Оптическое материаловедение
..pdf5.2.Аналитическая модель дисперсии диэлектрической проницаемости
споправкой на локальное поле (модель Лоренц-Лорентца)
Модель Друде не учитывает, что напряженность внешнего поля E и напряженность внутреннего по-
ля в материале Eint могут не совпадать на величину Eint =E +Eloc . собственного локального поля Eloc, обусловленного
поляризацией материала:
Если в толще материала провести замкнутую поверхность и приложить к материалу внешнее электрическое поле, то заряды противоположных знаков (связанные заряды) вследствие поляризации материала сконцентрируются на противоположных сторонах этой поверхности и создадут собственное локальное поле Eloc, направленное против приложенного внешнего поля.
E |
|
=E + |
|
P |
|
|
ε−1 |
|
|
ε+2 |
|
|
|
|
|
||||
loc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3ε0 |
Eloc |
=E 1+ |
% |
=E |
% |
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
P |
=ε |
E |
ε% |
−1 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε+2 |
1 |
|
|
ε−1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
P =αε0 Nm Eloc =αε0 Nm E |
% |
|
|
|
αNm |
% |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
% |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε+2 |
|
Уравнение Клаузиуса – Моссоти
Из квантовомеханического рассмотрения следует, что при взаимодействии электрона и кванта света с частотой, соответствующей частоте ωj оптического возбуждения электрона, переход последнего на возбужденный уровень происходит с вероятностью fj.
Множитель ω2pj f j фактически представляет собой абсолютную интенсивность j-го осциллятора, которую удобно обозначить собственным символом Sj.
Для набора из J осцилляторов из уравнения Клаузиуса – Моссоти получаем
% |
|
% |
2 |
−1 |
|
1 |
J |
|
ω2 |
f |
j |
|
|
ε−1 |
= |
n |
|
= |
∑ |
|
pj |
|
. |
||||
ε+2 |
n% |
2 |
+2 |
3 |
2 |
2 |
−iγω |
||||||
|
|
|
|
= |
ω |
−ω |
|
||||||
% |
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
5.3. Современные варианты классического уравнения дисперсии комплексной диэлектрической проницаемости
С целью применения дисперсионного уравнения для комплексной диэлектрической проницаемости к практическим задачам модель Друде была модифицирована путем выделения суммы вкладов для K наиболее высокочастотных осцилляторов, собственные частоты ωk которых чрезвычайно удалены от анализируемого спектрального диапазона:
∑J ω2
ε=% 1+ pj
j=1 ω2j −ω2 −iγ jω
K |
|
2 |
|
|
J |
|
2 |
|
|
|
ε=1+∑ |
2 |
2 |
|
|
+∑ 2 |
2 |
|
|
, |
|
% |
|
ωpk |
|
|
|
ωpj |
|
|
||
ω |
−ω −iγ |
ω |
|
ω |
−ω −iγ |
ω |
|
|||
= |
= |
|
||||||||
k 1 |
k |
|
k |
|
j 1 |
j |
|
j |
|
|
|
K |
|
2 |
|
ε |
∞ =1+∑ |
2 |
2 |
|
% |
|
|
ωpk |
|
k=1 |
ωk |
−ω −iγk ω |
||
|
|
J |
|
2 |
|
|
|
ε=ε |
∞ =1+∑ |
2 |
2 |
|
|
. |
% % |
|
|
ωpj |
|
|
|
= |
ω |
−ω −iγ |
ω |
|
||
|
|
|||||
|
j 1 |
j |
|
j |
|
|
Действительная и мнимая части комплексной диэлектрической проницаемости:
|
|
J |
ω2pj (ω2j −ω2 ) |
|
|||||||
ε'=ε |
∞ +∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
(ω2j −ω2 ) |
2 |
+γ2jω2 |
|||||||||
|
|
j=1 |
|
|
|||||||
|
|
|
ωpj γ jω |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
J |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε"=∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
2 |
−ω |
2 |
2 |
|
2 |
ω |
2 |
|
|||
|
j=1 |
(ωj |
|
) |
+γ j |
|
|
|
42
Для разупорядоченных стеклообразных структур функцию распределения числа осцилляторов каждого вида по частоте можно задать в виде гауссова распределения:
|
J |
ω2pj |
+∞ exp{−(x−ωj )2 |
|
2σ2} |
|
|
|||
|
|
|
Модель свертки |
|||||||
ε=ε |
∞ +∑ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx, |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||
% % |
= |
|
x |
|
−ω −iγ |
j |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
j 1 |
σ 2π−∞ |
|
|
|
|
|
|
где σ – полуширина гауссова распределения.
В этой модели действительная и мнимая части комплексной диэлектрической проницаемости задаются уравнениями
|
J |
2 |
|
+∞ exp −(x−ωj )2 |
|
2σ |
2 |
(x2 |
−ω2 ) |
|||||||||||
ε'(ω)=ε∞ +∑ |
|
ωpj |
∫ |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
dx; |
||||
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
2 |
2 |
+iγ jω |
|
|||||||||
|
j=1 σ 2π−∞ |
|
|
−ω |
) |
|
|
|
||||||||||||
J |
2 |
|
+∞ exp −(x−ωj ) |
2 2σ2 |
} |
γ j |
ω |
|
|
|
||||||||||
ε"(ω)=∑ |
ωpj |
|
∫ |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
(x |
2 |
2 |
|
2 |
+iγ jω |
|
|
|
|
|
|||||
j=1 |
σ 2π−∞ |
|
|
−ω |
) |
|
|
|
|
|
|
43
Лекция 6. РЕФРАКЦИЯ
Еще в начале XVIII в. Ньютон предложил уравнение, связывающее показатель преломления в видимом диапазоне и плотность ρ вещества:
1 |
( |
n2 −1 |
=r , |
где rND – удельная рефракция |
|
ρ |
) |
ND |
(преломляющая |
способность) |
|
|
|
|
вещества. |
|
|
|
|
|
|
|
В модели Друде удельная рефракция rND приобретает смысл суммарной электронной поляризуемости одного грамма вещества.
В модели Лоренц-Лорентца удельная рефракция rLL пропорциональна средней поляризуемости молекул:
Если удельную рефракцию умножить на молярную массу вещества, то получившаяся молярная рефракция будет равна молярной поляризации:
r=1 n2 −1 ~ α.
LLρn2 +2
RND = Мρ (n2 −1),
R |
|
= |
М n2 −1 |
=P . |
||
|
|
|
||||
LL |
ρ n2 +2 |
|||||
|
|
М |
Ни тот, ни другой способ определения рефракции не мог объяснить вариацию показателя преломления при изменениях температуры и агрегатного состояния вещества.
Это
связано с тем, что
практически невозможно разделить на вклады отдельных атомов электронную поляризуемость пары атомов, соединенных химической связью с точно не известной степенью ковалентности,
в формировании диэлектрической проницаемости (а следовательно, и показателя преломления) при частотах видимого диапазона принимают участие не только электронные возбуждения, но и колебательные с неизвестной долей участия последних.
44
Для чисто ионных рефракций щелочных и щелочноземельных металлов и для ряда групповых рефракций в органических веществах молярную рефракцию вещества можно представить как сумму вкладов его ионов, атомов или структурных групп, используя табулированные значения ионных, атомных или групповых рефракций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В некоторых случаях (в органической химии) |
|
|
|
|
|
|
|
можно выбрать наиболее подходящую модель |
|
|
b |
|
c |
|
|
структуры вещества из нескольких возможных |
|
n =a+ |
+ |
+... |
||
|
на основании данных о его показателе пре- |
|
λ2 |
λ4 |
|||
|
ломления, используя формулу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.1. Основные оптические характеристики, используемые в фотонике
Система понятий и терминология, используемые в прикладной оптике и технологии оптических материалов, была создана во 2-й половине XIX в. усилиями немецкого ученого Эрнста Аббе.
Главный показатель |
Средняя дисперсия |
Коэффициент дисперсии |
||||||
преломления |
|
|
(число Аббе) |
|||||
nd – показатель преломления, |
|
∆n = nF −nC |
vd = |
|
nd −1 |
|
|
|
определенный по желтой d- |
|
|
|
|
||||
|
nF −nC |
|||||||
линии гелия |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
или |
|
или |
||||
ne – показатель преломления, |
|
∆n = nF′ −nC′ |
vе = |
|
nd −1 |
|
||
определенный по желто- |
|
|
|
|||||
nF′ −nC′ |
||||||||
зеленой e-линии ртути |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
F и С – голубая и красная линии водорода, |
||||||
|
|
F′ и С′ – голубая и красная линии кадмия. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
Спектральные линии, используемые при определении оптических характеристик
Длина волны, нм |
Символ |
Элемент |
Длинаволны, нм |
Символ |
Элемент |
|
линии |
|
|
линии |
|
365,0146 |
i |
Hg |
546,0740 |
e |
Hg |
404,6561 |
h |
Hg |
587,5618 |
d |
He |
435,8343 |
g |
Hg |
589,2938 |
D |
Na |
479,9914 |
F' |
Cd |
643,8469 |
C' |
Cd |
496,1327 |
F |
H |
656,2725 |
C |
H |
– |
– |
– |
852,110 |
s |
Cs |
Для детализации изменений показателя преломления материала с длиной волны используются частные дисперсии и относительные частные дисперсии.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частные дисперсии – это разности двух значений пока- |
|
|
|
|||||
|
зателя преломления при некоторых произвольно вы- |
|
|
|
|||||
|
бранных длинах волн λ3 и λ4, из которых хотя бы одна |
|
∆n3,4 =n3 −n4. |
||||||
|
не совпадает с длинами волн, используемых при опре- |
|
|
|
|||||
|
делении средней дисперсии: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 |
−n5 |
|
|
|
|||
|
P4,5 = |
|
Относительные частные дисперсии Р4,5 – это отношения |
|
|||||
|
nF ' |
−nC' |
|
|
частных дисперсий к средней дисперсии. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения частных или относительных частных дисперсий учитываются при выборе материалов для совершенных оптических систем и при их расчете.
Наиболее важную роль для практики играет частная дисперсия для синего участка спектра ng – nF′ (ng – показатель преломления для фиолетовой g-линии ртути) и соответствующая ей относительная частная дисперсия PgF′, поскольку в пределах именно этого участка показатель преломления материала изменяется с длиной волны наиболее значительно.
46
6.2. Хроматическая аберрация
Зависимость показателя преломления от длины волны приводит к возникновению трудноустранимого дефекта оптических систем – хроматической аберра-
ции.
Путем подбора оптических характеристик материалов линз и радиусов кривизны их поверхностей можно добиться совмещения положений фокусов для синего и красного лучей в одной и той же точке, выполнив условие
D1 + D2 =0.
ν1 ν2
D1 и D2 – оптические силы положительной и отрицательной линз, ν1 и ν2 – коэффициенты дисперсии этих линз.
Выбор подходящих пар крон – флинт удобно осуществлять с помощью диаграммы Аббе.
47
6.3. Диаграмма Аббе
К – кроны |
Ф – флинты |
|
|
ЛК – легкие кроны |
ЛФ – легкие флинты |
|
|
ФК – фосфатные кроны |
БФ – баритовые флинты |
|
|
БК – баритовые кроны |
ТФ – тяжелые флинты |
|
|
ТК – тяжелые кроны |
ТБФ – тяжелые баритовые флинты |
|
|
ТФК – тяжелые фосфатные кроны |
СТФ – сверхтяжелые флинты |
|
|
СТК – сверхтяжелые кроны |
ОФ – особые флинты |
|
|
OК – особые кроны |
|
|
|
КФ – кронфлинты
48
6.4. Правило Аббе
Эрнстом Аббе было показано, что точки оптических стекол на любой диаграмме PgF' – νd в основном группируются вокруг некоторой прямой, получившей назва-
ние нормальной прямой (правило Аббе).
Оптические материалы, хорошо подчиняющиеся правилу Аббе ( ∆νd ≤ 3 ), называются
нормальными.
Лангкроны – оптические материалы, отклоняющиеся от нормальной прямой в сторону более высоких значений относительной частной дисперсии:
Оптические материалы, относительные частные дисперсии которых отклоняются от нормальных прямых на вели-
чину ∆νd > 3 , принято называть осо-
быми.
Курцфлинты – оптические материалы, отклоняющиеся от нормальной прямой в сторону более низких значений относительной частной дисперсии:
23 > ∆vd > 3. |
–3 > ∆vd > –7,5. |
49
Лекция 7. ОПТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Оптические материалы – кристаллические или аморфные материалы, предназначенные для передачи или преобразования света в различных участках спектрального диапазона.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оптические |
|
|
назначению |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
материалы |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
различаются по |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
строению |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
свойствам |
|
|
||
|
технологии изготовления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По строению оптические материалы подразделяются на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
некристаллические |
|
кристаллические |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
аморфные |
|
|
|
жидкокристаллические |
|
|
монокристаллические |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стеклообразные |
|
|
|
поликристаллические |
|
стеклокристаллические
50