- •АКАДЕМИЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР
- •механика
- •материалов
- •СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ, ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ*
- •const3
- •КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ В ВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ
- •РАЗРУШЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ УГЛЕПЛАСТИКОВ И РЕАЛИЗАЦИЯ В НИХ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ВОЛОКОН
- •УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХ волокон В МАТРИЦЕ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДОКРИТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
- •РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ВОЛН СДВИГА В ОРТОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
- •УСТАНОВКА ДЛЯ ИСПЫТАНИЯ КОМПОЗИТОВ ПРИ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
- •МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТА С ХРУПКИМ ВОЛОКНОМ
- •ОБ ОЦЕНКЕ АНИЗОТРОПИИ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ТЕРМОУПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ЛОКАЛЬНО НАГРЕВАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ СЛОИСТОГО МАТЕРИАЛА
- •НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НАЛИЧИИ ЗОН НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА СЛОЕВ
- •ОПТИМАЛЬНАЯ ВРАЩАЮЩАЯСЯ ОБОЛОЧКА ИЗ КОМПОЗИТА, НАПОЛНЕННАЯ ЖИДКОСТЬЮ
- •МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАПАНО-АОРТАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА ЧЕЛОВЕКА
- •ИССЛЕДОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МИОКАРДИАЛЬНОЙ ТКАНИ
- •шшшпттд
- •Кинетические уравнения. В нашем случае кинетические уравнения
- •СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРОВ УЛЬТРАЗВУКОВОГО И ОБЫЧНОГО РЕЗАНИЯ МЯГКИХ ТКАНЕЙ
- •ДИАГНОСТИРОВАНИЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ГИБРИДНОГО КОМПОЗИТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕХАНИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
- •ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДАМИ СПЕКЛ-ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ
- •ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ И ЭФФЕКТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ
- •ВОПРОСЫ ЗАИМСТВОВАНИЯ
- •ТЕРМИНОВ И ТЕРМИНОЭЛЕМЕНТОВ
- •ТЕПЛОФИЗИКА ПОЛИМЕРОВ
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, М 1, с. 73—76
УДК 624.075.001:678.067
В. И. Прыймак
ТЕРМОУПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ЛОКАЛЬНО НАГРЕВАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ СЛОИСТОГО МАТЕРИАЛА
Важным классом композитных материалов являются армированные слоистые материалы. Расчет на прочность элементов конструкций, изго товленных из таких материалов, — весьма сложная проблема в меха нике композитных материалов. Эта сложность обусловливается и тем, что во многих случаях приходится учитывать воздействие на конструк цию различных факторов, в том числе и температурных полей.
В работе [1] показано, что определение термоупругого поля в теле из слоистого материала можно проводить, принимая композитный мате риал как анизотропный с некоторыми эквивалентными теплофизиче скими и механическими характеристиками. Используя данный подход, в работе [2] исследовано влияние теплоотдачи в локально нагреваемой по кольцевой области пластине из слоистого материала на ее термоупругое равновесие. Вместе с тем на практике широко применяются элементы конструкций с круговой областью нагрева. Для создания более полной и правильной картины термонапряжений в теле необходим анализ влия ния как теплоотдачи, так и свойств составляющих компонентов и их от носительного содержания на термоупругое равновесие пластины.
Рассмотрим бесконечную пластину толщиной 26, отнесенную к ци линдрической системе координат (г, ф, z), выполненную из композитного материала, состоящего из чередующихся вдоль полярного радиуса г уп ругих слоев двух типов с различными упругими и теплофизическими характеристиками. Пластина подвергается двухстороннему нагреву по круговым областям ( R < б) поверхностей z = ± 6 внешней средой температуры /0 = const. Температура внешней среды вне области нагрева предполагается равной нулю. Через поверхности z = ± 8 пластины осу ществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. На беско нечности температура пластины стремится к нулю. Необходимо опреде лить термонапряженное состояние пластины.
Принимая материал пластины анизотропным [1] (в данном случае с цилиндрической анизотропией), определим сначала температурное поле в пластинке, вызываемое заданным двухсторонним локальным нагревом. Для этого необходимо решить уравнение теплопроводности [3]
|
AT - W + |
Ы |
—K\2)S-(R —r ) ] T = —Ko2t0S - (R - г), |
(1) |
где д = |
- 4 - ; х;2 = л°Ч |
(/ = 0,1); К — коэффициент теплопроводности |
||
dr2 |
г dr |
Аго |
|
|
в направлении г; а 0, а,\ — коэффициенты теплоотдачи соответственно с поверхностей области нагрева и за ее пределами;
1 |
|> |
0 |
s ±(i) = |
| “ |
°- |
|
||
о |
|< 0 |
|
Предполагая, что размеры области нагрева соизмеримы с толщиной
пластины и вводя интегральную характеристику
в
(2)
вместо уравнения (1) получим уравнение
b T - x iaT = - q S - ( R - r ) ,
где q=%o2to—(хо2 —Х12)0. Используя преобразование Ханкеля для реше ния (3), находим
Г =к1— xiR { f - ^ - -J ./S -o{ R -( r )x + , r ) K |
, M |
+ I i (KlR)K o(K lr ) S + ( r - R ) } , |
(4) |
гдe /„(£), /(„(£) — модифицированные функции Бесселя порядка «.Под ставляя (4) в (2), получаем
*( R )
■fl'=2xo2/o' 1+2(хо2 —Х12)ф(/?)
где ф(Я) = 2xi21 [1 —2/х (xj/?)/Ci (xi/?)]. Окончательно для q получаем выра жение
< ? = x o 2/ o { l + |
- 1 ) [ l - 2/ x ( x 1i ? ) / C I ( x lJR ) ] } _ 1 |
( 5) |
Таким образом, решение уравнения (1) определяется формулами (4), (5). Для определения напряжений, вызываемых температурным полем
(4) в пластине, воспользуемся формулами [3]
0>г— |
|
u—a,*tT j ; |
|
|
Офф= £ * |
|
и - а Л 2т\ |
|
(6) |
|
|
|
||
где и — радиальное перемещение точек срединной плоскости пластины, |
||||
удовлетворяющее уравнению [3] |
|
|
|
|
Аи— |
« = / ( г ) ; |
|
(7) |
|
f ( r ) = a * tg j + a t |
6 2 = |
| ^ ; |
a * < = a |
r( + v r(pa, |
+v<pra r(; at°=d *t —k2a j ; Er, Ev |
модули Юнга для растяжения |
(сжа |
||
тия) в радиальном (г) и тангенциальном |
(ср) направлениях; v<pr, vr(p — |
|||
коэффициенты Пуассона для этих направлений; аД |
а ф‘ — температур |
|||
ные коэффициенты линейного расширения для направлений г, <р. Из фи |
||||
зических соображений следует, что |
|
|
|
|
ы|г_о=0; |
lim arr=0. |
|
(8) |
|
|
Г-+ОО |
|
|
|
Предполагая, что k > \ , общее решение уравнения (7) ищем в виде
где f+ ( r ) = U h+1f(l)d l; |
f - ( r ) = h ~ h+1f№ d l. |
О |
оо |
Определив из граничных условий (8) величины Сь С2 и подставив (9) в формулы (6), получим выражения, записанные в безразмерных вели чинах, для определения температурных напряжений в пластине
ar=Q[d+(p)D(p) +rf-(p)L(p) - |
(£ i+vr<p)<D(p)]; |
аФ= Q fc [ d + ( р ) D ( р ) - d - ( р ) L ( р ) - |
( 1 + A lVq,r ) 6 Ф ( р ) ] , |
где |
CTj= -E |
^ t 0 ( К |
ф); |
#=(р) = |
Vr<p±& |
•4±ft-1• |
|
||||
о (p> - |
2k |
|
|
||||||||
№ |
+Orv( p„)+ )£ Or < P ) + |
|
|
|
|
|
|||||
i- w - ( * .+ W O I+(p) + f - < W P) |
|
|
(k+\)HQO |
|
|||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|||
|
p - T ; |
R „ - TR ; |
* |
a r* |
B - t B i , ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1±1 |
|
|
№ |
G i± ( p ) = P i± ( p ) + ( - l ) I+ i Q i ± ( p ) + p i 2 [ ( - l ) ' + ‘ Q i ] 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
P i ± ( p ) |
= ± |
S _ ( # 0 - p) /Ci ( £ 05 ) |
I |
|
( B g ) rfg; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ho |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
Qi± ( p ) = ± S + (9- R 0) l l (K0B) |
J l ^ K t(B l)d l; |
|
||||||||
|
Ho |
|
|
|
|
|
Ho |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Pi=Ki(RoB) |
j 11+к1г(В1)сЦ- |
Q i^hiR oB } |
J & -*K i{Bl)dt |
( i = 0 , 1) ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Bo |
|
|
|
|
|
Bi0 Ro |
( |
( |
Bi0 |
|
\ |
|
|
|
|
1-i |
Q~ t M i'- v ^ » r) t l + |
|
|
[ l - 2 A № B ) K ,W B ) l} |
||||||||
Bi j =a j 6/ A, r |
( / = 0, |
1); |
p = |
fe1+ v r ? —62( l +v<pr&i ) ; |
|
||||||
ф{р) = ¥ |
I я~в - ; o(fip)^i W |
) |
] S _ (£ o -p ) + |
|
|||||||
4~ -/i(*oB )/C 0(Bp)S+ (p -/?0).
Переходя в соотношениях (Ю) к пределу при р->0, получим формулу для безразмерных напряжений в центре области нагрева пластины:
о ,- о ,- Ч - |
^ |
\К Л К .В ) |
1 |
1 |
[ — j -------— |
J |
(11) |
Рис. |
1. З а в и с и м о с т ь н а п р я ж е н и й о т |
в е л и ч и н ы i|) в т о ч к а х р = 0 |
( / ) ; |
0,1 ( 2 ) ; 0 ,5 (3) \ 1 |
(4). |
Рис. |
2 . Р а с п р е д е л е н и е н а п р я ж е н и й |
в д о л ь п о л я р н о г о р а д и у с а |
п р и |
B i j = 0,1 ( / ) ; 1 |
(2). |
На основании формул (10), (11) был проведен анализ влияния объемного коэффициента армиро вания [4] ф (ty= h\/(h\ + /12 ; hu h,2 — ширины слоев, составляющих композитную пластинку) и коэффи циента Bii на термоупругое состояние пластинки.
Для вычислений взяты данные, близкие к харак теристикам композитного материала, состоящего из
|
|
|
|
|
эпоксидной |
смолы, армированной |
равнопрочной |
||
|
|
|
|
|
стеклолентой |
[4]. Все |
результаты |
получены при |
|
|
|
|
|
|
B i0 = 1, /?о = 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 1 представлены зависимости напряжений |
||||
|
|
|
|
|
cj (/ = г, ф) от величины ф при В ii = 0,5 и различных |
||||
|
|
|
|
|
р. Здесь и в дальнейшем сплошные линии относятся |
||||
|
|
|
|
|
к кольцевым напряжениям, штриховые — к ради |
||||
Рис. |
3. |
Зависимость |
альным. Анализ графиков показывает, что радиаль |
||||||
напряжений |
от |
вели |
ные напряжения достигают своего максимума в про |
||||||
чины |
Bii |
|
в |
точках |
межутке 0,35<ф <0,6 . Минимальные же |
значения |
|||
р= 0 |
(/); |
0,5 |
(2); 1 |
Or находятся |
в окрестностях точек ф = 0,1 |
и ф = 0,9, |
|||
|
(5); |
3 |
(4). |
что свидетельствует о том, что анизотропия ведет к |
|||||
|
|
|
|
|
увеличению радиальных |
напряжений. При измене |
|||
нии объемного коэффициента армирования от 0,1 до 0,2 напряжения в центре области нагрева пластины увеличиваются приблизительно в 1,5 раза. Характер изменения кольцевых напряжений внутри области на грева пластины (р<0,5) аналогичен изменению радиальных напряже ний. С увеличением р в зависимости от ф возможно изменение направ ления действия кольцевых напряжений.
На рис. 2 показано распределение напряжений вдоль полярного ра диуса р при ф= 0,4. Как и следовало ожидать, максимальные напряже
ния возникают в центре нагреваемой области (р = 0). С ростом |
р вели |
чина Oj резко уменьшается, оставаясь отрицательной для j = r и |
меняет |
свой знак с отрицательного на положительный для / = ср. Точки, где коль цевые напряжения достигают максимального значения в области растя жения, с увеличением Bii приближаются к началу координат.
На рис. 3 представлены зависимости напряжений от величины Bii при ф= 0,3. Из рисунка следует, что с увеличением Bii как кольцевые, так и радиальные напряжения уменьшаются почти во всех точках пластинки. В области нагрева пластины (р^0,5) не наблюдается изменения направ ления действующих напряжений. При р > 0 ,5 с изменением Bii кольце вые напряжения могут изменять направление своего действия.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Болотина К. С. Механические и теплофизические характеристики слоистого ма териала. — Изв. вузов. Машиностроение, 1966, № 12, с. 23—28.
2.Громовык В. И. Об учете теплоотдачи в локально нагреваемых термоупругих
пластинах из композитных материалов. — Механика композитных материалов, 1979,
№6, с. 1027—1030.
3.Подстригай Я. С., Коляно Ю. М. Неустановившиеся температурные поля и нап ряжения в тонких пластинках. Киев, 1972. 308 с.
4.Болотин В. В., Болотина К. С. Термоупругая задача для кругового цилиндра из армированного слоистого материала. — Механика полимеров, 1967, № 1, с. 136—141.
Львовский государственный университет |
Поступило в редакцию 28.11.80 |
им. Ивана Франко |
|