ОБ ОЦЕНКЕ АНИЗОТРОПИИ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Коэффициенты усталости для симметричных циклов

анизотропии их прочности и тем более — для всех видов армированных пластиков. Оценим разброс значений К, показанных в табл. 2, для трех направлений вырезки отдельно по каждому материалу коэффициентами вариации vK. Значения их сведены в табл. 3, из которой видно, что при осевом нагружении (материалы ВФТ-С и СВАМ) между пределами вы­ носливости и статическими характеристиками композитов арп, а*р, Ev и Ес нет надежной корреляции, так как составляет от 10 до 36%. Мини­ мальные значения vl{ при осевом нагружении получены по /Ссп и К*с• Од­ нако малая величина ик по Ксп получена только по образцам СВАМ, а для ВФТ-С составляет 30%• Следовательно, более общей будет лучшая корреляция пределов выносливости при осевом нагружении с а*с. Это не случайно, так как для всех направлений вырезки обоих стеклопластиков (см. табл. 1) а*р>(7*с. Разумеется, если для некоторых композитов ока­ жется а*р< а * с, то для них более плотная корреляция будет по а*р. Под­ робно этот вопрос рассмотрен в [9]. Наличие этой закономерности поз­ волило разработать способ ускоренных испытаний для оценки анизотро­ пии усталостной прочности композитных материалов при симметричном осевом нагружении [10].

Рассмотрим теперь возможность оценки анизотропии миогоцикловой усталости при изгибе по статическим характеристикам материала П21-39. Казалось вероятным, что при изгибе лучшая корреляция а_i бу­ дет с меньшим из пределов пропорциональности а*р или же а*с, по­ скольку при этой деформации волокна материала циклически растяги­ ваются и сжимаются. Уместно отметить, что оценка пределов выносли­ вости металлов при изгибе обычно производится сравнением их со статическими параметрами, полученными при растяжении [11]. Но дан­ ные табл. 3 показывают, что наиболее плотная корреляция а_| в этом случае наблюдается с пределом пропорциональности а*„(/С*„). Значения ук по этому параметру в два-три раза ниже, чем по меньшему из преде-

Табл. 3

Значения коэффициентов вариации vK для трех направлений вырезки образцов

лов пропорциональности — о*с(К*с) при осевом нагружении. Из табл. 3 следует, что си изгиба слабо коррелирует со ста­ тической прочностью и модулями упру­ гости при растяжении, сжатии и изгибе. Отсутствие надежной корреляции с ука­ занными выше характеристиками видно также по экспериментальным данным,

изгиб [15].

Способы ускоренных испытаний [10, 15] включают статические испы­ тания образцов, вырезанных в трех или более направлениях, и усталост­ ные — только для одного из направлений. Для остальных направлений пределы выносливости вычисляются по значениям а* в предположении постоянства коэффициента усталости К* для всех направлений вырезки. Оба способа, как видно по значениям v1{ (см. табл. 3), позволяют с по­ грешностью ^10% оценить анизотропию прочности композита при двух­ трехкратном сокращении объема усталостных испытаний и потребного количества образцов.

Представляло интерес по приведенным в табл. 1 значениям пределов выносливости и пределов пропорциональности (сг*с — для растяжения— сжатия и а*и — для чистого изгиба), с которыми наблюдается наилуч­ шая корреляция, определить корреляционное уравнение для всех стекло­ пластиков и направлений вырезки образцов. Для базы Af3=106 циклов эта зависимость описывается линейным уравнением си = 1,1 + 0,53а* с эмпирическим коэффициентом корреляции г= 0,998 в пределах измене­ ния 17,5<о *<2 0 0 МПа. На рисунке показаны эта зависимость и опыт­ ные данные. Близкое расположение от единой прямой точек по осевому нагружению и чистому изгибу, помимо родства этих деформаций, свя­ зано также с тем, что опыты на усталость проведены практически при одинаковых частотах, размерах образцов и параметрах окружающей среды.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Ашкенази Е. КПоздняков А. А. Испытание стеклопластиков на усталость. — Завод, лаб., 1961, № 10, с. 1288—1293.

2.Саркисян II. Е. Анизотропия усталостной прочности стеклопластиков типа СВАМ. — Изв. АН АрмССР. Механика, 1971, № 2, с. 59—70.

3.Ашкенази Е. К. Анизотропия механических свойств некоторых стеклопластиков. Л., 1961.70 с.

5.Микляев П. Г Фридман Я. Б. Анизотропия механических свойств материалов. М., 1969. 270 с.

6.Трощенко В. Т. Усталость и неупругость металлов. Киев, 1971. 268 с.

7.Розе А. В., Жигун И. Г., Лушин М. И. Трехмерноармированные тканые мате­ риалы. 2. Экспериментальное изучение. — Механика полимеров, 1970, N° 3, с. 471—476.

8.Саркисян Н. Е. Прочность и деформативность стеклопластиков типа СВАМ при циклическом осевом нагружении. — Изв. АН АрмССР. Механика, 1969, № 6, с. 54—63.

9.Олдырев П. П. О корреляции между статической и усталостной прочностью ар­ мированных пластиков. — Механика полимеров, 1973, № 3, с. 468—474.

10.Олдырев П. П. Способ определения анизотропии усталостной прочности кон­ струкционных материалов. Авт. свидетельство СССР № 652472. — Открытия. Изобре­ тения. Пром. образцы. Товарные знаки, 1979, № 10, с. 169.

11.Гаврилов Д. А. Корреляционные соотношения между механическими характе­ ристиками в условиях статического и циклического нагружений для конструкционных сталей и сплавов. — Пробл. прочности, 1979, № 5, с. 59—62.

12.Fume И., Shimamura S. On flexural fatugue properties of rigid plastics and plastic composites. — J. Soc. Mater. Sci. Jap., 1978, vol. 27, N 300, p. 88—93.

13.Тарнопольский Ю. M., Кинцис T. Я. О механизме передачи усилий при дефор­

мировании ориентированных стеклопластиков. — Механика полимеров, 1965, № 1,

с.100—110.

14.Олдырев П. П. Многоцикловая усталость стеклопластика в режимах мягкого и

жесткого нагружения. — Механика композитных материалов, 1981, № 2, с. 218—226. 15. Олдырев П. П. Способ определения анизотропии усталостной прочности компо­ зиционных материалов. Авт. свидетельство СССР № 853480. — Открытия. Изобретения.

Пром. образцы. Товарные знаки, 1981, № 29, с. 207.

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 1, с. 62—67

УДК 539.2:539.4:678.05

П. Э. Пикше

О М О Д Е Л И Р О В А Н И И Л О К А Л Ь Н Ы Х Д Е Ф Е К Т О В В А Н И З О Т Р О П Н Ы Х М А Т Е Р И А Л А Х С П О М О Щ Ь Ю Д И С К Р Е Т Н Ы Х

Р Е Ш Е Т О К

Настоящая работа посвящена моделированию различных дефектов в анизотропных материалах посредством упругих решеток с соответствую­ щими дефектами. Такая дискретизация среды облегчает численные рас­ четы задач, которые не решаются классическими уравнениями сплошной среды. В частности это относится к задачам с особыми точками, такими, как точка приложения сосредоточенной силы, устье трещины и др. В этих задачах решения уравнениями сплошной среды дают неограничен­ ные перемещения [1] или напряжения [2], что не соответствует действи­ тельности. С помощью настоящего метода рассматриваются также за­ дачи о взаимодействии дефектов в анизотропных материалах.

Для решения названных задач предлагается заменить сплошную среду (включая и ее дефекты) соответствующей решеткой. Выбор вида решетки зависит от класса анизотропии среды, а дефекты в решетку вно­ сятся аналогичными по виду и размеру. Например, среда, обладающая кубической симметрией, заменяется кубической решеткой, а трещина в сплошной среде заменяется цепочкой порванных связей, жесткое вклю­ чение — жесткими связями. Иногда сама среда имеет периодические структурные элементы, например, ориентированные аморфно-кристалли­ ческие полимеры, периодически армированная среда и др. Такие среды легко заменяются соответствующей решеткой.

Для моделирования сплошной среды решеткой надо установить взаи­ мосвязь между упругими постоянными сплошной среды и потенциалом взаимодействия узлов в соответствующей решетке. Определение зависи­ мости между постоянными упругой жесткости C*j в сплошной среде и силами взаимодействия узлов в соответствующей решетке осуществля­ ется приравниванием механической работы, затраченной на деформа­ цию континуального тела, к изменению внутренней энергии решетки при отклонении от равновесной формы [3]. В рассматриваемой решетке, в от­ личие от реальной кристаллической решетки, силы, действующие между узлами, линейны и направлены вдоль связей. По предложенному в [3] методу в случае линейной силовой зависимости для кубических решеток устанавливают соотношения между C,*j в сплошной среде и централь­ ными силами взаимодействия узлов в соответствующих решетках. В табл. 1 приведены условия устойчивости, условия изотропии и соотно­ шения между Сщ н удельными (отнесенными к длинам связей /*) коэф­ фициентами а* (аь « 2, аз — первых, вторых и третьих ближайших со­ седних узлов) сил взаимодействия кубических решеток.

Следует отметить, что учет соотношений Коши при выводе зависи­ мостей а* от Cij дает возможность ограничиться только первыми двумя ближайшими соседями (аь аг) в решетке, положив аз=0.

Заменим дефектную решетку бездефектной таким образом, чтобы дефекты (разорванные связи, вакансии, жесткие включения и др.) на­ стоящей решетки заменялись системой эквивалентных сил Fj в новой бездефектной решетке. Эквивалентные силы зависят от решетки, вида, размеров и взаимного расположения дефектов, а также от вида нагру-

Зависимость uz(z), полученная по МЭС и методу итерации (МИ) для элементарного включения

мость F 1 и F2 от а 2 (б).

неизвестные компоненты эквивалентных сил F i и F2. В случае отсутствия симметрии в задаче, а также с ростом размеров дефекта число независи­ мых компонент Fj увеличивается. Возможность использования конечного числа линейных уравнений в системе (2) для эквивалентных сил накла­ дывает ограничение на локальность дефектов.

Нами проведено изучение изменения компонент эквивалентных сил Fj в широком диапазоне анизотропии d(d = C\\—С\2—2с44), что дает воз­ можность определить перемещения вокруг дефекта в анизотропных ма­ териалах. Зависимость Fj от а 2 приведена на рис. 1—б.

Перемещения узловых точек вокруг дефекта определяются как сумма перемещений, вызванных эквивалентными силами, которые прибавля­ ются к перемещениям, вызванным внешними нагрузками:

Перемещения, рассчитанные по предложенному методу эквивалентных сил (МЭС), сравнивались с результатами, полученными итерационным путем при размерах решетки 16aX l6aX l6a. В табл. 2 приводится срав­ нение этих методов.

Незначительное различие 6^0,3% связано с определением компонент тензора Грина решетки. Компоненты тензора Грина определялись чис­ ленно методом сшивания [4].

В случае вакансий и различных вырезов порванные связи заменя­ ются фиктивными связями, к концам которых приложены эквивалентные силы fj(ri), компенсирующие силы на связях, вызванные внешними на­ грузками. Система линейных уравнений для эквивалентных сил в этих задачах записывается в напряжениях, в отличие от задач с жесткими связями.

В механике сплошной среды имеются решения о перемещениях во­ круг сферической полости [5] и сферического включения 1 в изотропной среде. Принимая радиусы дефектов r = a, вычисленные перемещения сравниваем с результатами, полученными моделированием этих дефек­ тов МЭС в ОЦК решетке. На рис. 2 приведены зависимости их(х) и uz(z), вызванные вакансией и включением. В настоящих примерах раз­ личие результатов вблизи дефектов связано с неполной адекватностью дефектов сплошной среды и ОЦК решетки.

Преимущество МЭС состоит в том, что можно подсчитать перемеще­ ния вокруг различных дефектов в анизотропных средах. Зная компо­ ненты тензора Грина соответствующей бездефектной решетки, можно определить перемещения для произвольной системы эквивалентных сил

Fjy моделирующие различные дефекты в соответствующей решетке. За­ дачи сводятся к решению системы линейных уравнений для Fj (2) и к определению перемещения суммированием (3). Следовательно, МЭС при известных компонентах тензора Грина соответствующей решетки требует меньших вычислительных работ по сравнению с МИ.

Наличие различных дефектов в нагруженных решетках приводит к отклонениям в величинах напряжений на связях от их значений безде­ фектной решетки. Оценка истинных нагрузок на перегруженных связях имеет большое значение при оценке прочности материалов. Полную кар­ тину локальных напряжений можно получить построением распределе­ ния связей по локальным напряжениям. Вид распределения и макси­ мальное перенапряжение зависят от вида и размеров дефектов.

В качестве примера рассмотрим полость радиуса г в нагруженной (aZz = aoo) ОЦК решетке. Найденное распределение доли связей по коэф­ фициенту их перенапряжения <7= аЛок/сг«> в зависимости от радиуса г приведено на рис. 3. Видно, что с ростом размера дефекта распределе­ ние перенапряженных связей расплывается и все больше связей испыты­ вает перенагрузку. Примерно 2—10% (в зависимости от г) из общего числа связей оказываются перегруженными, а остальные связи не несут нагрузок. Для полости радиусом г= 2,899а коэффициент максимального перенапряжения связей <7тах~ 1,3 и уменьшается с уменьшением г. Приведенное распределение относится только к изолированному дефекту. В случае взаимодействующих дискообразных трещин <7тах~ 1,1-f-6,5 в за­ висимости от размеров и взаимного расположения. Реальные материалы кроме полостей и трещин содержат также различные дислокации, при­ меси и другие неоднородности, еще более расширяющие диапазон распределения связей по коэффициентам перенапряжения q, и qmax воз­ растает. Для ориентированного капрона qm3iX составляет даже 25 [6}.

Рассмотрим взаимодействие двух параллельно расположенных тре­ щин одинакового размера (рис. 4—а) в анизотропной среде, обладаю­ щей кубической симметрией. Локальное перенапряжение q = Gp_0KblonoK00 (отношение локальных напряжений в устье трещины ближних концов к локальным напряжениям в устье изолированной трещины) зависит от размеров трещины я, взаимного расстояния г, расположения б, а также от среды. Варьируя эти параметры методом эквивалентных сил, устано­ вили, что максимальное перенапряжение q имеет место при <р*= 0, т. е. когда обе трещины расположены на одной прямой. Минимальное значе­ ние q имеет место при <р = 60°-=-80°, в зависимости от отношения 2а/г

* Ф = arcsin б/г.

(рис. 4—б), так как устье одной трещины находится в поле ослабленного напряжения другой трещины. Чем больше 2а/г, тем при меньших <р зависимость #(<p) имеет минимум. Максимальное значение q имеет при Ф = 0. Дополнительный анализ при ф = 0 показывает, что ^тах^2 и в ли­ нейной постановке задачи общее напряжение можно определить как су­ перпозицию двух невзаимодействующих трещин.

Для сравнения полученных результатов с существующими в литера­ туре результатами для аналогичной двухмерной задачи [7, 8] сопоставим коэффициенты интенсивности напряжения плоской трещины kin в двух­ мерной задаче с коэффициентом интенсивности напряжения дискообраз­ ной трещины kiT в трехмерной задаче. В случае всестороннего растяже­ ния плоскости с прямолинейной щелью коэффициент интенсивности

напряжений kin определяется формулой к1п=сГооУл;а, а в случае всесто­ роннего растяжения пространства с дискообразной трещиной — kiT =

= ОооУа2 Следовательно, kiT/kin = 2yji. Это позволяет в случае изотропии

я

сопоставить полученные значения q для дискообразной трещины с ре­ зультатами kiCT/ki°° для плоской трещины [7] (ki°° — коэффициент интен­ сивности напряжения невзаимодействующих трещин). Различие в ре­ зультатах не превышает 3%.

На основе полученных данных о взаимодействии двух трещин рас­ смотрим задачу о взаимодействии параллельно и равномерно располо­ женных дискообразных трещин, ориентированных перпендикулярно к направлению растяжения. Будем считать, что все трещины одинакового размера г. Присутствие трещин при постоянной деформации приводит к снижению напряжения. Изменение модуля упругости Е/Е вследствие на­ личия трещин моделируются ОЦК решеткой. Разобьем ОЦК решетку с трещинами на одинаковые подрешетки по одной трещине в каждой. Рас­ смотрим подрешетку размерами N x N x N , в центре которой находится дискообразная трещина радиусом г в виде разорванных связей. Ввиду симметрии задачи расчет ведется в области, расположенной в I октанте.

= N/2, где i,j,k = 1,2,3. Перераспределение напряжений на оставшихся связях осуществляется МИ.

Плотность микротрещин со = (r/N)3 варьировали от 0 до 0,1, меняя со и г. На рис. 5 приведена зависимость Е/Е от со при различных г. Чем больше радиус г, тем меньше модуль упругости Е при одинаковых плот­ ностях трещин со.

Полученные результаты были сопоставлены с экспериментальными данными [9] для смолы ПНМ-2 с ПВХ с аналогично расположенными

Рис. 4. Схематическое расположение двух параллельно расположенных трещин (а) и зависимость локального перенапряжения q от угла расположения ф (б).

Рис. 5. Зависимость Е/Е от со при г = 0,2а (/); 1,2а (2); 2,2а (3); 3,2а (4); 4,2а (5).

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 1, с. 68—72

УДК 624.073.001:678.067

И. Н. Преображенский, Ж. Ш. Шасалимов

ВЛИЯНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОРТОТРОПНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК с ВЫРЕЗАМИ

В современном строительстве и промышленности широко использу­ ются оболочечные и пластинчатые несущие элементы с вырезами. При этом диапазон применяемых материалов весьма разнообразен — это и металлический лист, и полимерные материалы, и материалы с направ­ ленными физико-механическими характеристиками, например, компо­ зитные. Перед инженерами встает задача изучения динамических харак­ теристик системы в зависимости от конструктивных особенностей, в частности от условий на границах несущего элемента, а также от физико-механических параметров материала. Этот вопрос достаточно подробно изучен для конструкций из изотропных материалов [1, 2]. Ис­ следование частот собственных колебаний оболочек и пластинок с выре­ зами, выполненных из материалов, имеющих анизотропные характерис­ тики, только начинается.

Настоящая работа посвящена исследованию этих вопросов для пластинок с вырезами, изготовленных из композитного материала. При­ веденные здесь результаты являются продолжением исследований, опи­ санных в [3].

В предлагаемой работе приведены результаты изучения влияния граничных условий и физико-механических характеристик на частоты собственных колебаний анизотропных пластинок, ослабленных выре­ зами.

Рассматриваются прямоугольные ортотропные пластинки с прямо­ угольными и круговыми, свободными от опор, отверстиями. Исследова­ ние проводится с помощью метода, основанного на замене конструкции с вырезами некоторой «сплошной» моделью [3]. Жесткость и плотность последней являются разрывными функциями координат. Выводится формула для определения частот собственных колебаний пластинки с вырезами при следующих граничных условиях: а) две противоположные стороны пластинки шарнирно оперты, а две другие — жестко защем­ лены; б) две противоположные стороны пластинки закреплены шар­ нирно, одна защемлена, а одна свободна. Дано сопоставление значений относительных собственных частот колебаний, полученных в данной ра­ боте, а также шарнирно опертых и жестко защемленных с четырех сто­ рон пластинок, заимствованных из [3].

Пластину со сторонами а, & и высотой h отнесем к декартовой сис­ теме координат. Считаем, что ось х направлена вдоль стороны а, а ось у вдоль стороны Ь. Пусть пластинка имеет К прямоугольных и I круго­ вых, свободных от опор, отверстий. хц, дг2г, Ун, #2г — декартовы коорди­ наты, определяющие месторасположение вершин прямоугольных выре­ зов (i= 1,2,..., К), и Xj, yj — координаты центров круговых отверстий с радиусами /?,•(/= 1, 2 , .

Упругие свойства ортотропного материала характеризуются, как и в [3], четырьмя независимыми величинами — модулями упругости Е\ и Еч по двум взаимно перпендикулярным направлениям х и у, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона ць отвечающим поперечной дефор­

мации вдоль оси у. С помощью импульсивной функции нулевого порядка можно ^записать переменные параметры «сплошной» пластинки, эквива­

лентной пластинке с вырезами, по аналогии с методом [3], следующим образом:

где Ею, Е го, G0 — параметры упругости; у0 — плотность материала ре­ альной пластинки;

К

к ( х , у) = 1— [То(Х —Х2г) —Го (я —Xu) ] [T o (y —y2i) —Го (у—Ун) ] —

г= 1

Iм

~~|X J Wo{X—X2jk)—To(x—Xijh)\\To(y —y2jh)—To(y —y\jh)]. (3) j-1 ft-1

Каждый круговой вырез учитываем через М равновысоких прямоуголь­ ников [4]. Число прямоугольников М, с помощью которых представля­ ется круговой вырез, подбирается в процессе расчетов с целью получения заданной точности; хцк — координаты вершин прямоугольных вырезов, аппроксимирующих круговые вырезы (/=1,2).

Принимая во внимание зависимости (1) и (3), жесткости исследуе­

Уравнение движения ортотропной пластинки с переменными пара­

Вначале рассмотрим случай, когда две противоположные стороны пластинки шарнирно оперты, а две другие жестко защемлены. Форма колебаний такой системы может быть аппроксимирована функцией вида да, = / sin ах sin2 $у, удовлетворяющей и геометрическим, и силовым гра­ ничным условиям сплошной пластинки. Здесь а = /?1я; р= ця; ш, п число полуволн вдоль осей х н у соответственно.

а одна свободна. В этом случае в (4) следует заменить р на р/2, а форма колебаний будет иметь вид

te>i= sin ах sin2

В качестве примера проведем исследование граничных условий на собственные частоты колебаний квадратной ортотропной пластинки с центральными квадратными и круговыми отверстиями.

На рис. 1—а представлен график изменения частотного параметра (со/со91*)2 в зависимости от размеров квадратного отверстия. На рис. 1—б приведен график изменения отношения квадрата основной собственной частоты колебаний для пластинки с квадратным отверстием сокв к час­ тоте пластинки с круговым отверстием о)1ф в зависимости от параметра

ственных частот колебаний шарнирно опертой и жестко защемленной с четырех сторон пластинок соответственно (на рис. 1 штриховыми ли­ ниями показаны результаты, заимствованные из [3]). Кривые 3 характе­ ризуют шарнирно опертую с двух противоположных сторон и жестко за­ щемленную с двух других сторон пластинку, а кривая 4 — шарнирно закрепленную с двух противоположных сторон пластинку, одна сторона которой защемлена, а одна свободна.

На рис. 2 приведены зависимости частотного параметра от рассмот­ ренных типов граничных условий; рис. 2—а показывает зависимость па-

Рис. 1.

раметра (со/со*)2 от величины k2=D yo/Dxo при Аз= 0,75, а рис. 2—б — от Dko/Dx0 при А2 = 0,75. Кривые 7, 2 характеризуют шарнирно опертую с двух противоположных сторон, а с двух других жестко защемленную пластинку и шарнирно опертую с двух противоположных сторон плас­ тинку, одна сторона которой защемлена и одна свободна, с квадратным отверстием. Кривые <?, 4 относятся к пластинке с круговым отверстием и идентичными граничными условиями внешнего контура (pi = 0,12; S J S = 1/225).

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Преображенский Я. Н. Динамические задачи теории тонкостенных элементов не­

сущих конструкций, ослабленных вырезами (обзор). 1. — Пробл. прочности, 1980, № 5,

с.82—90.

2.Преображенский И. Н. Динамические задачи теории тонкостенных элементов не­ сущих конструкций, ослабленных вырезами (обзор). 2. — Пробл. прочности, 1980, N° 6,

с.99— 108.

3.Преображенский И. Н.г ШасаЛимов Ж. Ш. О колебаниях пластинок с вырезами

из композитных материалов. — Механика композитных материалов, 1981, № 5,

с.797—801.

4.Валеев Г Ш., Преображенский И. И. Устойчивость прямоугольных пластинок с отверстиями произвольной формы. — В кн.: VI Всесоюз. конф. по применению ЭВМ в строит, механике. Тез. секция 4. Л., 1971, с. 56—57.