Математическая статистика в технологии машиностроения

и. с. солонин

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА В ТЕХНОЛОГИИ

МАШИНОСТРОЕНИЯ

Издание второе, переработанное и дополненное

ИЗДАТЕЛЬСТВО „МАШИНОСТРОЕНИЕ" М о с к в а 1 9 7 2

Математическая статистика й технологии машино* строения. С о л о н и н И. С. М., «Машиностроение», 1972, стр. 216.

В книге кратко, в форме, доступной для читателя без специальной математической подготовки, приведены сведения из теории вероятностей и математической ста­ тистики, необходимые технологам в их работе. На прак­ тических примерах показано, как эти методы следует применять для анализа точности механической обра­ ботки, установления связей между различными фак­ торами технологического процесса, настройки станков, контроля качества продукции и т. д.

В отличие от первого издания (1960 г.) в книге значительно расширена и углублена методическая часть, привлечено больше практических примеров.

Книга рассчитана на инженерно-технических, ра­ ботников машиностроительных заводов и научно-ис­ следовательских институтов

Табл. 48. Илл. 40. Библ. 15 назв.

Рецензент инж. В. И. Гостев

Редактор проф. С. И. Самойлов

1-8-5

1 9 4 -7 1

ПРЕДИСЛОВИЕ

Во второе издание книги по сравнению с первым ее изданием внесен ряд изменений и дополнений. Книга разделена на две части. Первая часть носит теоретический характер, вторая — при­ кладной.

В первой части заново написаны разделы: понятие о моментах распределения (гл. I); закон биномиального распределения, закон редких событий, закон распределения модуля разности, композиция законов распределения (гл. II); оценка параметров нор­ мального распределения с помощью доверительных интервалов; сопоставление эмпирических распределений (гл. III); проверка гипотезы о законе распределения случайной величины; про­ верка гипотезы равенства ряда дисперсий; проверка гипотезы о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности (гл. IV); понятие о множественной корреляции, кор­ реляционном и регрессионном анализе (гл. V).

Во второй части книги переработан и дополнен раздел «Обра­ ботка экспериментальных данных по способу наименьших квадра­ тов» (гл. I). Значительно переработана и дополнена гл. II «Стати­ стический анализ точности механической обработки». Заново написаны гл. III и IV о корреляционном анализе технологических процессов и о статистических методах настройки станков.

Книга рассчитана в основном на инженеров-механиков, имею­ щих математическую подготовку в объеме обычного курса высших технических учебных заведений, но мало или совершенно незна­ комых с теорией вероятностей и математической статистикой. Поэтому при составлении книги автор стремился изложить основы теории вероятностей и математической статистики наиболее просто и наглядно.

I* з

В связи с этим большинство теоретических положений даны без доказательств, а если таковые и приводятся, то в сокращенном виде.

Книга снабжена большим количеством примеров из области технологии механической обработки деталей машин, которые, с одной стороны, облегчают понимание теоретической сущности вопросов, а с другой стороны, наглядно иллюстрируют возмож­ ности использования методов математической статистики в техно­ логии машиностроения.

Автор

Ч А С Т Ь П Е Р В А Я

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Глава /

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ, СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ВЕРОЯТНОСТЬ

Втеории вероятностей и основанной на ней математической статистике приходится встречаться с рядом специфических поня­ тий, из которых основными являются следующие: испытание, событие, случайная величина, вероятность, частота и частость.

Испытанием называется практическое осуществление какоголибо комплекса условий.

Событием называется явление, происходящее в результате осуществления определенного комплекса условий, т. е. в резуль­ тате испытания.

Явления или события, происходящие при многократном повто­ рении испытаний, называются массовыми. Если при каждом испы­ тании неизбежно происходит событие А, то такое событие назы­ вается достоверным. Если в условиях данного испытания некото­ рое событие В заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Если же при испытаниях может произойти либо событие А, либо В, либо С и т . д., то такие события называются возможными или случайными. Следовательно, случайным назы­ вается такое событие, которое при испытании может либо насту­ пить, либо не наступить. Например, если в ящике находится 100 деталей и среди них одна деталь дефектная, то извлечение из ящика этой детали будет случайным событием, так как оно может наступить или не наступить.

Термин случайности ни в коем случае не предполагает, что изучаемое событие беспричинно. Диалектический материализм учит, что всякое явление, в том числе и то, которое мы называем случайным, имеет свои, более или менее сложные причины.

Теория вероятностей имеет дело не только со случайными событиями, но также и со случайными величинами. Случайной величиной называется переменная величина, которая в резуль­ тате испытаний, может принять то или. иное значение в границах определенного интервала. Например, действительный размер де­ тали, обработанной на станке, является случайной величиной, так как он может принять любое численное значение в определен­ ных пределах.

Любое случайное событие обладает той или иной объективной возможностью или необходимостью своего проявления. Для коли­

чественной оценки возможности осуществления случайного собы­ тия пользуются термином вероятность. Вероятность какого-либо события А обозначается символом Р (Л) (от слова probabilitas — вероятность) и представляет собой численную меру объективной возможности этого события.

Для сравнения между собой различных событий по степени возможности их осуществления необходимо установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы измерения примята

вероятность достоверного события. Вероятность достоверного события принимается равной единице. Вероятность всех других событий — возможных, но не достоверных — будет характеризо­ ваться числами, меньшими единицы, а вероятность невозможного события будет равна нулю.

Вероятность является одним из основных понятий теории веро­ ятностей. Существуют классическое и статистическое определение этого понятия. По классическому определению вероятностью события А называется отношение числа случаев т , благоприятст­ вующих этому событию, к числу п всех возможных случаев дан­ ного класса испытаний, т. е.

Р(А) = ^ .

При этом число всех случаев п должно быть конечно и все они должны быть равновозможны, несовместимы и независимы.

Под несовместимыми понимаются такие события, которые не могут появляться вместе, одновременно; под независимыми собы­ тиями понимаются такие, появление которых не зависит от того, какое событие произошло перед этим; под данным классом испыта­ ний подразумевается совокупность неизменных условий, осуществ­ ление которых приводит к тому или иному событию. Например, при произвольном бросании монеты вероятность того, что она упадет той стороной, где изображен герб, составляет V2> так как число случаев, благоприятствующих этому событию, равно 1 (мо­ нета имеет только одну сторону с гербом), а число всех возможных случаев данного класса испытаний равно 2 (либо герб, либо надпись). При этом оба случая равновозможны (имеется одинако­ вая возможность выпасть гербу и надписи), несовместимы (появле­ ние герба исключает возможность появления надписи) и незави­ симы, так как появление герба не зависит от того, что перед этим выпадало — герб или надпись.

Другой пример: в ящике имеется 100 деталей, все детали за­ маркированы с № 1 по № 100. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет иметь № 40? Очевидно, что число случаев, благоприятствующих данному событию, равно 1, а число всех возможных случаев данного класса испытаний равно 100. При этом все случаи равновозможны, несовместимы и независимы друг от друга, т. е.

Пользуясь классическим определением понятия вероятности, можно вычислить вероятность какого-либо случайного события теоретически, не прибегая к опыту. Однако это не всегда выпол­ нимо, ибо на практике не всегда можно соблюдать такие условия, как равновозможность, независимость и другие, лежащие в основе классического определения. По этой причине наравне с классиче­ ским определением пользуются также статистическим определе­ нием вероятности.

При изучении массовых явлений какое-либо случайное событие или случайная величина могут появляться несколько раз в про­ цессе испытаний. Например, пусть при N испытаниях событие А фактически появилось f раз. Число / носит название частоты появления события А. Отношение частоты события А к общему числу испытаний N носит название частости события или относи­ тельной частоты, которую будем обозначать тА:

тА= ~дг •

Например, на станке обработано 100 деталей. При измерении деталей оказалось, что 85 из них имеют размеры, лежащие в пре­ делах допуска, а размеры остальных выходят за пределы допуска. Следовательно, частость события Л, заключающегося в появлении годных деталей при 100 испытаниях, составляет

_ 85 тл — 100-

Частость события В, заключающегося в появлении брака,

_ 15 Шв ~ 100’

Если случайное событие имеет устойчивую частость в серии массовых испытаний, т. е. в каждой серии испытаний частость этого события изменяется незначительно и колеблется вблизи некоторого положительного числа, то это число и принимается за вероятность данного события. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что частость появления события А близка к 0,5, то это число и будет прибли­ женно равно вероятности события. Вычисленную таким способом вероятность называют статистической, так как она получена

врезультате опытов.

2.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРАВИЛА

ИХ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Из классического определения вероятности Р (А) = — выте­

2. Вероятность противоположного события равна дополнению до единицы к вероятности данного события, т. е.

<7=1 — Р-

Например, в ящике 90 годных деталей и 10 негодных. Вероят­ ность извлечения годной детали р = 0,9. Вероятность противо­ положного события — извлечения негодной детали

q = 1 — р = 1 _ о , 9 = 0,1.

Правило умножения вероятностей. Как было указано выше, события могут быть независимыми и зависимыми. К независимым относятся такие события, вероятность появления каждого из которых не зависит от появления или непоявления любых других событий этого класса. Если же вероятность появления одного из событий данного класса изменяется от появления или непоявле­ ния других событий этого же класса, то такие события называются зависимыми. Например, если в партии деталей имеется несколько штук негодных, то извлечение негодной детали будет независимым событием при условии, что после каждого извлечения деталь будет возвращаться обратно. Но если после извлечения детали она не будет возвращена обратно, то извлечение второй раз брако­ ванной детали будет зависимым событием, так как вероятность изменяется от того, вынута первая деталь бракованной или годной.

Если события А и В зависимы, то вероятность появления события 5, вычисленная в предположении, что событие А насту­ пило, называется условной вероятностью события В и обозначается символом Р (BIA).

Для зависимых событий правило умножения вероятностей может быть сформулировано следующим образом: вероятность появления нескольких зависимых событий Л, В и С одновременно равна произведению их вероятностей, вычисленных для каждого из них в предположении, что предшествующие ему события имели место, т. е.

Р (А и В и С) = Р (А)-Р (В/А)-Р (CIAB).

Пример 1. В ящике находится 100 деталей, из них 10 бракованных. Опре­ делить вероятность извлечения подряд трех бракованных деталей, если после извлечения каждой детали они обратно в ящик не возвращаются: