Математическая статистика в технологии машиностроения

Способ длины и числа серий. Пусть имеется последователь­ ность, в которой наблюдается случайное чередование т элемен­ тов, состоящее из п г элементов первого рода и п 2 элементов вто­ рого рода. Если обозначить элементы первого рода буквой а, а элементы второго рода буквой 6, то такую последовательность можно представить в виде чередования букв а и 6, например:

a a a b b a a b a a b b b b a a b b a b .

Данная последовательность состоит из 10 элементов а и 10 эле­ ментов Ьут. е. п 1 10, /г2 = 10 и т = п 1 + п 2 = 10 + 10 = 20.

Совокупность следующих друг за другом одинаковых элемен­ тов называется серией. Число элементов, входящих в серию, на­ зывается длиной серии. В нашем примере последовательность со­ стоит из 10 серий, в том числе имеется 5 серий из элементов а и 5 серий из элементов Ь. Эти серии расположены в следующей по­ следовательности: серия а состоит из трех элементов, серия b — из двух, серия а — из двух, серия b — из одного элемента и т. д.

критические значения К и R в случайных выборках объема п =

Из приведенных данных следует, что, например, в выборке объема п = 10, если она случайна, появление серии длиной К = 5 или более имеет вероятность q = 0,05. Такую же вероятность имеет появление серии длиной К ^ 6 для выборок объема п = = 1 l-f-14. Так как вероятность q = 0,05 очень мала, а маловероят­ ные явления практически осуществляются очень редко или почти не осуществляются, то появление в выборке объема п такой длины серии Ку какая приведена выше или более этого значения, укажет на то, что данная выборка является не случайной.

Критические значения чисел серий R в случайной выборке объема п при доверительной вероятности q = 0,05:

Например, в выборке объема п = 10, если она случайна, можно встретить общее число серий R ^ 3 только с вероятностью

q == 0,05, а в выборке объема п = 41-4-50 с такой же вероятностью можно встретить R С 19. Поэтому, если в действительности в вы­ борках объема п встретится такое общее число серий R, какое ука­ зано выше для соответствующего п или менее этого числа R, то в силу принципа практической невозможности маловероятных яв­

Таким образом, если обозначим наблюденное значение длины серии в выборке буквой Кн, а наблюденное значение общего чи­ сла серий RH, т о д л я принятия гипотезы случайности выборки не­ обходимо наличие следующих двух условий одновременно:

КН< К \ RH> R ,

где К и R — табличные значения критерия для соответствую­ щих значений п.

Для того чтобы гипотезу случайности отвергнуть, достаточно наличие хотя бы одного из двух условий:

К н ^ К , R H^ R .

Сама процедура проверки гипотезы «случайности» выборки из генеральной совокупности с непрерывным распределением заклю­ чается в следующем. Берется выборка объема п и значения ее чле­ нов xi (например, действительных размеров) записываются в по­ рядке извлечения экземпляров выборки. Затем определяется ме­ диана наблюденного ряда значений xt и производится разбивка наблюденного ряда значений на два класса: на большие медианы и меньшие медианы. Значения xi, большие или равные медиане, обозначают буквой а, значения xt, меньшие медианы,- буквой Ъ. Таким образом, вся последовательность наблюденного ряда зна­ чений Х[ разбивается на элементы а и Ь, где

а = х* Ss Me, b = X/ < Me.

Составив последовательность из элемента а и Ь, определяют наибольшую длину серии Кн и общее число серий RH. Затем срав­ нивают Кн и RHс табличными значениями этих критериев и по ре­ зультатам сравнения принимают или отвергают нулевую гипотезу. Нулевая гипотеза всегда заключается в том, что выборка предпо­ лагается «случайной».

Пример 27. С автомата, обрабатывающего ролики диаметром D = 20_оло мм, взята текущая выборка объема п = 20. Действительные размеры роликов в по­ рядке их изготовления имеют следующие значения: 19,89; 19,92; 19,87; 19,86; 19,89; 19,90; 19,95; 19,84; 19,90; 19,88; 19,91; 19,88; 19,93; 19,92; 19,84; 19,86; 20,0; 19,92; 19,94; 19,96.

Необходимо установить, является ли данная выборка случайной. Другими словами, выяснить, не было ли смещения центра распределения размеров в пе­ риод отбора пробы.

Для проверки гипотезы случайности выборки воспользуемся критериями К и R. С этой целью сначала определим медиану наблюденного ряда значений раз­ меров. После расположения этого ряда в возрастающем порядке оказалось, что М е = 19,90 мм. Теперь представим наблюденный ряд значений размеров Df

ег

Результаты измерения диаметра втулок

о\ = 02- Пусть теперь наша гипотеза заключается в том, что генеральные средние

в моменты взятия выборок были равны между собой, т. е. Xoi = ЛогДругими словами, настройка станка в момент взятия пробы № 1 и № 2 не изменилась.

В результате вычислений средних арифметических и дисперсий выборок по­ лучено

тий втулок показали, что средняя величина разбивки отверстий (разность между

Необходимо установить, влияет ли диаметр развертки на величину раз­ бивки отверстий, если предварительными опытами установлено, что рассеива­ ние величин разбивки подчиняется нормальному закону распределения. Наша нулевая гипотеза будет состоять в том, что размер развертки не влияет на вели­ чину разбивки.

v

По таблице приложения 5 этому значению t соответствует Р = 0,31. Эта вероятность не мала, следовательно, наша нулевая гипотеза верна, т. е. можно считать, что размер развертки в пределах от d = 6 мм до d = 10 мм не ока­ зывает существенного влияния на величину разбивки отверстий.

Случаи выборок не из нормальной совокупности. Если выборка взята из генеральной совокупности, распределение которой не сле­ дует закону нормального распределения, то оценка расхожде­ ния двух выборочных средних возможна лишь приближенная.

Для этой цели также определяется величина /, причем t вычисляется так же, как и в предыдущем случае по формуле (118) или (119) в зависимости от объема выборок.

Если окажется, что / ^ . 8, то с большой вероятностью (которая, однако, остается неопределенной) можно считать, что средние Х \ и Х 2 различаются суще­

ственно друг от друга и, наоборот, при t < 3 расхождение между Х \ и Х 2 с большой вероятностью можно считать несущественным, случайным.

в. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ РАВЕНСТВА ДВУХ ВЫБОРОЧНЫХ ДИСПЕРСИЙ

Пусть имеются две выборки из нормальной совокупности. Объем каждой выборки равен п х и п2. Дисперсии этих выборок

соответственно равны s\ и si. Можно ли считать при наличии

некоторых различий между величинами s? и si, что данные вы­ борки принадлежат одной и той же генеральной совокупности? Или можно поставить вопрос так: произведено два опыта, из ко­ торых один опыт производился с фактором А, а другой — без него. Каждый опыт повторялся п раз. В результате обработки статис­ тических данных получено, что дисперсия признака х в опытах

с фактором А равна величине sh, а без него — s§. Оказывает ли существенное влияние исследуемый фактор А на признак х? Для ответа на поставленные вопросы необходимо произвести срав­ нение дисперсий и оценить, является ли существенным их раз­ личие. Сравнение дисперсий производится по их отношению:

В числителе всегда ставится наибольшее значение, из двух на­ блюденных дисперсий. Для этого отношения найден закон рас­ пределения его в бесконечной совокупности случайных незави­ симых выборок из нормальной совокупности. По этому закону вычислены значения Т (в зависимости от k 1 — n 1 — 1 и k 2 — = п2 — 1), которые можно встретить в выборках из нормальной совокупности для различных уровней доверительной вероят­ ности, сведенных в таблицы. Таблица значений Т для доверитель­ ной вероятности q = 0,05 приведена в приложении 6.

Для проверки нашей гипотезы необходимо вычислить наблю-

табличного Т (Тн ^ Т), то такое значение Тн в выборках из нор­ мальной совокупности можно встретить лишь с вероятностью не более той, которая принята в качестве доверительного уровня. Если пользоваться данными таблицы приложения 6, то такой вероятностью является Р — 0,05. Так как эта вероятность очень мал^ то по принципу практической невозможности маловероятнъйс явлений надо считать, что наблюденное значение Тн отли-

86

чается от табличного не случайно, а существенно, и поэтому наша гипотеза должна быть забракована. Если же окажется, что тн< < 7 \ то гипотеза принимается.

Пример 30. С двух автоматов, обрабатывающих одинаковые детали, взято две выборки п1 = ^2 = 10. При этом оказалось, что s\ = 400 мклi2 и s| =

= 325 мкм2. Ранее было установлено, что рассеивание размеров деталей, обра­ ботанных на автоматах, следует нормальному закону распределения.

Можно ли считать, что оба станка обеспечивают одинаковую точность обра­ ботки? Предположим, что оба станка дают одинаковую точность и наблюденное расхождение между дисперсиями случайно. Для проверки нашей нулевой гипо­ тезы определим критерий Тн\

По таблице приложения 6 для Р = 0,05 при k ± = k 2 = 9 находим Т = 3,23, следовательно, Тн < Т. Поэтому надо считать нашу гипотезу верной, а наблю­ денное различие в значениях дисперсий выборок случайным.

Случай выборок не из нормальной совокупности. Если выборки берутся из совокупностей, незначительно отличающихся от нор­ мальных, то для сравнения дисперсий можно пользоваться кри­ терием Т . Но если совокупность имеет распределение, значи­ тельно отличающееся от нормального, то можно сравнивать дисперсии только для больших выборок. В этом случае за критерий оценки может быть взято отношение

Если это отношение ts ^ 3, то расхождение между дисперси­ ями существенно; если ts < 3 — расхождение несущественно.

7. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ РАВЕНСТВА РЯДА ДИСПЕРСИЙ

Пусть имеется m выборок не равных объемов /г/, взятых из од­ ной или пг генеральных совокупностей, имеющих нормальные рас­ пределения. При этом дисперсии этих совокупностей имеют оди­

наковые значения, т. е. о\ = о\ = (Тз = • • • = oh = а2, а ма­ тематические ожидания могут быть и не равны друг другу.

Дисперсии выборок s?, si, ., sm, вычисленные по фор­ муле (9), несколько отличаются друг от друга по величине. Тре­ буется проверить гипотезу о том, что это различие дисперсий выборок носит случайный характер, и, следовательно, дисперсии

генеральных совокупностей а?, из которых взяты выборки, равны

{ 122)

N — т

будет иметь распределение %2 с (N — т) степенями свободы.

Для вычисления Q пользуются следующей формулой, в кото­ рой сделан переход от натуральных к десятичным логарифмам:

боды. Если Q <С х2»то гипотеза принимается, если Q >> %2, то ги­ потеза бракуется.

Для вычисления Q рекомендуется составлять вспомогатель­

3т (я — 1)

Вспомогательная таблица для вычисления

где s2 вычисляется по формуле

т1=1

Однако при равном объеме выборок проверку гипотезы од­ нородности дисперсий проще производить упрощенным приемом [5], основанным на вычислении критерия G:

Критические значения G для 5%-ного уровня значимости в за­

G (GH< G), то гипотеза однородности дисперсий генеральных совокупностей, из которых были взяты выборки, принимается. Если GH>> G, то гипотеза бракуется.

Пример 31. С четырех автоматов, настроенных на обработку одних и тех же деталей, взято по одной текущей выборке объема п1 = п2 = п3 = д4= 10.

Дисперсии выборок имеют следующие значения: s\ = 100 мкм2, ^ = 300 мкм2>

S3 = 200 Л€/слг2, = 400 мкм2. Требуется установить, одинакова ли точность

автоматов, т. е. одинаково ли рассеивание случайных погрешностей обработки на этих автоматах, если предварительными исследованиями установлено, что это рассеивание подчиняется закону нормального распределения.

Для решения поставленной задачи необходимо проверить гипотезу однород­ ности выборочных дисперсий. Проверку этой гипотезы произведем при помощи критерия Q Бартлета и критерия G.

Для вычисления критерия Q по формуле (125) нужно вычислить s2, lg s и

£ i g S?.

т. е. наблюденные значения s? отличаются друг от друга случайно. Это подтвер­ ждается и критерием G:

г 400 па ° н= Тооо = 0,4‘

По таблице приложения 14 для доверительной вероятности q = 5% G = 0,5. Так как GH < G, то гипотеза подтверждается.

8. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ 0 ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ДВУХ ВЫБОРОК К ОДНОЙ И ТОЙ Ж Е ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Пусть имеются две серии независимых испытаний однородных величин х и у. При этом наблюденные значения xt и yt дают раз­

личные значения средних (X ф Y) или обнаруживают различные рассеивания (S* =+ Sv). Возникает вопрос, можно ли считать эти расхождения существенными или они носят случайный ха­ рактер. Например, с двух станков, настроенных на обработку одних и тех же деталей, взяты две текущие выборки. Средние и дисперсии этих выборок отличаются друг от друга. При этом за­ кон распределения генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, неизвестен. Требуется проверить, обеспечивают ли оба станка одинаковую точность обработки.

Нулевая гипотеза в данном случае будет заключаться в том, что функции распределения х н у тождественны, т. е. выборки при­ надлежат одной и той же генеральной совокупности. Для проверки этой нулевой гипотезы может быть использован критерий Вилькоксона, основанный на числе инверсий. Под инверсиями в дан­ ном случае понимается следующее. Наблюденные значения х

иу в двух выборках располагают в общую последовательность

впорядке возрастания, например, в виде

Ух У2 * 1 * 2 Уз Vi Уъ *з Уз *4.