Математическая статистика в технологии машиностроения

только при выборках объема и •> 10 и т > 10, то для использо­ вания критерия Вилькоксона необходимо брать выборки объемом не менее 12.

Пример 32. С двух станков, настроенных на обработку одной и той же детали, взяты текущие выборки объема п = т = 15. Результаты измерения деталей выбо­ рок приведены в табл. 25, где через х обозначены отклонения измеряемого размера от номинала в мкм для выборки со станка № 1, а через у — отклонения в мкм измеряемого размера для выборки со станка № 2.

Требуется определить, можно ли считать точность обработки двух станков одинаковой. Другими словами, нужно проверить нулевую гипотезу о том, что распределения погрешностей обработки двух станков описываются одинаковыми функциями распределения.

Расположим данные табл. 25 в общую последовательность в порядке возра­ стания результатов измерения (табл. 26).

По формулам (128) и (129) находим

°и= У ^ 1 Г ~ (15+15+ 1)™ 24,

величинами выражается в том, что на изменения одной случайной величины другая случайная величина реагирует изменениями своего математического ожидания или среднего значения. Таким образом, понятие корреляционной связи является более узким, чем понятие стохастической связи, так как математическое ожи­ дание является только лишь одним из параметров распределения и еще не определяет закона распределения в целом.

Если имеются две статистические случайные величины х, у и если различным значениям х соответствуют определенные сред­

ние для у, которые будем называть условными средними ух,

то связь между ух и х называется корреляционной связью у с х. Корреляционная связь может быть прямолинейной или криво­

линейной. В общем виде связь ух с х может быть выражена урав­ нением

Ух = Нх).

Это уравнение называют уравнением регрессии у на х, или

корреляционным уравнением.

2. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ И КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ОТНОШЕНИЕ

При изучении корреляционных связей возникает три основ­ ных вопроса: наличие связи, форма связи и сила связи. Для по­ лучения ответа на эти вопросы необходимо сначала вычислить коэффициент корреляции и корреляционное отношение.

Для вычисления коэффициента корреляции предварительно составляются корреляционные таблицы 27 и 28 результатов наблюдений. Таблицы имеет следующую структуру: по горизон­ тали вверху выписываются наблюденные значения случайной ве­ личины х, по вертикали слева — значения у.

Вкаждом столбце корреляционной таблицы против значений х

иу указываются их частоты.

По характеру таблицы можно ориентировочно судить о нали­ чии или отсутствии корреляционной связи между у их. Например,

94

ё табл. 27 она обнаруживается, а в табл. 28 ее нет, так как у Изме­ няется одинаково при всех значениях х.

Имея корреляционную таблицу, подобную табл. 27, и обозна­ чив через пху частоту некоторой пары значений х и у, вычисляют

которая равна частному от деления на общее число наблюдений суммы произведений отклонений значений хм у от их средних X

и Y на соответствующие частоты. Эта величина Сху носит назва­ ние ковариации х и у. Частное от деления величины Сху на про­ изведение средних квадратических отклонений величин х и у, которые обозначим через ах и оуу называется коэффициентом корреляции х и у и обозначается через гху:

Основные свойства коэффициента корреляции и корреляцион­ ного отношения. 1. Если коэффициент корреляции гху равен плюс или минус единице, т. е.

Гх у = ±1,

то х и у связаны точной прямолинейной связью вида

у = а + Ьх

или

х= с + dy.

2.Если гху = 0, между х и у не может существовать прямо­

линейной корреляционной связи, но криволинейная возможна. 3. Чем ближе гху к ±1, тем точнее и теснее прямолинейная корреляционная связь между х н у . Она ослабевает с приближе­

нием гху к нулю.

4. Если корреляционное отношение г]v = 0, то между у и х нет корреляционной связи.

5.Если г\у — 1, то у связано с х однозначной связью, т. е. всякому значению х соответствует одно определенное значение у.

6.Чем ближе г\у к единице, тем теснее связь у ох, чем ближе

кнулю, тем эта связь слабее.

7. Если •Цу = \ гху\, то регрессия у на х точно линейна и обратно: если регрессия у на х точно линейна, то г\у ~~ I гух |*

3, ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ СВЯЗЬ

Если на основании анализа коэффициента корреляции и корре­ ляционного отношения установлено наличие прямолинейной кор­ реляционной связи между у и л*, то эту связь можно выразить в виде следующего уравнения:

а уравнение (140) — уравнением регрессии^у на х.

Так как в уравнении (140) величины Ь, у , X являются постоян­ ными, то после подстановки их числовых значений уравнение примет вид

Вычисление коэффициента корреляции и корреляционного от­ ношения удобно производить с помощью вспомогательных таб­ лиц. Построение этих таблиц покажем на примере.

Пример 33. Вычислить коэффициент корреляции и корреляционное отноше­ ние для данных, сведенных в корреляционную табл. 27, и составить уравнение регрессии у на х.

Для удобства выполнения необходимых вычислений составим табл. 29. В этой таблице в столбце 1 записываются частоты ту значений у, а в строке 1 —

частоты пх значений х. По столбцу 1 и строке 1подсчитываются суммы, которые должны совпасть.

В столбце 2 записываются произведения туу , а в столбце 3 — произведе­ ния ту >у2, для образования которых необходимо перемножить значения столбца 2 на соответствующие значения у. В строке 2 записываются произведения пх -х,

96

Корреляционная таблица с данными для расчета коэффициента корреляции

а в строке 3 — произведения х2, для образования которых надо перемножить значения строки 2 на соответствующие значения х.

В каждой клетке строки 4 записывается сумма произведений частот пху

ваются произведения значений строки 4 на соответствующие значения х. В строке 6 вычислены ух путем деления значений строки 4 на значения строки 1, т. е.

Ух

Yin*yy

Пх

Пользуясь данными табл. 29, легко вычислить статистические характери­

^ху- £№«•») _*F_!f_2,4.3,3-,,075;

Близость коэффициента корреляции к единице указывает на довольно тесную прямолинейную корреляционную связь между у и х .

Используем этот же пример для вычисления корреляционного отношения %, которое вычисляется по формуле (138), но для использования этой формулы необ­ ходимо сначала вычислить о' по формуле (139).

Таким образом, мы получили, что т]^ = гху. Это указывает на наличие точной линейной регрессии у на х . Составим уравнение линейной регрессии у на х, пользуясь формулой (140):

й - 3,33 = 0,826-Ь2° (ж-2,4);

ух = 0.92л: + 1,13.

Вычислим по этому уравнению теоретические значения ух для значений х и сопоставим их с наблюденными значениями ^ из табл. 29:

На рис. 28 дано графическое изображение линейной связи у с х.

Если значения х и у выражены многозначными числами, то для упрощения вычислений параметров уравнения регрессии у на х , коэффициента корреляции, корреляционного отношения и статистических характеристик распределений можно переменные х и у заменить на

где ах и ау — новые начала отсчетов, в качестве которых рекомендуется прини мать значения х и у с наибольшими частотами;

Сх и Су — величина интервала по х и у.

Если при наблюдениях получено небольшое значение гху и возникает вопрос, не случайно ли значение гху отличается от нуля и не равен ли действительный коэффициент корреляции нулю, то этот вопрос разрешается сравнением числен­ ного значения гХу с ог.

Поэтому, если