Математическая статистика в технологии машиностроения

п

Для соблюдения условия 21 £? = min необходимо, чтобы сумма

частных производных по а, (}, у уравнения (188) обращалась в нуль, а следовательно, и каждая из этих частных производных должна обратиться в нуль:

производных в нуль, будут представлять собой наиболее подхо­ дящие значения коэффициентов.

Y E z2 + a E*z + P Ei/z — EzlV = 0..

Эти уравнения носят название «нормальных». Решая их отно­ сительно а, р и у, получим наилучшие значения коэффициентов, удовлетворяющих принципу наименьших квадратов.

Сравнивая уравнения (186) и (189), нетрудно заключить, что для получения нормального уравнения, например для а, необ­ ходимо все члены из условных уравнений (186) помножить на коэффициент при а и затем почленно сложить. Так же получаются нормальные уравнения для других коэффициентов. В связи с этим отпадает необходимость прибегать каждый раз к возведению в ква­ драт и дифференцированию уравнений, так как все можно свести к указанным арифметическим действиям, которые выполняются механически.

Если уравнение имеет вид линейной зависимости

у = а + Ьху

Рассмотрим еще один случай, когда уравнение имеет вид пара­ болы третьего порядка:

Чтобы сумма квадратов отклонений

была наименьшей, необходимо выполнить четыре условия (по числу неизвестных коэффициентов а 1, а 2, а 3> Р):

Возведя в квадрат правую часть уравнения (195) и взяв част­ ные производные от него по а х, а 2, а 3, р и приравняв их нулю, получим четыре нормальных уравнения:

Решив эти уравнения, найдем искомую параболу третьего порядка.

Способ наименьших квадратов очень удобен для вычисления параметров уравнений линейных и параболических регрессий. Покажем это на примере, заимствованном из [7].

Пример 38. В результате статистических исследований установлено, что между овальностью колец после их обточки х и термической обработки у суще­ ствует корреляционная связь, которая приведена в табл. 36. В таблице приведены

также значения условных средних ух для каждого значения х, вычисленные по формуле:

ния х;

— сумма частот значений у для данного значения х.

На основании вычисленных значений ух на рис. 32 построена эмпирическая кривая регрессии у на х. По внешнему виду кривой можно заключить, что она близка к параболе второго порядка. Поэтому уравнение теоретической кривой регрессии у

Решая эту систему, получим а = —0,0233; Ь' = 0,740; с' = —0,159. Зави­ симость между ух и х' выразится уравнением

~Ух = —0,0233 + 0,740л:' — 0,159л:'2-

Произведя в этом уравнении замену переменных

откуда

ух = 8,607 + 2,752л; — 0,0636л:2.

На рис. 32 по этому уравнению построена теоретическая кривая регрессии у на х (показанная сплошной линией).

В исследованиях по резанию металлов большое распростране­ ние имеют уравнения в виде степенных функций. Чтобы опреде­ лить наиболее надежные значения постоянной и -показателей степеней в таких уравнениях, также пользуются способом наи­ меньших квадратов. Для этого с помощью логарифмирования при­ водят степенную функцию к уравнению вида (183). Например, уравнение типа

в котором надо определить а, р и С путем логарифмирования, приводим к виду

получим уравнение вида (183).

Следовательно, метод наименьших квадратов можно применить и к определению постоянной С и коэффициентов а и (5 в уравне­ нии (199). При этом необходимо заметить, что ошибка [уравнение (187)] здесь представляет собой логарифм числа, а не число, т. е. наиболее подходящими значениями коэффициентов будут те, при которых сумма квадратов логарифмов величин ошибок яв­ ляется наименьшей.

По аналогии с предыдущим для решения задачи необходимо на основе экспериментальных данных иметь п уравнений типа

7 = 5 а '+ 256';

34 = 25а' + 656'2.

Решив эти уравнения, получим

а '= —0,15 и Ь' = 0,58.

Следовательно,

ух = - 0 , 1 5 + 0,58*'.

Заменив переменные ух на ух, х' на х, получим

или

У х = 16,9+ 1,16*.

Вычислим теоретические значения Y 0i для уравнения прямой и для уравне­ ния параболы Y 0i = 8,706 + 2,752 х — 0,0636 х2 и сумму квадратов отклонений их от эмпирических значений ух. Результаты вычислений приведены в табл. 38.

аи= Y ^ = h б5;

] /+ - = ° .б 9 .

Таблица 38

Значения Y 0 и (ух — Y 0) 2

Следовательно, уравнения параболы второго порядка более точно выражают характер эмпирической кривой, так как <т02 < сг01.

деталь. Поэтому в зависимости от вида обрабатываемой поверхности и изучаемого параметра точности обработки устанавливается и до­ минирующая причина постоянных погрешностей. Например, при обработке наружных и внутренних поверхностей резцом или фре­ зой доминирующей причиной постоянных погрешностей обработки будет неточность установки режущего инструмента на размер; при обработке мерным инструментом (разверткой, зенкером, про­ тяжкой и т. п.) основной причиной постоянных погрешностей будет неточность изготовления режущего инструмента; при нарезании резьбы на токарно-винторезном станке основной причиной по­ стоянной погрешности шага нарезаемой резьбы будет неточность шага ходового винта станка и т. д.

Для погрешностей формы и взаимного расположения поверх­ ностей основными источниками постоянных погрешностей будут являться геометрические неточности станка.

Функциональные погрешности обработки возникают вследствие размерного износа режущего инструмента и его температурных деформаций от нагрева в процессе резания, в результате темпера­ турных деформаций станка и температурных деформаций обраба­ тываемой детали. Все эти погрешности являются функцией вре­ мени работы станка и режущего инструмента. Однако нужно заметить, что температурные деформации станка носят временный характер. По истечении определенного времени работы его тем­ пература стабилизируется и деформация частей станка прекра­ щается, а погрешность, возникающая по этой причине, прев­ ращается в постоянную.

Главными причинами возникновения функциональных погреш­ ностей обработки следует считать размерный износ режущего ин­ струмента и его температурные деформации.

При работе на настроенных станках или при работе мерным режущим инструментом размерный износ систематически изме­ няет размер каждой новой детали на удвоенную величину износа инструмента при выполнении диаметральных размеров или только на величину износа при выполении размеров длин. Исследова­ ниями установлено, что размерный износ и режущих инструмен­ тов протекает во времени т по закону, выражаемому кривой У, показанной на рис. 33. Эта кривая имеет три участка: первый участок (от 0 до т„) характеризует изменение износа инструмента в период его приработки; это так называемый начальный износ инструмента; второй участок (от т„ до т*) характеризует нормаль­ ный износ инструмента и третий участок (от тк до конца кривой) — катастрофический износ, когда наступает быстрое разрушение инструмента.

Если работа производится предварительно доведенным инстру­ ментом, размерный износ будет изменяться во времени по закону прямой (см. рис. 33, линия 2). При этом период стойкости инстру­ мента увеличится, так как доводка инструмента повышает его износостойкость в 1,5 и более раз.