ОПТИМАЛЬНАЯ ВРАЩАЮЩАЯСЯ ОБОЛОЧКА ИЗ КОМПОЗИТА, НАПОЛНЕННАЯ ЖИДКОСТЬЮ

Параметры А, и А,0 можно связать с экваториальными углами армирова­ ния. Из (8) с учетом (14) получим:

Экваториальный угол ф| примем равным среднему значению из диапа­

Таким образом, сравниваться будут два типа оболочек равной массы с А, и А,0 из (19), (20), ф] из (16); с равными углами армирования на эк­ ваторе (ф1= ф|°, Гр^О, толщины на экваторе связаны соотношением (21)

Ф1 (см. (17) для замкнутых оболочек) при h\°=h\ (22) представлены на рис. 2. Как видно, в исследованном диапазоне ф,° изменяется в довольно узких пределах (55—59°). Это обстоятельство существенно для числен­ ной оценки полученных в дальнейшем результатов.

Образующие замкнутых оболочек вращения, наполненных жидкостью с у—voo, и пустотелых, спроектированных из условий равенства масс при Ф1° = Ф1и А|°=АЬ представлены на рис. 3. Как видно, наименьший осевой размер zp=z (г=0) имеет оболочка, наполненная жидкостью с плотнос­ тью у-*-оо. Эта оболочка, как следует из (17), армируется вдоль мери­

вырождении (15). Изменение плотности жидкости в реальном диапазоне 0 ,2 5 ^ р /у ^ 4 не оказывает существенного влияния на формулу образую­ щей такой оболочки (расхождение не превышало 1—3%). Для сравне­ ния на рис. 3 нанесена образующая оптимальной оболочки, нагруженной

равной массы с оболочкой с жидкостью, при ф1°=ф | имеет гораздо боль­ ший осевой размер, чем при Ai0=A,. Это обстоятельство объясняется ма­ лыми значениями фь особенно при малых p/у (см. (17) и рис. 2).

Отношение угловых скоростей наполненной и полой оболочек опре­ деляется отношением параметров Я (19) и Х° (20)

в зависимости от ф1скорость наполненной оболочки равна или несколько

меньше скорости пустотелой (см. (16), (17).

Отношение скоростей замкнутых оболочек при h\ = h\° имеет вид

Поскольку ф!° равно примерно 57° (см. рис. 2), то угловые скорости оболочек могут различаться весьма существенно, особенно при исполь­ зовании тяжелых жидкостей. С точки зрения технической реализации и эксплуатации всей системы маховичного аккумулятора энергии это об­ стоятельство весьма существенно.

Отношение энергоемкостей наполненной (U7) и пустотелой (И7°) обо­ лочек с учетом момента инерции жидкости выразится следующим об­ разом:

Рис. 2. Зависимости экваториального угла армирования оптимальной замкнутой обо­ лочки с жидкостью ( ф 0 и пустотелой оболочки той же массы (ф !°) от р/у. / i i / a = l / 2 5

Рис. 3. Образующие оптимальных замкнутых оболочек вращения! 1 — вращающаяся

Для случая ф1= ф1° соотношение (23) примет вид

Зависимости еф и е,, от р/у для замкнутых оболочек представлены на рис. 4. Как видно, выигрыш в энергоемкости весьма существен, особенно при сравнении оболочек, имеющих равные экваториальные углы арми­ рования (в этом случае пустотелая оболочка получается вытянутой вдоль оси 2, см. рис. 3). При равных толщинах на экваторе угол армиро­ вания ф!° существенно увеличивается (см. рис. 2), одновременно увели­ чивается удельная массовая энергоемкость пустотелых оболочек, про­ порциональная з т 2ф1° (см. [1]). Поэтому относительный выигрыш в энергоемкости при h\ = h\° меньше, чем при ф1= ф|°.

У оболочек с крышкой изменение радиуса крышки в пределах существенно сказывается на форме меридиана лишь при

малых значениях p/у в исследованном диапазоне (0,25^ - ^ 4 ,0 ). Энер­

гоемкость оболочки с крышкой практически не отличается от энергоем­ кости замкнутой оболочки при одинаковых значениях p/у во всем ди­ апазоне г0.

Как уже было отмечено, удельная массовая энергоемкость пустоте­ лых оболочек изменяется пропорционально s in ^ ,0 и достигает макси-

Xt

мума при ф!°=—, когда оболочка вырождается в равнонапряженный

диск. Как показано в [1], удельная массовая энергоемкость таких дисков не зависит от их внутреннего диаметра и равна удельной массовой энер­ гоемкости тонкого кольца с радиусом, равным экваториальному. Для сравнения энергоемкости, приходящейся на единицу массы материала оболочки, наполненной жидкостью, с удельной энергоемкостью тонкого кольца с радиусом, равным экваториальному, можно использовать ре­ зультаты, приведенные на рис. 4. Для этого нужно умножить e^(eh) (см. рис. 4) на sin2(pi° (зависимость <pi°(p/v) приведена на рис. 2). Расчеты показали, что энергоемкость на единицу массы материала оболочки, на­ полненной жидкостью, превышает удельную массовую энергоемкость кольца в 1,32—1,86 раза при h\fa=l)25 и 1,29—1,72 при Л,/а= 1/40.

Учет массы жидкости при расчете удельной энергоемкости оболочки, наполненной жидкостью, естественно, меняет картину. По удельной мас­ совой энергоемкости (с учетом всей вращающейся массы) оболочка с жидкостью существенно уступает кольцу. Коэффициент, связывающий эти характеристики, определяется зависимостью

Wm0б

1Рк(ТЯоб + ЯЪк)

где ТР, ТРК — энергоемкости оболочки с жидкостью и кольца с массой, равной массе оболочки; /Лоб, Мж — массы оболочки и жидкости.

Результаты расчета отношения удельных массовых энергоемкостей замкнутой оболочки с жидкостью и кольца (е0) представлены на рис. 5.

При уменьшении массы жидкости это от­ ношение возрастает и при р/у-^оо стре­ мится к 1. Это объясняется тем, что при в рамках поставленной задачи ф1=я/2 (см. (17), и оболочка вырожда­

ется в равнонапряженный диск, удельная массовая энергоемкость которого равна массовой энергоемкости кольца.

Таким образом, наибольшая энергоем­ кость на единицу массы композита, ис­ пользуемого в сравниваемых маховиках, достигается в оболочке, наполненной жидкостью. Если учитывать массу махо­ вика в целом, то наибольшей удельной массовой энергоемкостью обладает тон­ кое кольцо. Практическая реализация

оптимальной вращающейся оболочки, наполненной жидкостью, затруд­ няется, так же как и пустотелой, существенным отличием траекторий армирования от геодезических.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Боков Ю. В., Васильев В. В., Портнов Г Г Оптимальные формы и траектории армирования вращающихся оболочек из композитов. — Механика композитных мате­ риалов, 1981, № 5, с. 846—854.

2. Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование оболо­ чек вращения из композиционных материалов. М., 1977. 143 с.

УДК 678.2:678.067

Л. Н. Рассудов, В. Н. Мядзель, В. М. Водовозов

ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ АРМИРУЮЩИХ МАНИПУЛЯТОРОВ

НА ПОСТРОЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИИ

Оборудование, обслуживающее технологический процесс укладки стеклопластнковой ленты на поверхность вращающейся оправки по цик­ лически повторяющимся программам, имеет ряд весьма существенных особенностей, которые позволяют отнести его к разряду армирующих ма­ нипуляторов (AM). Системы управления такими AM, осуществляющими формообразование изделий сложной формы, целесообразно строить с применением ЭВМ, обеспечивающих расчет и выбор траекторий точки схвата, определение траекторий движения рабочих органов, интерполя­ цию, синтез и выдачу на приводы управляющей информации, а также реализацию построенного программного движения [1, 2]. Следует отме­ тить, что задача укладки ленты на поверхность оправки по заданной линии не является однозначной: возможно получение одной и той же линии укладки при различных законах движения звеньев AM [3, 4], что приводит к необходимости рассмотрения множества возможных прог­ раммных движений (ПД) и их оптимизации с точки зрения производи­ тельности оборудования и определения наилучших параметров исполни­ тельных механизмов для обеспечения требуемой точности укладки ленты.

Как известно [5], одними из важнейших для обеспечения точной ук­ ладки являются задачи определения алгоритмов построения ПД и их воспроизведения исполнительными механизмами. Достаточно простые алгоритмы управления ПД могут быть получены, если, отвлекаясь от инерционных свойств AM, ограничиться кинематическим моделирова­ нием движения [6]. Однако при отслеживании схватом AM рассчитанной траектории необходимо учитывать динамические свойства его звеньев и приводов и в частности, для крупногабаритных AM — распределенную упругость протяженного первого звена [7, 8].

Определение программного движения. AM, включающие звенья с вращательным и поступательным движением, насчитывают до шести степеней подвижности. Крупногабаритные AM обычно представляют со­ бой четырехзвенную структуру с переменной длиной L\ и L2 активной части первого и второго звеньев (рис. 1) и третьего и четвертого звеньев, входящих в узел схвата. Для армирования оболочек сложной формы уп­ равление движением первых двух звеньев наиболее целесообразно осу­ ществлять с помощью системы числового программного управления, по­ строенной на базе мини-ЭВМ или микропроцессора. Усложнение задач армирования, увеличение требований к поддержанию заданного уровня натяжения и к ослаблению влияния внешних возмущающих воздействий на тракт лентопротяжки, а также недостаточное быстродействие совре­ менных мини-ЭВМ привели к необходимости установки в узле схвата датчиков натяжения ленты и устройств, организующих управление им от самостоятельной следящей системы по реальному положению ленты та­ ким образом, чтобы средняя нить ленты всегда располагалась бы по пря­ мой ВСК (см. рис. 1, К — точка касания средней нити). Такая организа-

при армировании является повышение точности укладки стеклоленты на поверхность оправки. Особенность изготовления таких изделий с по­ мощью крупногабаритных AM состоит в том, что скорость вращения оправки и время технологического процесса остаются постоянными на протяжении отработки программы укладки ленты под заданным углом. При этом, как отмечалось выше, перемещение звеньев AM можно осу­ ществлять по одному из бесчисленных кинематических законов. Такая особенность позволяет поставить задачу конструирования электроприво­ дов наиболее инерционных звеньев AM при движении их с минималь­ ными ускорениями. Этот закон управления электроприводом дает воз­ можность, помимо повышения точности укладки стеклоленты (а в дина­ мических режимах она в значительной мере зависит от величины ускорения рабочих органов), значительно уменьшить массу и потребляе­ мую мощность привода.

В качестве локального критерия оптимальности примем минимум максимального ускорения наиболее инерционного первого звена, мощ­ ность привода которого в крупногабаритных AM обычно превышает в пять-семь раз суммарную мощность остальных звеньев.

Введем цилиндрическую систему координат на поверхности оправки р, ф, £, ось которой совпадает с осью вращения оправки, а начало нахо­ дится в плоскости экватора. Цилиндрические координаты в пространстве

тора оправки; а — угол между меридианом оправки и линией намотки; 2nk — угол поворота оправки при укладке ленты на днище; е — вектор, определяющий поверхность оправки и линию армирования [9].

Нижняя граница сектора допустимых траекторий движения первого звена при укладке ленты на днище оправки определяется траекторией точки касания ленты и расстоянием безопасности между оправкой и схватом AM (4):

Верхняя граница сектора определяется траекторией точки схода ленты В при уменьшении длины второго звена относительно начального

причем на малых углах намотки сказываются ограничения ( 1 ) <7i = <7i maxПри этом верхняя граница сектора задается выражением y2=min {у2\

q \ m a x / P } •

На искомую траекторию движения первого звена уо с минимумом максимального ускорения накладываются следующие ограничения:

мых траекторий.

Вид сектора допустимых траекторий приведен на рис. 2, а задача оптимизации формируется следующим образом: на промежутке [-kn , kn] определить траекторию t)o{x), минимизирующую supjy (х)|, причем

У\^Уо{х) s^min {У2, q\ max/p}-

Для данного сектора оптимальной траекторией будет кривая, состоя­ щая из двух параболических и одного горизонтального участка [10], ка­ сающаяся кривых уи У2 1, # = <7imax/P в точках ± р о , ± г 0 соответственно. В [10] определены параметры кривой уо для случая укладки ленты на полусферическое днище по геодезической линии. Приведем решение данной задачи оптимизации в общем виде. Ввиду симметрии оптималь­ ной кривой достаточно определить параметры одного параболического

участка.

Пусть уравнение левого участка оптимальной кривой

где n = (a , е, ?). Из условия касания параболой у0 горизонтального участка y = qxmaxl$ определяются коэффициент с и координата г0:

Подставляя найденные значения коэффициентов парабол (10) — (12) в выражения (6) и (8), получаем в общем случае систему двух трансцен­ дентных уравнений с двумя неизвестными р0 и s0

Решая систему (13) с помощью ЭВМ, находим ро и s0, и с помощью вы­ ражений (10) — (12) определяем параметры оптимальной кривой (5).

Рассчитанная таким образом величина минимума максимального ус­ корения привода первого звена AM в секторе допустимых траекторий позволяет уменьшить динамические ошибки укладки стеклоленты на по­ верхность оправки и определить требуемую структуру и характеристики привода.

Влияние длины узла схвата на определение ПД. Рассмотрим работу AM с постоянной длиной второго звена и постоянной скоростью переме­ щения точки схода ленты. Такой режим функционирования AM в основ­ ном применяется при укладке ленты под углами, большими 30—40°, на цилиндрические оправки с полусферическими днищами. В момент пере­ хода точки касания ленты с цилиндрической части на днище точка схода ленты (ТСЛ) будет иметь координаты (рис. 3)

где б — расстояние от ТСЛ до оправки.

Минимальное расстояние, которое должна пройти ТСЛ за время по­ ворота оправки на угол Фк для того, чтобы точка касания вышла с полу­

сферы на цилиндрическую поверхность, Z=2Z0 (см. рис. 3) при скорости

движения о = рR, определяемой из условия максимальной производи­ тельности AM на цилиндрической части. Тогда

причем равенство справедливо лишь в предельном случае (при движении ТСЛ без остановки). Подставляя в (15) выражение для Z0 из (14) и

учитывая, что cos(R/Po) = sin (y />o2—R2/Po), получаем неравенство для определения максимально возможного для данного режима работы рас­ стояния между ТСЛ и оправкой

Для унладни ленты на полусферическом днище по геодезической ли­ нии из выражения (16) получаем 6 ^ 0 ,86Я. При учете времени торможе­ ния, стоянки и разгона привода первого звена правую часть неравенства (16) необходимо домножить на коэффициент & <1, определяемый параметрами привода и тахограммой движения ТСЛ.

Учет распределения упругости при воспроизведении ПД. Проектиро­ вание и создание быстродействующих и высокоточных систем автомати­ зированного электропривода для AM с широким диапазоном регулиро­ вания скорости невозможно без учета механических характеристик кине­ матических звеньев манипуляторов. В крупногабаритных AM большое влияние на точность воспроизведения ПД оказывают упругие деформа­ ции механической передачи от неподвижно установленного двигателя к первому звену. Такая передача представляет собой с точки зрения ди­ намики элемент с распределенными параметрами (РП), описываемый дифференциальным уравнением в частных производных гиперболиче­ ского типа. Как показано в работах [11, 12], в электромеханических систе­ мах, содержащих элементы подобного типа, из-за запаздывания поступ­ ления входного воздействия на звено AM вид переходных процессов в ряде случаев значительно отличается от процессов в системах с сосредо­ точенными параметрами, традиционно рассматриваемых в теории авто­

матического регулирования.

В связи с тем, что в настоящее время вопросы синтеза систем с РП гиперболического типа разработаны недостаточно полно, для достиже­ ния требуемых показателей качества при воспроизведении ПД целесооб­

разно провести адекватную аппрокси­ мацию упругих распределенных эле­ ментов элементами с сосредоточен­ ными параметрами и далее применить известные методы расчета. Недоста­ точно точная аппроксимация может

к

\ —3 — значения /г.

привести к большим погрешностям при расчете, к уменьшению точности

точки зрения динамики представляет собой фильтр нижних частот, то достаточно, чтобы W * ( p ) хорошо аппроксимировала W(p,ep) в некото­ ром круге \р \ < й , что соответствует диапазону частот 0<со<СЙ. Потре­ буем, чтобы функции W * ( p ) и W(p,ep) в области |/?|<£2 имели одина­ ковые полюсы и чтобы вычеты в этих полюсах совпадали. Наиболее ес­ тественный метод построения такой аппроксимации дает разложение W(p, ер) на простейшие дроби [13]:

В качестве примера рассмотрим аппроксимацию передаточной функ­ ции длинного упругого элемента с однородными граничными условиями W ( p , e P ) = ( —p sh яр)-1; №(w) = (cosinmo)-1. Разложим частотную ха­ рактеристику №(©) на простейшие дроби

Обрывая это разложение на члене k=N , получаем рациональную аппрок­ симацию с многочленом 2N +2 в знаменателе:

Достоинством данной аппроксимации является то, что она точно вос­ производит учитываемые полюсы (со) и дает правильное поведение №*(со) в окрестности полюсов, так как чем ближе <о к соь= &, k = 0, ±1,

± 2 , ..., ±N , тем меньше относительная погрешность. Зависимость этой погрешности от частоты при разных значениях k приведена на рис. 4, из которого видно, что в интервале сое{0,3], где находятся четыре резо­ нанса на частотах озл = 0 ,1,2,3, погрешность аппроксимации при k = 3 достаточно мала. Необходимо отметить, что погрешность в графиках переходных процессов будет незначительна, так как она определяется выражением

где h(p) — изображение входного сигнала. Так как аппроксимация (17) точно учитывает вклады полюсов, ближайших к началу координат, то в

После проведения аппроксимации передаточной функции упругого кинематического элемента с РП улучшение качества воспроизводимости ПД для AM можно осуществить известными методами теории автомати­ ческого регулирования. Аналогично решается задача аппроксимации передаточных функций длинных упругих кинематических элементов при представлении их в виде звеньев с запаздыванием [14] или при неодно­