Математическая обработка результатов геодезических измерений

Таблица 2.6

ВЕДОМОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ КООРДИНАТ ТОЧЕК ТЕОДОЛИТНОГО ХОДА (пример заполнения ведомости исходными данными)

31

Вычисляется сумма измеренных горизонтальных углов полигонаизм и теоретическая сумма горизонтальных углов теор. Теоретическая сумма для правых горизонтальных углов разомкнутого хода вычисляется по формуле:

теор. = Н – К + 180 n – 360 N,

где Н – дирекционный угол начальной стороны (Высокая–Пирамида);К – дирекционный угол конечной стороны (Быстрый–Осиновая); n – количество измеренных углов (в задании вычисленных); N – некоторое целое число.

Теоретическая сумма для горизонтальных углов левых по ходу вычисляется:

теор. = К – Н + 180 n – 360 N.

Вычисленная угловая невязка f не должна превышать предельно допустимую f доп , которая вычисляется по формуле:

f доп t n ,

где f доп – предельно допустимая невязка, мин; t – точность отсчета по

горизонтальному кругу теодолита (в примере t =1 ); n – количество измеренных углов полигона.

Если фактическая угловая невязка больше допустимой f f доп, в нашем случае надо проверить вычисления в п. 1.1 и п. 1.2.

Если угловая невязка меньше или равна допустимой f f доп ,то она (f ) распределяется на измеренные углы с обратным знаком и поровну. Величина поправки не может быть меньше точности отсчитывания t. Поправка в измеренные углы вычисляется:

fn .

Средние горизонтальные углы вычисляются с точностью 0,5 , поэтому не имеет смысла вводить поправки с меньшей точностью. Поправки вводятся в углы с короткими сторонами с точностью 0,5 для исключения десятых долей минуты или 1 (не меньше точности отсчитывания).

Поправка записывается в соответствующую графу табл. 5. Контроль распределения поправки f , т.е. сумма поправок равна

невязке с обратным знаком.

Вычисляются исправленные горизонтальные углы испр:

испр изм .

32

Контроль вычисления и распределения угловой невязки: сумма исправленных горизонтальных углов равна теоретической сумме

испр теор .

Если контроль получился, то можно продолжать вычисления. Если не получился, то вычисления п. 2.3.2 повторяются.

Пример уравнивания угловых измерений.

Сумма измеренных углов, приведенных в примере, равна

изм 71 26,5 190 36,5 176 15,5 201 53,5 66 43 179 54,5 886 49,5.

Теоретическая сумма вычисляется:

Т = Н – К + 180 n = 108 31 – 301 43 + 180 6 = 886 48 .

Невязка разомкнутого хода равна

f изм теор 886 49,5 886 48 1,5 .

Допустимая угловая невязка хода

f доп 1 n 1 6 2,4 .

Вычисленная угловая невязка меньше допустимой величины.

Так как фактическая невязка меньше допустимой f f доп, то ее можно распределить на измеренные углы. Величина невязки равна «плюс» 1,5 , отсюда величина поправок равна «минус» 0,5 и распределяются они на три угла, например,

1 190 36,5 0,5 190 36,0;4 201 53,5 0,5 201 53,0;5 179 54,5 0,5 179 54,0 .

Контроль этапа.

Для этого вычисляется сумма исправленных углов

изм 71 26,5 190 36,0 176 15,5 201 53,0 66 43 179 54,0 886 48.

Сумма исправленных углов равна 886 48 , т.е. равна теоретической сумме углов.

Все результаты вычислений заносятся в таблицу «Ведомость вычисления координат». Заполненная ведомость показана в табл. 2.7.

33

2.3.3. Вычисление дирекционных углов сторон теодолитного хода

По известному дирекционному углу исходной стороны П–1 ( П–1) и по исправленным горизонтальным углам испр вычисляются дирекционные углы остальных сторон теодолитного хода по формулам для измеренных правых горизонтальных углов:

n 1 n 180 испр – дирекционный угол последующей сто-

роны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180 и

минус исправленный горизонтальный угол правый по ходу,

где n+1 – дирекционный угол последующей стороны; n – дирекционный угол предыдущей стороны; испр – исправленный горизонтальный угол.

Для горизонтальных углов левых по ходу формула вычисления дирекционных углов имеет вид:

n 1 n 180 испр .

Величина дирекционного угла не может превышать 360 и быть меньше 0 . Если величина дирекционного угла больше 360 , то из результата вычислений необходимо вычесть 360 .

Контроль вычисления дирекционных углов: в результате вычислений получается значение дирекционного угла конечной стороны Быст- рый–Осиновая. Это значение должно быть равно дирекционному углуК записанному.

Дирекционные углы необходимо вычислять в градусах и минутах, при этом помнить, что в одном градусе всего 60 минут.

Пример вычисления дирекционных углов сторон разомкнутого теодолитного хода:

П 1 В П 180 П 108 31 180 71 26,5 217 04,5 ;1 2 П 1 180 1 217 04,5 180 190 36,0 206 28,5 ;

2 3 1 2 180 2 206 28,5 180 176 15,5 210 13,0 ;

3 4 2 3 180 3 210 13,0 180 201 53,0 188 20,0 ;

4 Б 3 4 180 4 188 20,0 180 66 43,0 301 37,0 ;

Б Ос 4 Б 180 Б 301 37,0 180 179 54,0 301 43,0 .

Контроль вычисления дирекционных углов получился.

Все результаты вычислений заносятся в таблицу «Ведомость вычисления координат» (табл. 2.7) в графу «Дирекционные углы».

34

Таблица 2.7

Ведомость вычисления координат точек теодолитного хода

35

2.3.4. Вычисление приращений координат

Вычисление приращений координат выполняется по формулам прямой геодезической задачи:

где d – значение измеренной длины (горизонтальное проложение), м;– дирекционный угол этой линии.

Приращения координат вычисляются с точностью два знака после запятой.

Пример вычисления приращений координат:

X П 1 dП 1cos П 1 192,76cos217 04,5 153,79;

X1 2 d1 2cos 1 2 184,77cos206 28,5 165,39;

X 2 3 d2 3cos 2 3 212,64cos210 13,0 183,75;

X 3 4 d3 4cos 3 4 162,56cos188 20,0 160,84;

X 4 Б d4 Бcos 4 Б 177,81cos301 37,0 93,21;

X 570,56;

YП 1 dП 1sin П 1 192,76sin 217 04,5 116,21;

Y1 2 d1 2sin 1 2 184,77sin 206 28,5 82,37;

Y2 3 d2 3sin 2 3 212,64sin 210 13,0 107,02;

Y3 4 d3 4sin 3 4 162,56sin188 20,0 23,56;

Y4 Б d4 Бsin 4 Б 177,81sin 301 37,0 151,42;

Y 480,58.

Результаты вычислений записываются в табл. 2.7 «Ведомость вычисления координат».

2.3.5. Уравнивание линейных измерений (уравнивание приращений координат) и вычисление линейной невязки

Уравнивание – это вычисление невязки и ее распределение на вычисленные приращения координат. Линейная невязка вычисляется раздельно по осям Х и Y.

Разность между суммой вычисленных приращений координат и теоретической суммой называется линейной невязкой хода и обозна-

36

чается fХ и fY. Уравнивание линейных измерений выполняется раздельно по осям.

Линейная невязка вычисляется по формулам:

Т – теоретическая сумма приращений координат.

Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии хода. Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма вычисляется по формулам

Т = К – Н; Т = К – Н,

где К, К – координаты конечной точки (Быстрый); Н, Н – координаты начальной точки (Пирамида).

Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости. Для чего вычисляется абсолютная невязка хода fабс

fабс f X2 fY2

и относительная

Если относительная невязка больше допустимой fотн 20001 ,

внашем случае надо пересчитать, начиная с пункта 2.3.4.

Вслучае, когда полученная относительная невязка допустима, т.е.

выполняется неравенство fотн 20001 , то вычисляются поправки в при-

ращения координат пропорционально длинам сторон. Невязки распределяются с обратным знаком.

Поправки в приращения координат X и Y вычисляются по формулам с округлением до 0,01 м:

37

где Xi и Yi – поправка в приращение по оси Х и Y, соответственно, м; fX и fY – невязки по осям, м; Р – сумма горизонтальных проложений Р = di, м; di – горизонтальное проложение, м.

После вычисления поправок следует сделать проверку, т.е. сложить все поправки. Если их сумма равняется невязке с обратным знаком, то распределение невязки выполнено правильно. То есть должно выполняться равенство:

Вычисленные поправки записываются в табл. 2.7 над соответствующим приращением координат.

Вычисляются исправленные приращения координат по формулам:

Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям и получаются исправленные приращения.

Контроль вычисления: сумма исправленных приращений в разомкнутом теодолитном ходе должна равняться теоретической сумме, т.е. должно выполняться равенство:

X испр X теор и Yиспр Yтеор .

Пример вычисления линейной невязки. Сумма вычисленных приращений координат:

= (–153,79) +(–165,39) + (–183,75) + (–160,84) + 93,21 = –570,56;= (–116,21) + (–82,37) + (–107,02) + (–23,56) + (–151,42) = –480,58.

Теоретическая сумма приращений координат

Т = К – Н = 6218,46 – 6788,68 = –570,22;Т = К – Н = 9190,59 – 9671,42 = –480,83.

Невязки хода по координатным осям

fХ = – Т = –570,56 – (–570,22) = –0,34; fY = – Т = –480,58 – (–480,83) = + 0,25.

Абсолютная невязка хода равна

fабс f X2 fY2 0,34 2 0,252 0,42.

Относительная невязка

fотн fPабс 930,540,42 22151 20001 ;

38

22151 20001 .

Относительная фактическая невязка меньше допустимой, т.о. невязки по осям можно распределять на вычисленные приращения координат.

Пример вычисления поправок в приращения координат:

Y1 fPY d1 2 930,540,25 184,77 0,05;Y 2 fPY d2 3 930,540,25 212,64 0,06;Y 3 fPY d3 4 930,540,25 162,56 0,04;Y 4 fPY d4 Б 930,540,25 177,81 0,05;

Сумма поправок равна невязке с обратным знаком.

Пример вычисления исправленных приращений координат:

39

Примечание: у приращений количество знаков после запятой в результате уравнивания не должно увеличиваться, т.е. остается два знака

Сумма исправленных приращений равна теоретической сумме, т.е. контроль выполняется.

2.3.6. Вычисление координат точек теодолитного хода

Если контроль вычисления и распределения линейной невязки выполняется, то вычисляются координаты всех точек хода по формулам:

X n 1 X n X испр; Yn 1 Yn Yиспр – координата последующей

точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение координат.

Контроль вычисления координат: в результате последовательного вычисления координат точек разомкнутого теодолитного хода получаются координаты конечной точки (Быстрый).

Пример вычисления координат точек теодолитного хода.

Координаты начального пункта Полевой: Х = 6788,68; Y = 9671,42; конечного пункта Береговой: Х = 6218,46; Y = 9190,59.

X1 X П X 6788,68 ( 153,72) 6634,96;

X 2 X1 X 6634,96 165,32 6469,64;

X 3 X 2 X 6469,64 183,67 6285,97;

X 4 X 3 X 6285,97 160,78 6125,19;

X Б X 4 X 6125,19 93,27 6218,46;

Y1 YП Y 9671,42 116,26 9555,16

Y2 Y1 Y 9555,16 82,42 9472,74;

Y3 Y2 Y 9472,74 107,08 9365,66;

40