена на поверхности 5 тела и начальные условия для

где tii — компоненты вектора внешней нормали п к поверхности тела; а8 — коэффициент теплопередачи с поверхности 5 тела; tc8 — темпера­ тура среды, омывающей эту поверхность.

Термомеханические характеристики тела как единого целого пред­

ставим в виде

з

где ро, р1 — термомеханические характеристики материалов включения и основного материала;

Подставляя в (1), (2) выражения для термомеханических характе­ ристик тела в виде (4), используя при этом свойства единичных асиммет­ ричных функций [5, 6], а также соотношение

Р ( Х 1,Х 2,Х з) Pi \ ро Р\ >

получим систему дифференциальных уравнений с коэффициентами им­ пульсного типа обобщенной взаимосвязанной термоупругости тел с параллелепипедными включениями:

распространения тепла; p= at(3A,-t-2p); at — температурный коэффи­ циент линейного расширения; X, р, — постоянные Ламе.

Если поверхность 5 и поверхности включений не имеют общих точек, то граничное условие (3) в этом случае имеет вид

ЪХи [t (Р, т) ] .i+ a.i/[f (Р, т) - tc‘ (Р, т) ] = 0; Р е 6\

2

+ [a si+ (aso -asi) Д ] У ( ^ ) ] l[t(P, r) - t c8(P, T)] =0;

P e S b 6 = 1, 2.

Если влияние деформации на изменение температурного поля прене­ брежимо мало, то уравнения (5), (6) становятся несвязанными и урав­ нение теплопроводности (6) принимает вид

Рассмотрим некоторые частные случаи армирования. Положив в урав­ нениях (5), (6) и (5), (7) Мг=\, приходим к уравнениям обобщенной взаимосвязанной и несвязанной задачи термоупругости для тела, арми­ рованного параллелепипедными включениями, расположенными в слое, ограниченном плоскостями х3= ± 63. Из тех же уравнений при M i=\, Мз= 1 вытекают уравнения для тела, армированного рядом параллелепипедных включений.

Положив в уравнениях (5), (6) и (5), (7) N(x3)== 1, приходим к уравнениям обобщенной взаимосвязанной и несвязанной задачи термо­ упругости для тела со сквозными включениями, поперечное сечение кото­ рых плоскостью х3 = 0 — прямоугольники размера 2 Ь\Х262-

Уравнения для слоистого тела с плоскопараллельными равностоя­ щими границами раздела получаются из (5), (6) и (5), (7) в случае

Рассмотрим тело, состоящее из М изотропных слоев, краевые поверх­ ности 5 1и SM которого совпадают с плоскостями Х\ = 0, х х= gM. Термоме­ ханические характеристики тела как единого целого представим в виде

где рг — термомеханические характеристики г-го слоя, — координата границы раздела r-го и г + 1-го слоев.

Подставляя в (1), (2) представление (8) термомеханических харак­ теристик тела и используя при этом свойства асимметричных единичных функций [5, 6], а также соотношение

т т

тему дифференциальных уравнений с коэффициентами импульсного типа обобщенной взаимосвязанной термоупругости изотропных многослойных тел с плоскопараллельными границами раздела:

М -1

Обобщенное граничное условие теплообмена третьего рода (3) в данном случае принимает вид

Температурные напряжения в теле определим из соотношений Дюа- меля—Неймана [7]

где e=Uk,h, а величины р, К, р выбираем в виде (4) или (8) в зависимости от геометрии неоднородностей тела.

Уравнения связанной динамической термоупругости многослойных тел получается из (9), (10) или (12), (13) в предположении, что ско­ рость распространения тепла есть величина бесконечно большая (т* = 0). В этом слуЧЪЪ (10), (13) принимают вид

М-1