МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 1, с. 77—84

УДК 624.074.001:678.067

В . А. Лазько

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НАЛИЧИИ ЗОН НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА СЛОЕВ

2\ ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ОРТОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ РАЗРЫВНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА

В [1] сформулирован вариационный принцип для слоистых анизотроп­ ных систем при наличии зон разрыва перемещений на границе раздела. Используем этот результат для корректного вывода двухмерных урав­ нений состояния слоистых ортотропных оболочек.

1. Представление компонент напряженно-деформированного состоя­ ния. Используем для сведения трехмерной задачи теории слоистых ани­ зотропных систем [и к двухмерной задаче теории слоистых оболочек представление компонент напряженно-деформированного состояния в виде рядов по полиномам Лежандра. Этот метод в различной форме ис­ пользовался многими авторами |2—5]. Следуя результату об аппрокси­ мации функции полиномами Лежандра при известных граничных значе­ ниях ее производной [5], перемещения и напряжения у-го слоя предста­ вим конечными рядами вида

Соответствующее (1.1) и (1.2) приближение задачи будем называть

(т , п)-приближением.

Компоненты тензора деформации представим следующим образом:

* Сообщение 1 см. [1].

Для компонент объемной силы примем

т

F«U>= Y i ^ P - ' FahU)Ph{zU))

А-О

2. Построение двухмерного функционала. Предположим, что каждый из слоев представляет собой тонкую оболочку, для которой справедливы равенства

Ha(»~A a(j) (a=^p) .

Используя (1.1) — (1.4), проинтегрируем трехмерный функционал [1] в пределах от —ДО до ДО , приведя его к двухмерному. Используем при этом преобразования типа

2 = 0,2,...

В формуле (2.1) Э0О — удельная энергия деформации /-го анизотроп­ ного слоя, которая в случае ортотропии материала записывается в виде

т

( l - v ep«)vpa«>)£^)

E zd>= -

* * -----1 - W « v * « ’ ~ Ё Г (“ ~ w -

Ea^\ £p(i), Ezm — модули упругости для главных направлений ортотропии, которые мы принимаем совпадающими с направлениями координат­ ных осей; GpzW, Gaza), Ga^j) — модули сдвига, характеризующие измене­ ния углов между главными направлениями (№’) и z ^ \ a w> и z ^ \ и ро*>; vap(j), vpa(j), Vaz(j), vpz(j), vza0), vzp(j) — коэффициенты Пуассона, характери­ зующие поперечные изменения; поверхностные интегралы вычисляются по области, занимаемой срединной поверхностью слоя, контурные ин­ тегралы — по границам этой поверхности.

3. Вывод основных соотношений. Как и в трехмерном случае [1], для функционала (2.1) справедлива аналогичная теорема. Из нее следуют

обобщенных усилий и перемещений, исключив компоненты обобщенных деформаций, а также перемещения точек граничных поверхностей слоев, использовав при этом граничные условия для напряжений на поверх­ ностях слоев.

Запишем основные соотношения (выкладки из-за громоздкости опу­

На краю оболочки должны выполняться следующие граничные условия:

—► —>■

N o a h 1» COS (n , a (j)) + N a (ihU) COS (n , p № ) = p a k(i)

(a=^P ; £ = 0 ,1 ,... , m; / = 1, 2 , ... , N);

N a z k U) COS (rt, a0>) + N pZkU) cos (n , p<>>) = p2h<-'>

(£ = 0 ,1 ,..., n; / = 1 ,2 ,----TV);

«aft(j) = «ah(j) (a=^P ; £ = 0,1........ nr, / = 1 ,2 ,..., Af); = «2,t0) (£ = 0 ,1 ,..., n; / = 1 ,2 , ... , IV).

На поверхностях контакта имеем:

а) в зонах идеального контакта подлежат определению все три со­ ставляющие вектора контактных напряжений; для перемещений выпол­ няются условия

ИаО) = « * « + • > ( а ч ± Р ) ; н 2(') = и 2(Ж ) ( / = 1, 2 , . . . , N - 1 ) ;

б) в зонах неидеального контакта касательные напряжения известны и могут задаваться произвольно; тангенциальные составляющие пере­ мещений терпят разрыв (между слоями может происходить скольже­ ние); для нормальных составляющих перемещений выполняется условие

Если условие (3.3) не выполняется, то в зонах S ew+1) имеет место от­

липание слоев.

В (3.1), (3.2) принято m0=m ; m i=m — 1, если т — четное; т 0= т —1;

( a ^ P ) ;

Выражения для перемещений точек граничных поверхностей слоев за­ пишутся [5]:

Таким образом, получены основные соотношения для слоистых ортотропных оболочек произвольного (т , п) -приближения. При решении конкретных задач для каждого слоя может быть выбрано такое прибли­ жение, уравнения которого наиболее полно отражали бы специфику его механического поведения.

В [5] приведены уравнения приближения ( т = п + \,п ) при л = 0 ,1,2 для однослойных оболочек. Уравнения трансверсально-изотропных плас­ тин приближения т = 1 , п =2 получены в [6].

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Лазько В. А. Напряженно-деформированное состояние слоистых анизотропных оболочек .при наличии зон неидеалыюго контакта слоев. 1 . Вариационный принцип тео­ рии упругих слоистых анизотропных систем при наличии зон неидеалыюго контакта. —

Механика композитных материалов, 1981, № 5, с. 832—836.

2 . Векуа И. Н. Теория оболочек переменной толщины. Тбилиси, 1955. 103 с.

3.Калекин О. Ю. Применение полуобратного метода к исследованию симметрично нагруженных оболочек вращения средней толщины. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, канд. техн. наук. Харьков, 1967. 28 с.

4.Понятовский В. В. К теории изгиба анизотропных пластинок. — Прикл. матема­ тика и механика, 1964, т. 28, N° 6, с. 1033—1040.

5.Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Контактные задачи теории упругих анизотроп­ ных оболочек. Киев, 1980. 214 с.

6 . Пелех Б. Л., Лазько В. А. Напряженно-деформированное состояние трансвер­ сально-изотропных пластин, слабо сопротивляющихся поперечным деформациям. — Докл. АН УкрССР. Сер. А, 1976, N° 7, с. 639—642.