УДК 539.4:678.067
С. И. Зайцев, А. А. Маляренко
МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТА С ХРУПКИМ ВОЛОКНОМ
Анализ процесса разрушения высокопрочных композитных материа лов затруднен случайностью расположения и возникновения обрывов армирующих элементов и сложным распределением внутренних напря жений. Поэтому для анализа процесса разрушения приходится привле кать методы математического моделирования [1, 2]. С другой стороны, разрушение композита все же проще для непосредственного моделиро вания, чем процесс разрушения однородного материала, так как можно считать заранее, что нарушение сплошности происходит в дефектных местах на волокнах, и сформулировать критерий разрушения композита, опираясь только на анализ пространственного расположения обрывов волокон.
В[1] предлагается способ стохастического моделирования магист ральной трещины. Тело трактуется как система, состоящая из дискрет ного (необязательно конечного) числа элементов. Магистральная тре щина распространяется в теле, выбирая путь среди слабейших или по врежденных элементов. Непосредственная реализация разработанных в
[1]моделей на ЭВМ не удается из-за огромного числа возможных состоя ний системы.
Вработе [2] предложен более эффективный способ моделирования
процессов разрушения волокнистых композитов. Такой метод позволяет получить обширную информацию о процессах разрушения композита. Однако в модели [2] не учитывается случайность расположения дефект ных мест (зародышей обрывов) вдоль волокон. Модель построена для изучения свойств композитов с регулярной укладкой, и возможно только приближенное исследование последствий отклонения от регу лярности расположения волокон.
Возражения вызывает также способ расчета перераспределения на грузки волокон при появлении обрывов. Нагрузка от обрыва распреде ляется на два пояса ближайших волокон [2]. В дальнейшем, когда среди ближайших волокон появляются обрывы, расчет перегрузки становится приближенным и даже неверным. Например, в случае надреза компо зита вся нагрузка от пересеченных надрезом волокон сосредоточится в двух поясах. Это не соответствует действительности, так как в случае надреза должно возникать распределение напряжений, схожее с распре делением напряжений от трещины. Поле напряжения трещины является достаточно протяженным и заведомо перекрывает два пояса.
В настоящей работе предлагается модель, в которой не накладыва ется ограничений на расположение дефектов и волокон в однонаправлен ном композите. Процедура пересчета нагрузки позволяет моделировать
разрушение композита с надрезом.
Рассмотрим однонаправленный волокнистый композитный образец в виде прямоугольного параллелепипеда размерами L X X L 2 X L 3 (рис. 1). Координаты i-го волокна обозначим Хи Yi (te[l,Af]) (N — число воло кон). Предположим, что на каждом волокне находится N{ дефектов, ко ординаты которых Zia (а е [1 ,Ni]), и Ki обрывов с координатами и,-р (|3&[1,/(*]). В модели предполагается, что волокно может оборваться только в местах дефектов по достижении некоторого напряжения а,а. Напряжение а,а является случайной величиной с некоторой функцией
В сечении 2 полная нагрузка должна равняться No. С учетом (1), (3) и. (4) получим
У , / [ ^ ( 2 ) ] + |
^ |
[а+Д аД г)]=М т. |
ieQ (z) |
j<= IN *) |
|
Здесь П ( г ) = 0 —Q(z), где 0 — множество всех волокон в образце, т. е.
^ / [ ^ ( 2 ) ] + |
[a+ACTj(z)]= |
У , |
g+ У , а . |
J ( E O ( z ) |
je=IIU) |
jeQ(z) |
je=n(z) |
Объединим суммирование по множеству П (г):
У. f [ V j ( z ) ] + |
|
[ o - a + A O j { z ) ] = ^ |
a. |
JeQ(z) |
J'eri(z) |
ieO(z) |
|
Объединим суммирование по множеству Q(z) и подставим До» (г) из (4):
ien(z) |
ieO(z)X'Aaij(Z)=ИieQ(z) |
|
|
Y J |
|
["-/W )]- |
|
Переменив порядок суммирования, можно записать |
|
||
»eO(z) |
|
А® «(г)-[а-/(^)] }= 0 ; |
(5) |
jen(z) |
|
||
условие (5) выполняется, если |
|
|
|
|
£ |
Ac<j(z)-e-H>'j). |
(6) |
|
ien(z) |
|
|
Равенство (6) говорит о том, |
что перегрузка от обрывов на волокнах из множества |
||
й(г) передается только на волокна |
из множества П(г). |
|
|
Применив формулу (2) для подсчета добавочного напряжения, получим |
|
||
£<Р(П})А} (о-ЦУ>Ш =°Ч[У1(г)].
Перенесем все в левую часть равенства: |
|
|
{оЧ[УЛг)]) |
( |
AJ |
= 0. |
•еШО <P(nj)
Из этого уравнения получаем условие для нахождения коэффициентов Aj, будем на зывать их коэффициентами перегрузки, —
£ ^ ( п ,) |
(7) |
* е П (г )
Для построения расчетной модели нужно задать вид функции <р(г^). На расстояниях от обрыва г много больших, чем среднее расстояние между волокнами, можно считать материал анизотропной однородной средой. На этих расстояниях возмущение, которое порождает наличие обрыва, можно считать возмущением от точечного диполя двух сил F = ± o n D 2/4, приложенных в точке обрыва. Все компоненты тензора нап ряжений, возникающих от действия диполя, уменьшаются пропорцио нально 1/г3. Наличие анизотропии изменяет только угловую зависимость напряжений.
Таким образом, на больших расстояниях от обрыва можно задать функцию <p(/*ij) в виде ср (гг;) = гг/ . Эта же зависимость в качестве нуле
вого приближения экстраполируется и на расстояния порядка среднего
расстояния между волокнами. |
прочности |
|
Необходимо также задаться функцией распределения г (о) |
||
дефектов. Можно показать, что, если |
|
|
a LCJP |
|
|
~М Г |
|
|
а д - |
(8) |
|
1 |
||
|
||
то распределение прочности волокон длиной L подчиняется распределе- |
||
нию Вейбулла |
(9) |
|
FL(o) = l- e x p (- a L o *) |
||
с ошибкой, равной ехр( —No), где No — полное число дефектов длины L. Так как N0 всегда достаточно велико, то параметры а и р в (8) всегда можно найти по экспериментально измеряемым величинам средней проч ности волокон длиной L, <а/> и коэффициента вариации прочности к из соотношений, справедливых для распределения (9):
<о/>= (aL)” 1/pr ( l + l / p ) ; х = [Г (1+2/р) - Г2 (1 + 1/р) ] ^/Г (1 + 1/р),
где Т(х) — гамма-функция.
Блок-схема программы, реализующей описанную модель, приведена на рис. 3. В блоке «Начало» проводятся все необходимые подготовитель ные операции, подготовка массивов памяти, «разбрасывание» координат центров волокон, размещение дефектов на волокнах, задание их проч ности в соответствии с (8). В расчетах осуществлены два вида укладки волокон — случайная и укладка по узлам квадратной сетки. При необ ходимости можно задать любой другой вид упаковки волокон.
Счет происходит следующим образом. Среди дефектов находится са мый слабый; поиск таких дефектов осуществляет блок «Поиск». Если такой дефект найдем, то происходит повышение напряжения на вели чину, обеспечивающую разрыв этого дефекта, и найденный дефект пере ходит в категорию обрывов.
Далее происходит пересчет напряжений на всех дефектах в блоке «Перегрузка». Процедура «Коэффициент» вычисляет коэффициенты по формулам (7), а процедура «Напряжение» пересчитывает усилия на де фектных местах по формулам (4) с учетом (1), (2).
В блоке «Связь» проверяется, нет ли таких дефектов, усилия на ко торых после пересчета превышают величину их прочности. Если таких дефектов нет, то мы снова приходим в блок «Поиск» и находим новый слабейший дефект, повышая затем соответствующим образом нап ряжение в образце. При достижении опреде ленного уровня напряжений обрывы начинают появляться только за счет перегрузки от уже
имеющихся обрывов.
После каждого обрыва в блоке «Критерий» проверяется условие на разрушение образца. Образец считается разрушившимся, если воз
никает слой толщиной 2/с, в котором оборваны все волокна.
Рис. 3. Блок-схема прог раммы.
Единицами измерения длины п напряжения были выбраны соответственно D п тт .
По описанной выше программе были прове дены расчеты прочности волокон для различ
ных объемных додей Vf и проделано сравнение с экспериментальными данными по прочности бороалюминия [4].
В расчетах получается безразмерная величина прочности композита; чтобы сравнить эту величину с экспериментальными данными, нужно знать величину напряжения связи на границе раздела волокна и мат рицы тт . Определим ее из сравнения с экспериментом для малых Vf.
Примем для расчета прочности композита обычное «правило смесей» o*c = o*fVf + o*m{l —Vf), где o*f — прочность, найденная в численном экс перименте; о*т — прочность матрицы на растяжение, полученная в экс перименте. Сравнение экспериментальных и расчетных величин приве дено на рис. 4. Для экспериментальных данных имеем [4] <<т/> = = 250 кгс/мм2; (3 = 6; 0^ = 46,6 кгс/мм2. В численном эксперименте были приняты <<т/> = 300 кгс/мм2, р= 7, L1 = 10Z); L2 = 30D. Расчетная зависи мость предела прочности композита от объемной доли волокон (кривая
I)хорошо совпадает с экспериментом при т7П= 5 кгс/мм2. Экспериментальные точки показывают, что в районе V/ = 0,3 имеется
некоторое падение прочности композита, в то время как кривая 1 дает приблизительно линейный рост предела прочности. Несовпадение при Vf = 0,3 объясняется, по-видимому, тем, что в расчетной модели функция перегрузки ср(г) была взята в виде <р(г) = г 3 для всех расстояний.
Сравнение с экспериментом наталкивает на мысль о том, что при 1//>0,3 перегрузка от появляющихся обрывов передается в основном на ближайшие волокна. Для этого при расстояниях порядка среднего расстояния между волокнами необходимо существенно усилить функцию ср(г). Были проведены дополнительные расчеты предела прочности (кри вая 2 рис. 4). Для этого случая было принято
Оказалось, что R* управляет значением К/, при котором происходит па дение прочности. Величина k определяет глубину падения прочности, причем при увеличении k глубина падения имеет тенденцию к насыще
нию. Кривая 2 соответствует |
R* = 4D |
и &=14. Отметим, что значение |
R* = 4D приблизительно совпадает с |
величиной среднего расстояния |
|
между волокнами D^/n/Vf для |
0,3. |
|
А - 1
0-2
Рис. 4. Сравнение экспериментальных и расчетных данных по прочности бороалюминия: 1 (Д) — расчет для регулярной укладки волокон; 2 (V ), 3 (□ ) — расчет при R* = 0 и при R*/D = 4; 4 (О) — эксперимент.
Рис. 5. Прочность образцов с надрезом в |
зависимости от Vf. 1 (А ) — эксперимент; |
2 (□ ) |
— расчет. |
Такой вид функции <р(г) перегрузки дает уже хорошее совпадение
расчета и эксперимента.
На рис. 4 изображена также зависимость предела прочности от Vf для композита с регулярной укладкой волокон (кривая 3). Сравнение с кривой 2, которая была получена для случайной укладки, показывает, что в композите с регулярной укладкой лучше реализуются прочностные свойства волокон при У/>0,3. Это, по-видимому, связано с более одно родной догрузкой волокон, окружающих обрыв.
Предлагаемая модель позволяет исследовать процесс разрушения композита при наличии в нем макродефектов. Макродсфскт моделиру ется предварительным заданием системы обрывов. Так, в частности, об разец с надрезом моделируется заданием обрывов в плоскости z = L3/2 на всех волокнах, для которых T/^L2/2. Образцы с надрезом использу ются при изучении работы разрушения композитов [5]. После задания системы обрывов расчет ведется по изложенному выше алгоритму. На рис. 5 проведено сравнение результатов расчета прочности композита с надрезом с экспериментальными данными для бороалюминия [5]. При
расчете использовались следующие |
значения параметров: |
<сг(> = |
= 300 кгс/мм2, р= 7; R* = 4D; k=\4 . В |
эксперименте: <а/> = 280 |
кгс/мм2, |
Р = 5 (х = 0,29). Сравнение показывает, что имеется хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных при тт = 4 кгс/мм2.
Если обработать эти данные по методике, применяющейся для рас чета работы разрушения однородных материалов [61, то обнаружится, что работа разрушения композита возрастает с увеличением Vf. Этот факт согласуется с экспериментальными наблюдениями [5].
Выводы. 1. Создана математическая модель процесса разрушения композита с хрупким волокном. Модель допускает произвольную геомет рию расположения волокон и дефектов.
2.Прочность и другие характеристики композита можно рассчиты вать в зависимости от объемной доли, качества укладки волокон, пара метров функции распределения прочности волокон.
3.Проведено сравнение с результатами испытаний однородных (гладких) образцов и образцов с надрезом. Как и в эксперименте, проч
ность композита увеличивается с ростом Vf. Наблюдается падение проч ности в районе Vftt0,3. Регулярная укладка улучшает прочностные свойства композита. Таким образом, модель адекватно описывает про цесс разрушения композита.
4. В результате сравнения получено значение прочности связи на гра нице волокна и матрицы тт жЬ кгс/мм2, что значительно меньше предела прочности матрицы на сдвиг от /2= 21,3 кгс/мм2.
В заключение выражаем благодарность С. Т. Милейко и Н. М. Соро кину за полезные обсуждения.
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Болотин В. В. Стохастическая модель распространения магистральной трещины в композитных материалах. — В кн.: Тр. МЭИ, 1970, вып. 17, с. 99— 114.
2.Копьев И. М., Овчинский А. С. Разрушение металлов, армированных волокнами. М., 1977. 238 с.
3.Келли А. Высокопрочные материалы. М., 1976. 157 с.
4.Милейко С. Т., Сорокин Н. М., Цирлин А. М. Прочность бороалюминия — компо зита с хрупким волокном. — Механика полимеров, 1973, № 5, с. 840—845.
5.Милейко С. Т., Сорокин И. М., Цирлин А. М. Распространение трещины в бороалюминиевом композите. — Механика полимеров, 1976, № 6, с. 1010—1017.
6.Браун У., Строули Дж. Испытания высокопрочных металлических материалов на вязкость разрушения при плоской деформации. М., 1972, с. 25.
Институт физики твердого тела АН СССР, |
Поступило в редакцию 23.04.81 |
Московская обл. |
|