dQkt(t)

Теперь мы можем привести основные допущения, положенные в о^. нову построения модели, которые можно разбить на два класса: связац. ные с геометрическими построениями (дискретизация материала и гео. метрические условия распространения трещин, усреднение перенапр^. жений и формы дефектов, слияние по геометрическому принципу), связанные с вероятностным описанием (марковость процесса разрушу! ния элементов или неучет предыстории; неучет убыли дефектов за сче-j

слияния).

Численный расчет. Применим данную вероятностную модель для опщ сания процесса накопления дефектов в реальном нагруженном мате, риале. Будем считать, что долговечность всех элементов под постоянно^ нагрузкой одинакова и описывается согласно термофлюктуационной тео. рии [3, 6, 7]:

где [/о, у, то — параметры материала; k — постоянная Больцмана, Т температура образца. При круговой в плане форме образующихся дефектов количество неразрушенных элементов, окружающих дефект равно

tlj= л (У/+1).

Выберем дефект S* за вновь образовавшийся и Si — лежащий в одной с ним плоскости. Критическое расстояние между их центрами равно R(Sk,Sl)= R k+Ri+Lhtl, где Ri — радиус i-ro дефекта. Количество сече­ ний элементов, находящихся в поясе слияния £2,.будет равно

пы= 1+ 2у/ (]/£- I k - 1) + 2 ] / -£- [ (ykLkii-yk-\Lh-i,i) +

+y7(Ift,i —Lft-i,()] + — (Lft,i2—LA- I/ ) .

OQ

Для сравнения результатов вычислений с экспериментом рассмотрим конкретный материал — высокоориентированный капрон. Согласно [6, 13] и0= 2,72-10-17 кгс-мм; v= 0,892■ 10~19 мм3; т0=10-13 с. Температуру эксперимента возьмем комнатную Г=293К.

/.Будем считать, что материал не обладает начальной дефектностью,

т.е. Q,(0)=0; /> 0 . Экспериментальные результаты, изложенные в [8], свидетельствуют о том, что для рассматриваемого материала форму микротрещин можно аппроксимировать сплюснутыми сфероидами с отно­

шением h/r=0,1. Размер элемента выбираем согласно оценкам, прове-

Рис. 2. Схема слияния дефектов площадью S» и Si (при образовании первого из них).

Рис. 3. Влияние параметров модели на вероятность образования дефекта площадью не

денным в [1], do= 20 нм — его диаметр. Величины пм и Д являются мо­ дельными параметрами, характеризующими свойства материала. Их варьирование дает возможность анализировать кинетику накопления де­ фектов в рамках одной расчетной схемы. Численный расчет проводился при помощи ЭВМ НР-9600. На рис. 3 приведены кривые вероятностей образования дефекта площадью не менее Sj из произвольного элемента в зависимости от времени стационарного нагружения сго=100 кгс/мм2. Рассматривается влияние изменения Lk,i на кинетику накопления дефек­ тов. Приведены следующие семейства кривых: а) без учета слияния; б) Lh,i равно диаметру меньшего из сливающихся дефектов; в) Lk,i равно утроенному диаметру поперечного сечения элемента. Соответственно для б) Д= Si> l ^ k и для в) Д= 3S0. Слияние более существенно влияет как на кинетику накопления дефектов, так и на окончательное разрушение образца в случае большей взаимочувствитсльности дефектов. На рис. 4 приводятся кривые вероятностей появления разрушающего дефекта при Lkti=*3d0 и различных величинах Д. Видно, что площадь перемычки, раз­ рываемой при слиянии двух дефектов, существенно сказывается на ха­ рактере кривых появления разрушающего дефекта. Физическую интер­ претацию данного модельного результата можно свести к своеобразному учету динамического эффекта при разрыве материала. Кривые концен­ трации дефектов различных размеров в материале, состоящем из N эле­ ментов, определяются как Aj(t) =Dj(t) — Dj+\ (t) и приведены на рис. 5. Как видно, учет слияния может привести к изменению характера пове­ дения кривой для дефектов крупных размеров. С увеличением размера дефекта учет в модели слияния становится существеннее. Как показы­ вают рис. 3, 4, при Sj—>-оо кривые сливаются, что соответствует переходу процесса разрушения из фазы дисперсного накопления микротрещин в фазу лавинообразного разрушения или распространения магистральной трещины [6, 7]. Общая огибающая D(t) будет вероятностью появления разрушающего дефекта в материале в зависимости от времени. Дефект наименьшего размера, для которого кривая вероятности появления сли­ вается с D(t), будет разрушающим дефектом для данной долговечности или для образца данного объема.

II. Если в образце содержится N граней, перпендикулярных при­ ложенной нагрузке, и D(t) — вероятность появления разрушающего де­ фекта, то, применив правило наислабейшего звена, мы получим вероят­ ность разрушения образца в виде [6, 7]

£ (/) = ! —[1 _ £ > ( /) ] * - ! —еХр [-M D (f)].

Долговечность образца под приложенной нагрузкой запишется в виде

*р = < £ ( 0 > .

Рис. 4. Влияние параметров модели на вероятность образования разрушающего дефекта

III.Общеизвестно, что реальные материалы обладают дефектами,

концентрация и характер которых зависят от процесса их изготовления и истории до начала эксплуатации. Это могут быть начальные микротре­ щины, поры, области усадочных напряжений и т. д. Учет данного фак­ тора в рамках предложенной модели возможен заданием начальной кон­ центрации дефектов. Пусть С — концентрация разрушенных граней, имеющихся в образце до начала его нагружения. Будем считать, что раз­ рушенные элементы располагаются в образце произвольным образом, т. е.

дефектов различных размеров в зависимости от начальной концентрации С. Как видно, для материалов, обладающих высокой начальной дефект­ ностью, слияние является определяющим механизмом разрушения даже в фазе дисперсного накопления дефектов.

Концентрация дефектов, соответствующая моменту разрушения об­ разца, зависит от его объема, напряжения и температуры окружающей среды (обозначим ее через Р). Модельные результаты свидетельствуют об увеличении предразрывной концентрации дефектов с уменьшением объема образца для материалов, обладающих однородной изначально бездефектной структурой. В случае наличия начальной концентрации данная зависимость наблюдается только при малых объемах испытывае­ мого образца. Зависимости предразрывной концентрации от напряжения и температуры для образца объемом V=10 мм3 приведены на рис. 7, 8. Из рис. 3—5, 7 и 8 видно, что для материала, наиболее «чистого» от на­ чальных внутренних неоднородностей, напряжений и начальных микро­ трещин, предразрывная концентрация дефектов зависит от приложен­ ного напряжения и температуры испытания. С увеличением значения приложенного напряжения предразрывная концентрация дефектов уменьшается, с увеличением же температуры она возрастает. Зависи­ мость уменьшается с появлением и увеличением концентрации началь­ ных дефектов. Экспериментальные результаты, свидетельствующие о возможности применения концентрационного критерия для различных материалов [8], говорят о высоком уровне начальных несовершенств в исследованных образцах. Низкое значение предразрывной концентра­ ции, получающееся в расчете для материала, не обладающего начальной дефектностью, является результатом принятого предположения об одно­ родности напряженного состояния в неповрежденном материале. В этом случае расчет дает нижнюю границу реального значения предразрывной концентрации для данного материала.

IV. Еще одним важным фактором, влияющим на картину дисперс­ ного накопления дефектов при разрушении, является пластическая де­ формация материала. В рамках изложенной модели учтем пластичность введением сгт — напряжения текучести в элементе, т. е. при достижении напряжения а ^ а т на площадке, лежащей на границе данного дефекта, материал начинает течь и при дальнейшем укрупнении рассматривае­ мого дефекта напряжение в элементах, находящихся на его границе, не превысит стт, т. е. ограничимся моделью идеально упругопластического материала. Введение пластичности уменьшает зависимость предразрыв-

Рис. 6. Влияние начальной концентра­ ции дефектов на вероятности образо­ вания дефекта размера не менее /= 12

1 — Lh,i=3d0, A=3S0; 2 — расчет без учета слияния, а — С= 10“\ образец содержит 1012 элементов; б — С= 10”2, образец содержит 106 элементов. а0= = 100 кгс/мм2.

£t 7. Зависимость предразрывной концентрации дефектов Р от приложенного напря- V = \0 мм3: 1 — начальная концентрация дефектов С=0,01; 2 — без начальной

концентрации дефектов.

^текучести. Lh,i = 3dQt Д= 350, ао=1О0 кгс/мм2. ат=130 (/) и 120 кгс/мм2 (2). *

0Йконцентрации от объема образца и увеличивает размеры разрушаю­ щего дефекта (рис. 9). Два образца одинакового объема, изготовленные й3 материалов, различающихся пределом текучести, будут иметь разную редразрывную концентрацию дефектов и различную долговечность при риложении к обоим одинаковой нагрузки оо. Чем ниже ат, тем выше

редразрывния концентрация и больше долговечность.

v Заключение. Образование макротрещин при одноосном растяжении происходит укрупнением трещины, возникшей из некоторого эпицентра, й слиянием ее с укрупняющимися трещинами, встречающимися на пути ее распространения, причем вклад каждого из этих механизмов зависит оТ свойств материала. Двумя граничными случаями являются образова­ ние макротрещины путем слияния множества практически не укрупняю­ щихся микродефектов — так называемый «очаговый механизм» (4] и ук­ рупнение трещины, образовавшейся из некоторого эпицентра [6, 7, 9]. реализация первого механизма возможна в материалах, обладающих высокой начальной дефектностью или начальной дефектностью и низким пределом текучести. Моделирование вторым механизмом более подходит бездефектным хрупким материалам.

Подтверждается зависимость предразрывной концентрации дефектов: оТ объема испытываемого образца, приложенного напряжения и темпе­ ратуры [14]. Зависимость, более явная для хрупких бездефектных мате­ риалов, уменьшается с появлением начальной дефектности и пластич­ ности, хотя предразрывная концентрация для последних выше.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Болотин В. В. Механика композитных материалов и конструкций из них. —

Вкн.: Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. М., 1972,

с.59—65.

4.Готлиб Ю. Добродумов А. В., Ельяшевич A. M., Светлов Ю. Е. Кооператив­ ная кинетика разрушения твердых полимеров. Очаговый механизм. — Физика тверд, тела, 1973, т. 15, вып. 3, с. 801—809.

5.Lindborg U. A statistical model for the linking of microracks. — Acta metall., 1969, vol. 17, p. 157.

6.Tamuzh V. P., Tikhomirov P. V., Jushanov S. P. The fracture mechanisms of materials having a heterogeneous structure. — In: Proc. Fourth Int. Conf. on Fracture. Waterloo, Canada, 1977, vol. 3, p. 233—240.

7. Тихомиров В. П., Юшанов С. П. Объемное разрушение материалов с неоднород­ ной структурой. — Механика полимеров, 1978, № 3, с. 462—469.

8. Тамуж В. П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных мате­ риалов. Рига, 1978. 294 с.

9. Петров В. А., Орлов А. Н. Статистическая кинетика термоактивированного раз­ рушения. — Физика тверд, тела, 1973, т. 15, вып. 11, с. 3371—3378.

10. Когаев В. П. Оценка распределения долговечности при варьируемых амплиту­ дах методом перемножения стохастических матриц. — Машиноведение, 1967, № 4,

с.72-79.

1Г. Zweben С., Rosen В. W. A statistical theory of material strength with applica­ tion to composite materials. — J. Mech. Phys. Solids, 1970, vol. 18, p. 189—206.

12.Лурье А. И. Теория упругости. M., 1970. 539 с.

13.Журков С. Н., Аббасов С. А. Роль химических и межмолекулярных связей при разрыве полимеров. — Высокомолекуляр. соединения, 1961, т. 3, с. 441—449. '

14.Тамуж В. П., Азарова М. Т., Бондаренко В. М., Гутанс Ю. А., Корабельни-

ков Ю. Г., Пикше П. Э., Силуянов О. Ф. Разрушение однонаправленных углепластиков и реализация в них прочностных свойств волокон. — Механика композит, материалов, 1982, N2 1, с. 34—41.

области 4000—700 см -1. На рис. 2 представлены ИК спектры ПГА волокна и волокна, обработанного компонентами связующего. Базисную линию для спектров всех изучае­ мых полимеров проводили единым способом по поглощению «фона». Относительную оптическую плотность полос поглощения ИК спектров рассчитывали в виде среднего арифметического для четырех параллельных образцов. В качестве внутреннего стан­ дарта использовали полосу поглощения при 1600 см-1, характерную для бензольного кольца. При втором способе из прядильного раствора волокна готовили пленки толщи­ ной ~15 мкм, затем обрабатывали по тому же режиму V компонентами связующего с последующей экстракцией. С приготовленных таким образом пленок снимали ИК спек­ тры на пропускание и многократное нарушенное полное внутреннее отражение с по­ мощью приставки МНПВО-1 на спектрофотометре ИКС-29 (рис. 3). Отметим, что спек­ тры волокна и пленки практически идентичны (см. рис. 2).

В полигетероариленовом волокне может быть два вида водородных связей: межмолекулярная водородная связь

о

и внутримолекулярная

>N H • • • 0 = С < в полимерном волокне. Образование внутримолекуляр­ ной связи маловероятно из-за большой напряженности цикла [6]. По­ лоса 1657 см 1амид I может сдвигаться по частоте при образовании во­ дородных связей. Полосы 1530 см-1 амид II и в области 1250 см-1 амид

Пропускание

Рис. 2. ИК спектры ПГА волокна (/), обработанного ЭД-20 (2), ДЭГ-1 (3),ТЭАТ-1 (4),иполигетероариленовой пленки (5).

1. Перепелкин К. Е., Кудрявцев Г. И. Армирующие химические волокна и компогонные материалы на их основе. — Хим. волокна, 1981, № 5, с. 5— 12.

з г 2. Демина Я. В., Волохина А. В., Дьякова Е. Е., Крючкова Я. Я. Свойства термойких и жаростойких волокон. — Хим. волокна, 1975, № 3, с. 73.

3. Кудрявцев Г. И., Токарев А. В А вр о р о ва Л. В., Константинов В. А. Сверхпроч-

вь1Сокомодульное синтетическое волокно СВМ. — Хим. волокна, 1974, № 6, с. 70—71. ное 4 Дудина JI. А., Алиев А. Д., Джавадян Э. А., Заспинок Г. С., Иванова JI. Л., putt М. И., Чалых А. Е., Розенберг Б. А., Ениколопян Я. С. Влияние диффузии компо- (тов эпоксидных связующих в органические волокна на прочность ор-анопластиков. —

не%. АН СССР, 1981, № 3, с. 670-673.

Д° 5. Каменский М. Г., Молчанов Ю. М., Голубев В. А., Мурашов Б. А., Кульков А. А.

^можности использования метода ИК-спектроскопии для определения процентного со- В^жзния полигетероариленового волокна в органопластиках. — В кн.: XXIV серия На- де^о-технического сборника, М., изд. ЦНИИ инф., 1982, № 45.

характеристики полигетероариленов. — Высокомолекуляр. соединения. Сер. А, 1979,

нЫ|ь № ю, с. 2241—2247.

т- р 7. Романова Г. А., Левитес Л. М„ Шаблыгин М. В., Богданов М. И., КудрявЙГ. И. ИК спектроскопические характеристики термостойких волокнообразующих по-

^ леров. — Хим. волокна, 1980, № 2, с. 27—31.

лИ^ 8. Беллами Л. Инфракрасные спектры сложных молекул. М., 1963. 590 с.

9. Курземниекс А. X., Олдырев П. П., Тамуж В. П., Димитриенко И. П. Влияние луктуры полигетероариленовых волокон на свойства органопластика. — Механика

Зависимость механических и релаксационных свойств эпоксиноволачных полимеров

от температуры

нических характеристик полимера и армирующих волокон и их взаимо­ действие. Согласно [6] между прочностью стеклопластика арп и проч­ ностью стеклянных волокон арв при учете лишь упругих деформаций су­ ществует зависимость

где Единв, ЕДИНп — модули упругости стеклянных волокон и полимер­ ного связующего, а 5 В, Sn — их объемные доли. При этом прочность стеклопластика практически не зависит от природы и прочности поли­ мерной матрицы, что недостаточно хорошо согласуется с эксперимен­ тальными данными [7, 8].

Выражение (1) для прочности, согласно которому разрушающее нап­ ряжение прямо пропорционально динамическому модулю упругости и обратно пропорционально фактору механических потерь, не согласуется с нашими экспериментальными данными по прочности полимерных ма­ териалов в случае наличия неоднородного поля напряжений при их де­ формировании и разрушении (в частности, при изгибе). Анализ пред­ ставленных в таблице данных по изменению разрушающего напряжения при изгибе стРйзг динамического модуля упругости .Един и тангенса угла механических потерь tg 6 исходных и термообработанных образцов эпоксиноволачных полимеров при изменении температуры испытания пока­ зывает, что соотношение (2) не выполняется. Наоборот, в стеклообраз­ ном состоянии (до 150° С) для заданной температуры испытания значе­ ния ар термообработанных образцов тем выше, чем больше величина tg б и чем ниже значение ЕдинЧем интенсивнее молекулярная подвижт ность (в данном случае характеризуемая величиной tg б) в полимере, тем в большей мере снижаются перенапряжения в вершине растущей тре­ щины, что приводит к изменению кинетики процесса разрушения (роста трещин). Тенденция к уменьшению прочности при изгибе с увеличением £дин объясняется уменьшением подвижности кинетических единиц цепей полимера (сегментов) с возрастанием внутри- и межмолекулярного взаи­

£Т^ков на основе ЭДТ-10 и стекловолокон ВМ-1, обработанных разпла ^ аппретами, подтвердило наличие линейной зависимости ар вдоль нь ранения армирования от степени сшивания полимерной матрицы (о на1^ личине качественно судили по значению Ест при 280°С).

еедппрет, наносимый на поверхность стекловолокна, в большой мере ^ef на структуру и свойства-----—окружающей-------- - его— полимерной......— А -----------матрицы,

м ^о м у об эффективности аппрета судили по величине .Един при 280° С UUo й>- Более высокую степень сшивания полимерной матрицы и высо- и п значения сгр имеют стеклопластики на основе других аппретов (А-6 кй? 7), что связано с их высокой реакционной способностью, обеспечи- и й лучшую адгезионную связь поверхности стекловолокна с поли- В 00МПрирода активного аппрета незначительно влияет на упругоме^нОстные свойства стеклопластиков при растяжении. В то же время 11Ринопластики на основе стекловолокон, обработанных парафиност ^ьсионным замасливателем, имеют значительно более низкие проч-

эм^тнь1е характеристики.

но значение температуры области перехода полимерной матрицы стекпЛастиков на основе термопластов обусловлено в основном характе- л°сТиками армирующих волокон. Сравнение расчетных и эксперимен- Р*ных значений ар показывает расхождение между ними: расчетные та^ еция ар значительно превосходят экспериментальные, особенно для ЗНрКлоПЛастиков на основе высокопрочных стекловолокон. Такое рас­ т е н и е можно объяснить дефектностью армирующих волокон и полиматрицы, а также взаимодействием между компонентами стек- ^ ^астика, которое приводит к возникновению граничных слоев,

о£лИчающихся по структуре и свойствам от исходных компонентов ^позиции.

Одним из методов изменения структуры и свойств граничных слоев полИмерной матрицы армированных пластиков является варьирование С0д6ржания активных (гидрофобизирующих) добавок в аппретирующих сосггавах, наносимых на волокно. При малых концентрациях активная бавка выступает как сшивающий агент, при больших она пластифици­

рует полимер.

Таким образом, результаты модельного исследования механических релаксационных свойств эпоксидных полимеров и армированных пласти- £оВ и взаимосвязи их с прочностными свойствами показывают, что изучение влияния различных факторов на процессы релаксации и уста­ новление связи между динамическими вязкоупругими свойствами и струк­ турными параметрами является перспективным и весьма информатив­ ным. Установлено проявление «аномальной» зависимости динамического модули упругости в стеклообразном состоянии от степени сшивания; на степень сшивания и свойства полимера более эффективно влияет содер­ жание отверждающего олигомера по сравнению со временем термообра­ ботки. В стеклообразном состоянии прочность эпоксидных полимеров прИ изгибе тем больше, чем ниже степень сшивания полимера и выше молекулярная подвижность (характеризуемая значением tg 6); в высо­ коэластическом состоянии значение ар больше у более сшитых полиме­ ров, т. е. обнаружена «аномальная» зависимость прочности при изгибе эпоксидных полимеров в стеклообразном состоянии от степени сшива­ ния. В зависимости от режима деформирования наблюдается различное (иногда и противоположное) влияние молекулярной подвижности на прочностные свойства полимеров (в частности при растяжении и изгибе).

Упруго-прочностные характеристики стеклопластиков при растяже­ нии определяются в основном свойствами армирующих волокон и слабо зависят от молекулярной подвижности в полимерной матрице. Для стек­ лопластиков наблюдается значительное расхождение эксперименталь­ ных значений разрушающего напряжения при растяжении и рассчитан­ ных согласно правилу аддитивности значений ар без учета прочностных характеристик полимерной матрицы. Основываясь на температурной за­ висимости динамического модуля и коэффициента механических потерь,

Обобщенная плоская задача. Напряженно-деформированное состояние пластины под действием усилий в срединной плоскости описывается системой уравнений [2]

дули сдвига, характеризующие изменение углов между главными на­ правлениями *1 И Х2, Х\ и х3, х2 и х3.

Куравнениям (1.1) следует добавить краевые условия:

вобобщенных смещениях —

Здесь rf4 jr,2=(?£2 (/=1,2,3); йп, Nn, йи Snt, «з(1), Qn(l) — известные функ­ ции точек границы области dQ; п, t — направления внешней нормали и касательной к <?й соответственно.

Изгиб. При изгибе пластины поперечной распределенной нагрузкой

нормированного состояния пластины ее толщина не изменяется. Одна^° точки сРеДинн°й плоскости после деформации смещаются в сторону

де$ствия усилия q на величину^- «з(2>, т. е. нормальные до деформации

среДинной плоскости элементы с одной стороны сжимаются, а с дру-

ой — растягиваются.

г0 Краевые условия для уравнений (1.3) в общем случае имеют вид: р обобщенных смещениях —

Фикции y„, Mn, yt, Rnt, «3(0). Qn(0), Ыз(2), Qn(2) предполагаются известными, JJ,(,u r<* = a f l ( K 5 16,7).

2. Эквивалентные вариационные задачи. Краевые задачи (1.1), (1.2) и (1.3), (1.4) эквивалентны задачам минимизации следующих квадратйчНЫХ функционалов:

изгиб —

Ы уиу„ и31«,и,<щ~ Я {4°‘ (‘14 + ',|г^г) + 4 Й2(^7 +

содержат производные от перемещений не выше первого порядка. По­ этому координатные функций метода конечных элементов в этом случае должны удовлетворять лишь условию непрерывности на межэлементной

X A~^da\da2.

Заменяя в первом члене линейной части функционала (2.2) функцию а(Хь *2) ее интерполянтом, что, как показано в [7], не влияет на погреш­ ность приближенного решения задачи минимизации, имеем

Я (“3<°>+^«3<2))q {x u x2)dQe=ge™TSMqe,

построения разрешающей системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов необходимо вычислить интегралы в (3.3), (3.4) и (3.5). Довольно простые выражения получаются в случае прямо­ угольных конечных элементов со сторонами а.\ и а2, параллельными коор-

При использований КйаДрЗТйчной аппроШШЗЦйй ДЛй узловых зна­ н и й w a y при п = 1 имеем

полностью совпадает с точным решением. Из сопоставления резуль-

чТО

1 трв, полученных с помощью двух конечноэлементных аппроксимации,

яеДУет>чт0 квадратичная намного эффективнее как с позиций точности,

— -------------------- ----— ------ ----------

та* ц в вычислительном аспекте.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Контактные задачи теории упругих анизотроп-

хоболочек. Киев, 1980. 216 с.

нЫЛ2. Пелех Б. Л., Махницкий Р. Н. Приближенные методы решения задач конценацИИ напряжений возле отверстий в ортотропных пластинах из композитных мате- т^адов. 1. Обобщенные уравнения растяжения и изгиба пластинок из композитных

ат0Р^алов# — Механика композит, материалов, 1980, № 3, с. 463—467.

ма 3. Пелех Б. Л. Концентрация напряжений около отверстий при изгибе трансвер- но-изотропных пластинок. Киев, 1977. 182 с.

с; 4. Рикарде Р. Б. Об оптимальном пространственном армировании стержня, рабо- о1деГ° на устойчивость и колебания. 1. Конечные элементы балки Тимошенко. — Ме­

Львов

Обозначим через N ( T ; $ ) среднее число выбросов (или математичере ожидание числа выбросов) на области S случайного поля о (г) за с сдельную поверхность Г в направлении внешней нормали к ней. Огра­ ничимся рассмотрением высоконадежных систем, так что Л^(Г;5)<с1. В ЙТ0М случае оправдано предположение, что выбросы образуют пуассо- фРсКИй поток событий. Тогда вероятность (1.2) вычисляется по формуле

условие iV(r;S)<Cl позволяет пренебречь вероятностями многократвыбросов за предельную поверхность Г по сравнению с вероят- xoCTt,1° однократного выброса. В результате N(T;S) может быть пред­

ъявлено в виде

к

5)в (1.4) означают среднее число выбросов на области

^компоненты Oi(r) за уровень щ при условии, что остальные k —1 ком-

понейты векторного поля а (г) принимают значения из Qk-i(i). При этом, посйолькУ система высоконадежная, уровень щ можно считать высоким.

Таким образом, в рассматриваемом приближении Л^(Г;5)<1 задача оценки надежности системы сводится к вычислению условных средних чисел выбросов скалярного случайного поля за высокий уровень. Согласн° [6] для расчета среднего числа выбросов скалярного случайного поЛя за достаточно высокий уровень можно использовать формулу (45.47) работы [7]. Обобщим ее применительно к расчету входящих в (j 4) условных средних чисел выбросов. Дополнительно к уже опреде­

среднего числа выбросов на единицу площади области 5 скалярного поля л (г) за высокий уровень щ:

где верхний знак соответствует выбросам «снизу вверх» за положитель­ ный уровень щ, а нижний — выбросам «сверху вниз» за отрицательный уровень щ.

Связь между средним числом выбросов на единице площади области 5 и средним числом выбросов на всей области 5 устанавливается оче­ видным соотношением

Для использования формулы (1.5) в конкретных расчетах необхо­ димо знать совместную плотность распределения /(•§, г). В случае, если а (г) является гауссовским однородным случайным полем, / не за­ висит от г и представляет собой многомерную плотность нормального распределения. При этом она полностью определяется элементами кор­ реляционной матрицы векторов [§, TJW. В свою очередь элементы корре-

характерных прочностей: о**ц = —70-' 107 Н/м2; а*ц = 120-107 Н/м?- о**22= —14,1 • 107 Н/м2; 0*22=4,2-107 Н/м2; 0**,2= —10,5-107 Н/м2; o*i2^ = 10,5-107 Н/м2. Геометрические параметры: h = 5,325-10_3 м; 7?//i = 188; L/R=2, где Л — толщина, L — длина, R — радиус срединной поверх’ ности оболочки.

Компоненты волнового вектора Xmn Для цилиндрической оболочку равны: Кт=пmjL и xn=n/R.

Считаем, что начальные несовершенства оболочки WQ образуют однородное гауссовское случайное поле с нулевым математическим ожиданием. Его спектр дисперсий зададим в виде

Следует отметить, что параметры этого спектра могут оказывать за­ метное влияние на вероятность выброса полей за предельную поверх­ ность. Для задачи о выбросе скалярного поля прогиба за заданный уро­ вень этот вопрос был подробно исследован в [12]. Не останавливаясь на нем в данной работе, примем следующие числовые значения: сто = 0,01Л; т 0=Ло=4; Д7П=Д„=10.

Внешние нагрузки принимаем линейно возрастающими во времени. Соответственно, усилия Таа°, 7^°, входящие в уравнения движения (3.1), запишем в виде

где Р* и q* — эйлеровы значения осевого сжимающего усилия и внеш­ него давления для оболочки с конкретным типом армирования; безраз­ мерное время x=ctj2L\ для всех типов армирования оболочки принима-

В качестве первого примера рассмотрим двухслойную оболочку с укладкой однонаправленных слоев под углами + 0/—0 относительно об­ разующей. Положим Vp=l/2, Уд = 0; величину Р* в (4.2) определим для оболочки с 0= 0. Напряженное состояние в главных осях каждого слоя описывается трехмерным вектором <т(г; () = {ац (г; t), 022 (г; t), <Ji2(r;^)}.

В результате расчетов среднего числа выбросов каждой из компонент поля o(r;t) за соответствующие им уровни было установлено, что при любом фиксированном значении 0е[О°, 90°] в каждом из слоев оболочки среднее число выбросов одной из компонент вектора о (г; t) значительно превышает средние числа выбросов двух других компонент, откуда сле­ дует, что для каждого слоя задача о выбросе трехмерного поля а (г;/) сводится к задаче о выбросе одной из его компонент. При этом в интер­ вале О°<0<45° вероятность выброса за поверхность прочности макси­ мальна на внешней поверхности оболочки, где доминируют выбросы компоненты 022(п 0 33 уровень 0*22', в интервале 45О^ 0 < 6 5 ° вероят­ ность выброса максимальна на внутренней поверхности оболочки, где доминируют выбросы компоненты СТ12(г; ^), а при 65°^0^9О° макси­ мальная вероятность достигается на внешней поверхности, где домини­ руют выбросы компоненты 022(г; t) за уровень 0**22-

Следующие два примера относятся к оболочке, армированной в осе­ вом или в кольцевом направлении, при совместном динамическом нагру­ жении осевым сжатием и внешним давлением. При этом входящие в (4.2) величины Р* и q* определяются в каждом случае для соответст­ вующего типа армирования. Зафиксируем скорость нагружения Vp=l/3 и будем менять значение Vq.

]Сак показали результаты расчетов, во всем указанном на рис. 1 дйазоне изменения Vq вероятность выброса на внутренней поверхности *болочки пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью выброса на

1 зависимостей отношений N\/N2 и N2/N\ от значения Vq видно, что Р ^ствует такой диапазон скоростей нагружения внешним давлением, котором N\ и N2 — величины одного порядка и в котором, следова- ^ ь н о , двухмерную задачу о выбросе нельзя свести к одномерным адзчам. Для количественного определения границ этого диапазона из­

меняя Vq следует ввести некоторую дополнительную числовую харак- ^ристику. В качестве такой характеристики выберем величину е=1 —

г~гтг »гДе N (T\S) определяется по формуле (1.4) при k = 2. ЗаДа-

TV 1“Г /V2

некоторым ео, для каждого рассматриваемого вида армирования ^0жно согласно рис. 2 определить значения Vq, при которых е=^ео для задзнной вероятности выброса. При этих значениях Vq двухмерная задачз сводится к одномерным.

д Зависимости надежности оболочки от безразмерного времени т для рассмотренных трех примеров приведены на рис. 3 и 4*. При этом, в со­ ответствии с результатами проведенного выше анализа, кривые 2 и 5 на р0С. 4 были получены из решения задачи о выбросе двухмерного поля, Р остальные кривые надежности — из решения одномерных задач, д^ожно отметить, что для оболочки с осевым армированием в определен­ ном интервале изменения Vq внешнее давление оказывает подкрепляю­ щей эффект. Объяснить его можно следующим образом. При наложении внешнего давления математическое ожидание растягивающих кольцевЫх напряжений уменьшается, а математическое ожидание сжимающих кольцевых напряжений увеличивается. В то же время согласно рис. 1—a при совместном действии на оболочку осевого сжатия и внешнего дав­ ления выбросы кольцевых напряжений наиболее вероятны. В результате изменение Vq от нуля до некоторого значения V*q приводит к сдвигу кривой надежности вправо по оси т вследствие уменьшения вероятности

* Строго говоря, согласно исходным предположениям, достоверными можно считать лишь те части зависимостей R (т), которые соответствуют 7?, близким к единице.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Болотин В. В. Задачи теории надежности в механике деформируемых твердых

Вкн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М., 1972,

<3-77.

с• 2. Беляев Ю. К. О числе выходов векторного случайного процесса за границу обт1*. — Теория вероятностей и ее применения, 1968, т. 13, вып. 2, с. 333—337.

3. Болотин В. В. О надежности распределенных систем. — В кн.: Тр. Московск. рГет. ин-та, 1970, вып. 74, с. 16—23.

э^ 4. Беляев Ю. К. Распределение максимума случайного поля и его приложение к

^а^ам надежности. — Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1970, № 2, с. 77—84.

5. Болотин В. В. Теория надежности распределенных механических систем. — Изв.

СССР. Механика твердого тела, 1969, № 5, с. 73—81.

Ар 6. Беляев Ю. К Н о ск о В. П., Свешников А. А. Вероятностные характеристики вы-

псов двумерного случайного поля. — Теория вероятностей и математическая статис­ т а , 1972, вып. 7, с. 24—31.

'7. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М.,

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1983, № 1, с. 9 0 -9 4

УДК 624.074.4:678:539.312

А. Г. Федоренко, В. И. Цыпкин, А. Г Иванов, В. Н. Русак, С. Н. Заикин

ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕКЛОПЛАСТИКОВЫХ

ОБОЛОЧЕК ПРИ ВНУТРЕННЕМ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ

Перспективность применения стеклопластиков в конструкциях, в том числе крупногабаритных, подвергающихся экстремальным импульсным нагрузкам, установлена экспериментально [1, 2]. В ряде случаев необхо­ димо обеспечить максимальную несущую способность оболочки при внутреннем импульсном нагружении, что требует изучения причин, огра­ ничивающих ее прочность. Так, в работе [2] при внутреннем взрывном нагружении свободных цилиндрических стеклопластиковых оболочек было обнаружено, что их несущая способность ограничивается динами­ ческими деформациями сжатия в колебательном процессе, т. е. резерв прочности используется неполностью. Целью настоящей работы явля­ лось исследование причин этого явления и особенностей динамической деформации стеклопластиковых оболочек при взрывном нагружении.

Исследовались деформация и разрушение свободных цилиндрических стеклоплас­ тиковых оболочек при однократном внутреннем взрывном нагружении. Постановка экс­ перимента и методы регистрации подробно описаны в [2] (в геометрическом центре обо­ лочки подрывался сферический заряд из ТГ-50/50 массой т). Разрушение (образование хотя бы одной сквозной трещины) в ходе колебаний и его характер (количество сквоз­ ных трещин и их предвестников) устанавливались по прорыву продуктов взрыва, обры­ вам тензодатчиков и внешним осмотром после опыта. В опытах использовали два типа оболочек из стеклопластика на основе ткани (аналогичного описанному в [2]) с одина­ ковым внутренним радиусом R = 100 мм, толщиной 6= 16 мм, длиной L=400 мм (I тип) и 6= 5 мм, L= 240 мм (II тип).

Определяли максимальные кольцевые деформации оболочек в центральном сечении ej и в сечениях на расстоянии 100 мм (ег) и 180 мм (ез), а также соответствующие пе­ риоды радиальных колебаний Гь Т2 и Г3. В центральной области оболочек определяли

также максимальную меридиональную деформацию е4 (тензодатчиком с базой 75 мм) и периоды основного тона и биений при двухчастотном спектре продольных колебаний (Т'\,Т"а). Погрешность определения указанных величин не превышала 10%.

Исходные данные и результаты опытов приведены в таблице (отно­ сительная масса заряда взрывного вещества (ВВ) £ — отношение массы заряда к массе оболочки длиной 4/?). Типичная осциллограмма кольце­

вых и меридиональных деформаций в центральной области оболочки приведена на рис. 1.

Анализ результатов экспериментов показал следующее.

1.Разрушение оболочек (образование трещин) начинается в про­

нии», т. е. более светлых, чем до опыта, областей оболочки, образую­

как (как будет показано ниже) основная импульсная нагрузка сосредо-

дом энергии колебаний в изгибную форму, о чем свидетельствуют отме­ ченные особенности разрушения. Так, согласно анализу колебаний упру­ гой цилиндрической оболочки, нагруженной направленным к оси сим­ метрии радиальным импульсом, проведенному в [3] при использовании нелинейной теории тонких оболочек без учета инерции вращения и сдвига, наиболее сильно возбуждается изгибная форма с частотой, рав­ ной или близкой половине частоты осесимметричных колебаний. При этом на гребнях изгибных волн максимальные напряжения согласно [3] могут превысить максимальные напряжения от осесимметричных колеба­ ний примерно в 2,5 раза, если энергия радиальных колебаний полностью перейдет в изгибную форму.

Для оценки критического числа волн N по длине окружности при 6//?<С0,1 можно воспользоваться уравнением [3]

Округляя решение до ближайшего целого, для оболочек I и II типов со­ ответственно получим N=4 и N =6.

Очевидно, что число меридиональных трещин должно быть вдвое больше числа изгибных волн, т. е. 8 и 12, как и наблюдается в нашем эксперименте. Аналогичный тип разрушения наблюдался в [4] при нагру­ жении колец из фенольного текстолита осесимметричным импульсом, направленным к центру.

2. Полное разрушение оболочек (вырыв части оболочки) наблюда­ ется при существенно больших значениях удельных нагрузок (£) и де­ формаций и происходит в 1-й фазе растяжения (опыт 7), при этом зона разрушения не превышает диаметра оболочки даже при заведомо разру­ шающей нагрузке (опыт 8). Такой характер разрушения связан с рас­ пределением импульсной нагрузки по оболочке при взрыве сферического заряда.

Экспериментальное распределение максимальных кольцевых дефор­ маций по длине образующей оболочки удовлетворительно согласуется с распределением потока удельного импульса продуктов взрыва заряда в

Ра/?3

= -j^-уз ; ро, ра — плотность взрывчатого вещества заряда и заполняю­

щей оболочку газовой среды (воздуха); г0 — радиус заряда. Из рис. 3 следует, что основную долю радиального им­ пульса оболочка получает в области *<С/?, со­ ответствующей наблюдаемой в эксперименте зоне полного разрушения.

Рис. 3. Относительное^распределение потока удельного нормального импульса in и максимальных кольцевых де­

3- Радиальные колебания в различных сечениях оболочки происходят -и^ерно с одинаковой частотой /=6,25 кГц (см. табл.) с запаздываjieivi фазы колебаний, близким к оцениваемому (исходя из эксперимен­ тальных данных [6] о величине скорости фронта сферической ударной ^дцы) запаздыванию прихода этого фронта в соответствующее сечение водочки. Нагружение, вызывающее такую реакцию оболочки, как ука- °^в0лось в [2], может быть отнесено к нагружению типа короткого удара ^радиальный импульс сообщается кольцевым элементам оболочки за дрел*я меньше 1/4 периода колебаний).

w Характер динамической реакции оболочки в виде как бы независиь1Х радиальных колебаний кольцевых элементов оболочки с одинакорй частотой, но с разными амплитудами, указывает на затрудненность Процесса меридионального переноса упругой энергии радиальных коле5рнИЙ оболочки. Этот результат качественно близок к данным работы ryi ^ которой приведен расчетный анализ реакции цилиндрической обо- ^рч^и из многослойного композита (один край защемлен, другой — сво­ боден) на действие мгновенно приложенного постоянного внутреннего деления. В данной работе в частности получено, что зона распростра­ нения динамических краевых эффектов не превышает 20% длины оболочКИ.

4. Амплитуда меридиональных деформаций в центральном сечении ободочки e^ существенно ниже амплитуды соответствующих кольцевых деформаций ei (см. табл.). Временная зависимость 64(t) имеет вид биеднй, противофазных слабовыраженным биениям кольцевых деформаций (смРис- 1). и состоит для оболочек I типа из частот fi«6,25 кГц (ос­ новной тон) и /2« 7,96 кГц (близкая частота, вызывающая биения). Час­ тоты /1и /2 определяются из известных уравнений, связывающих Т\, Т"л,

ь » к - т"“ W ' r ' - r

Анализ колебаний оболочки позволяет в упрощающих предположе­ ниях оценить основные упругие константы стеклопластика. Если при­ нять, что радиальные колебания оболочки (/=6,25 кГц) совершаются с частотой соответствующего свободного кольца, а продольные (относи­ тельно центрального сечения, /2= 7,96 кГц) — с низшей частотой про­ дольных колебаний соответствующего стержня, то модули упругости будут: в окружном направлении £„«3,3* 104 МПа, в меридиональном направлении £*= 1,9 • 104 МПа, что удовлетворительно согласуется со значениями статических модулей для подобного материала (Еу= =2,9 • 104 МПа; £*=2,1 • 104 МПа [8]) и результатом работы [1], показав­ шим слабое влияние скорости деформации на модуль упругости стек­ лопластика. Оцененные из анализа колебаний оболочки коэффициенты Пуассона составляют: p,„K«0,21, цхи^0,12 (по данным [8] — |%с«0,18, p*j/^0,13).

5. Логарифмический декремент затухания радиальных колебаний оболочки (при ei -—'1 %, см. рис. 1) равен -—'0,05. Анализ тензограмм опи­ санных в [2] опытов по многократному нагружению аналогичной обо­ лочки при уровне деформаций ~ 1% показывает увеличение логарифми­ ческого декремента затухания при 20-м нагружении до ~0,4, что свидетельствует о сравнительно низкой усталостной прочности стекло­ пластика при данном уровне динамических деформаций (согласно [2] разрушение оболочки реализуется при 23-м нагружении).

Таким образом, выполненные исследования показывают, что сниже­ ние несущей способности свободных стеклопластиковых оболочек при однократном внутреннем импульсном нагружении вызвано динамиче­ ской потерей устойчивости радиальных колебаний и относительная тол­ щина оболочки является существенным параметром, влияющим на ее динамическую прочность. При нагружении цилиндрической оболочки взрывом сферического заряда основная импульсная нагрузка сосредото­ чена в зоне протяженностью не более диаметра оболочки.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Рыжанский В. А., Минеев В. И., Иванов А. ГШитов А. Т., Зыков А. П. Разру­

шение цилиндрических стеклоэпоксидных оболочек, заполненных водой, при внутреннем импульсном нагружении. — Механика полимеров, 1978, № 2, ,с. 283—289.

2. Цыпкин В. И., Русак В. Н., Шитов А. Т., Иванов А. Г. Деформация и разрушение цилиндрических оболочек из стеклоэпоксида при внутреннем импульсном нагружении. — Механика композит, материалов, 1981, № 2, с. 249—255.

3. Гудьер Дж. И., Макайвор И. К. Упругая цилиндрическая оболочка под действием радиального импульса, близкого к равномерному. — Прикл. механика (США), 1964,

№2, с. 111—119.

4.Линдберг Г. Повышение напряжений в кольце при динамической потере устойчи­ вости. — В кн.: Механика. Сер. 8, М., 1976, с. 25—50.

5.Баум Ф. А., Орленко Л. П., Станюкович К. П., Челышев В. П., Шехтер Б. И.

Физика взрыва. 2-е изд. М., 1975. 704 с.

6. Адушкин В. В. О формировании ударной волны и разлете продуктов взрыва в

воздухе. — Журн. прикл. механики и техн. физики, 1963, № 5, с. 107—114.

7. Сухова Л. Н. Особенности поведения многослойных анизотропных цилиндриче­

ских оболочек при осесимметричном динамическом нагружении. — В кн.: Тр. МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1980, № 342, с. 31—39 (М.).

8. Ашкенази Е. /С, Ганов Э. В. Анизотропия конструкционных материалов. Спра­