Математическая статистика в технологии машиностроения
..pdfкривой не изменяется, но изменяется ее положение относительно начала координат (рис. 12). С изменением а положение кривой не изменяется, но изменяется ее форма. С уменьшением а кривая становится более вытянутой, а ветви ее сближаются; с увеличе нием <т, наоборот, кривая становится более приплюснутой, а ветви ее раздвигаются шире (рис. 13).
Интегральный закон нормального распределения выражается в общем виде так:
f |
|
, |
г - |
dx. |
(43) |
р (х)= j cp(x)dx = ^ |
j |
е |
|||
Интегральная кривая |
нормального |
распределения |
представ |
||
лена на рис. 14.
Рис. 12. |
Влияние X |
на положение |
Рис- |
Влияние величины |
а на |
кривой |
распределения |
относительно |
форму |
кривой нормального |
распре- |
|
начала координат |
|
деления |
|
|
Если случайная величина х следует нормальному закону, то достоверно, что она может принимать любые численные значения в пределах ± о о , поэтому
j |
? |
(х—’х)2 |
(44) |
Р (— оо < X < + оо) : |
|
2ст2 dx= 1. |
|
о И2я J |
|
|
|
Вероятность Р (—оо << х <С + о о ) |
= |
1 представляет собой пло |
|
щадь под дифференциальной кривой нормального распределения. Очевидно, что вероятность значений х в любом другом интервале
— *2 (см. рис. И) меньше единицы и будет |
равна |
|
|
Л3 |
( х - х ) 2 |
|
|
*• |
|
|
|
Р(х1 < Х < Х . ^ а 1/Л2л Jе |
20' |
dx. |
(45) |
Произведем замену переменной х путем подстановки
* - Х = /
И, учитывая, что х = ta + X; dx = odt, получим
|
|
|
|
1 |
|
12 |
|
|
Р ( Х 1 < Х < Х 2) |
|
2 dt. |
||||||
V2тс |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
х |
_х |
и t2 ~ хг - Х |
|
Новые пределы интегрирования tx = —^ |
— |
|||||||
заменили пределы х г |
и х 2. |
Правую часть уравнения (46) можно |
||||||
представить в виде суммы |
двух |
интегралов: |
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
<* |
|
|
P{xl < x < x i) = —7W. J |
е |
2 dt -f |
| е |
2 dt |
||||
|
|
J/2JX |
|
|
о |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
J- |
|
|
|
(47) |
||
V~2n |
|
|
|
|||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
Знак плюс в уравнении (47) изменился на минус вследствие |
||||||||
изменения пределов |
интегрирования |
с tx — 0 |
на 0 — |
|||||
1 Г -— |
|
|
носит |
название нормирован- |
||||
Интеграл у -__ j е |
|
2 dt = Ф (t) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y_ X |
|
ной функции Лапласа и его значения для различных t = ---- ----- |
||||||||
приведены в приложении 1. Эта функция нечетная, следовательно, Ф (—t) = —Ф (/) и для отрицательных значений t табличные дан ные берутся со знаком минус. В приложении 1 приведены также двойные значения функции, т. е.
t |
__ 1 |
+ t |
iL |
2 dt = |
|
||
V 2 n |
r j ; |
2 dt. |
|
|
k |
|
Таким образом, вероятность того, что случайная величина, подчиняющаяся закону нормального распределения, при испыта ниях примет значение в пределах х г — х 2, может быть записана через Ф (/) следующим образом:
Р(х1< х < х 2) = Ф (t2) - Ф (h) = Ф |
- Ф ( - ^ = ^ ) . |
У теоретической кривой нормального распределения ветви ее асимптотически приближаются к оси абсцисс и встречаются с по следней где-то в бесконечности, т. е. зона рассеивания случайной величины х лежит в пределах ±оо. Для практического использо вания закона нормального распределения необходимо зону рас сеивания случайной величины х ограничить конечными пределами. В технике и многих других прикладных науках считают, что прак-
32
тическая зона рассеивания случайной величины х, подчиняющейся
закону нормального распределения, лежит в пределах X ± За, т. е. в пределах 6а (см. рис. 1 1 ).
Нетрудно убедиться в том,_что значения случайной величины
х будут лежать в интервале от X — За до X + За с вероятностью, весьма близкой к единице. Действительно, в этом случае
Р {Ха < X < ХЬ) = Ф (/2) — Ф (/х),
р |
_За <С X < |
X 4- |
Рис. |
Кривая интегральной функ- |
|
|
^ |
^ |
^ |
ции |
нормального распределения |
+ За] = Ф (3)— Ф (— 3) = 2Ф (3).
Согласно приложению 1 2Ф(3) = 0,9973. Таким образом, ве роятность q появления случайной величины вне указанного интер вала не превосходит q = 1 — р = 1 — 0,9973 = 0,0027, т. е. очень мала. Поэтому в технике принято зону рассеивания случай ной величины х, подчиняющуюся нормальному распределению,
ограничивать трехсигмовыми пределами. Если X = 0, т. е. сов падает с началом координат, то уравнение (43) примет вид
X2
2<J’ dx.
|
—/оо |
Вводя замену |
= /, получим |
Но |
t2 |
|
|
|
|
||
dt = ^ , |
|А12я I е 2 dt = Ф(/), |
|
|
поэтому |
|
(48) |
|
/Ч*) = 4 - + |
Ф(0. |
||
|
^Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И УКЛОНЕНИЙ ОТ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА
Закон нормального распределения является симметричным от
носительно ординаты точки х = X. Однако на практике встре чаются кривые распределения, уклоняющиеся от нормального рас
пределения. Они могут быть асимметричными, когда X не сов падает с Мо, или иметь большую или меньшую крутизну, когда вершина кривой распределения является более острой или более плоской по сравнению с теоретической кривой нормального рас пределения (рис. 15).
Рис. 15. Кривые распределения с уклонениями от нормального:
а и б —асимметричные; в —остро- и плосковершинные
Для оценки уклонений распределения от нормального поль зуются двумя безразмерными характеристиками: Коэффициентом асимметрии а и коэффициентом крутости или эксцессом т. Асим метрия считается положительной, если Мо лежит влево от орди
наты Ху и отрицательной, когда она лежит справа от X. Мера асимметрии вычисляется по формуле
2 Ы - х ) 3п
i = 1 |
(49) |
|
где п — объем совокупности.
Меру асимметрии точнее можно вычислить с помощью моментов
а = |
(50) |
V А |
' |
Если а >» 0, то асимметрия положительная; при а < 0 — асим метрия отрицательная; при а = 0 — асимметрия отсутствует.
Мера крутости (эксцесс) распределения вычисляется по фор муле
23 ( x i - x f f i
/=•1
или с помощью моментов по формуле
Если т > 0, то вершина кривой выше нормальной, эксцесс по ложительный; если т < 0 , вершина ниже нормальной, эксцесс отрицательный; при т = О эксцесс отсутствует, кривая нормаль ная.
S. ЗАКОН РАВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Закон распределения случайной величины непрерывного типа обычно задается либо с помощью плотности вероятности ср (х), либо с помощью функции распределения F (х). Если непрерывная случайная величина х при испытаниях принимает все значения интервала (а — Ь) с одинаковой плотностью вероятности, то рас пределение плотности вероятности графически будет выражаться в виде прямоугольника с основанием ab и высотой ф (х) = const
Рис. 16. |
График дифференциальной |
Рис. 17. График интегральной функции |
функции |
равномерного распределе- |
равномерного распределения |
|
ния |
|
(рис. 16). Такой закон распределения непрерывной случайной вели чины называется законом равной вероятности, а само распределе ние — равномерным.
При интервале изменений случайной величины х от а до Ь:
ь
Р (а < х < £ > ) = j ф (x)dx= 1 ,
а
т. е. вероятность того, что случайная величина х при испытаниях будет принимать значения в интервале от а до Ь, равна площади под дифференциальной кривой распределения. В соответствии с рис. 16 эта площадь представляет собой прямоугольник с осно ванием ab и высотой ф (х)у, следовательно,
(Ь — а) • ф (х) = |
1 . |
3’ |
35 |
Отсюда уравнение дифференциальной функции распределения или плотности вероятности будет иметь следующий вид:
|
|
Ф(*) = ~ь~а |
(а |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ср (Л-) = 0 |
(х > |
Ь] |
х < |
а). |
|
|
|
|
||
Закон равной вероятности имеет два параметра: Мх «=* X и а2, |
||||||||||||
которые согласно формулам (4) и (8) равны |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ь |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
Мх = jx(f(x)dx = |
|
|
J x dx = |
|
|
|
(54) |
||||
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
o2 = J (x — M x f ф (x) dx = |
|
J |
(x — |
) 2dx = |
(6~ a)2, |
(55) |
||||||
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° = V |
J ^ |
E |
- |
Ш |
- |
|
|
|
<56) |
Интегральная функция равномерного распределения выра |
||||||||||||
жается |
следующим |
уравнением для |
(а <С х <С Ь): |
|
|
|
||||||
F W = f > |
W ^ |
а |
|
а |
|
+ |
J |
|
|
• |
(57) |
|
|
а |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
Если |
х < |
а, то |
Е (х) = |
0; если х ^ |
Ь, то |
F(x) |
= 1. |
Когда |
||||
а = —Ь, Мх = 0, то о b]^J |
-~ = -g- и |
д л я |
эт о го |
сл у ч а я |
||||||||
ние (57) |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
F W = 4 - + - F ^ V - |
|
|
|
|
(5 * ) |
||||
График интегральной функции распределения приведен на рис. 17.
г
( в. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА (РЕЛЕЯ)
Закон распределения эксцентриситета, или закон Релея, имеет место при отклонениях эксцентриситета осей или биении поверх ностей деталей, которые являются непрерывными случайными величинами. Этот закон однопараметрический и дифференциаль ная функция распределения его имеет выражение:
Ф(Я) = |
(59) |
где R — переменная величина эксцентриситета или биения, при чем R = У х 2 + у2, а х и у — координаты точки конца R (рис. 18);
о ~ среднее квадратическое отклонение значений координат х и у , имеющих одинаковое распределение; поэтому
О = (7Х = Оу.
Интегральный закон распределения эксцентриситета имеет выражение
R |
R2 |
R* |
|
F(R) = ~ ^ R e |
2a‘ d R = l — e |
2о* |
(60) |
о |
|
|
|
Графическое изображение дифференциального закона распре деления эксцентриситета дано на рис. 19.
Рис. 18. Эксцентриситет оси отвер |
Рис. 19.Трафик дифференциальной функ |
стия относительно оси валика |
ции распределения эксцентриситета |
Особенностью данного распределения является, то что в осно ве его лежит нормальное распределение, так как координаты х и у точки конца R распределены нормально, а само распределение
R не является нормальным. Связь между oR, R и о выражается следующими зависимостями:
K = ° V l r - ’ |
^ = |
где R — среднее значение |
(математическое ожидание) случай |
ной величины' R ; |
|
aR — среднее квадратическое отклонение R от R.
7.ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОДУЛЯ РАЗНОСТИ
Если две случайные величины x L и х 2 каждая_в отдельности имеют_нормальное распределение с параметрами Xi и Хг и о\ = = о2 = о2, то модуль разности этих величин
г = 1*1 — *2 |
имеет распределение, которое носит название закона распределе ния модуля разности. Этому закону распределения, например, часто подчиняются погрешности взаимно расположенных поверх-
37
ностей и осей, а также погрешности формы деталей: овальность, конусность. *
Плотность вероятности или дифференциальная функция рас пределения случайной величины г выражается следующим урав нением:
|
(r- х о)2 |
_ (r+XoY |
|
|
ф (г ) = |
2< |
+ е |
2аi, |
(61) |
V2n L |
|
|||
|
|
|
|
|
где Х 0 = |X j — Х 3| и сг0 являются параметрами |
распределения |
|||
модуля разности г. |
|
|
|
|
Интегральная функция распределения модуля разности г вы ражается следующим уравнением:'
|
|
|
Г |
(г-х о)2 |
(г+хо)2 |
|
|
|
||
F(r) _ |
_ |
1_ |
Г |
2а? |
+ е |
2а? |
dr. |
(62) |
||
|
|
|
||||||||
|
а0 V 2л |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведя замену переменных в уравнениях (61) |
и (62): |
|||||||||
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
получим следующие выражения: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(Р-Ро) 2 |
_ |
(Р+Ро) 2 |
|
|
(63) |
|
< р (р )= ; л ^ |
; |
2 |
+ е |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(р-Ро) 2 |
+ е |
(Р+Ро) 2 |
dp. |
|
(64) |
|
' W |
- T S T J |
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вид кривой |
распределения ф(р) зависит от значения |
р0. При |
||||||||
р0 = 0 кривая |
резко асимметрична, |
при |
р0 = |
3 она совпадает |
||||||
с кривой нормального распределения (рис. 20). |
/2> то |
уравнение |
||||||||
Если обозначить |
р — р0 = |
tx, а |
р + |
р0 = |
||||||
(64) можно заменить следующим уравнением: |
|
|
|
|
||||||
F (Р) = Ф (*,) + Ф (/*) = |
Ф (р - Ро) + Ф (Р + |
Ро). |
(65) |
|||||||
так как каждое слагаемое уравнения (64) является функцией Лап
ласа |
dt. |
|
ф < ' > - т Ы |
Между ог, г и ро существует определенная зависимость, которая определяется через нормированное г, обозначаемое А,0:
К = |
(66) |
Среднее значение (г) и среднее квадратическое отклонение о, случайной величины г вычисляются по экспериментальным дан-
пым. По полученному значению Х0 определяют р0 при помощи таб лицы приложения 7, а по р0 определяют ор по таблице приложе ния 8 .
_3ная р0 и ар, можно определить параметры распределения <т0
и Х 0 по следующим формулам: |
|
|
<>• = |
- £ ; |
(67) |
* 0 = |
Ро<%- |
(68) |
Пользуясь формулой (65) и известными из опыта значениями г и ап можно вычислить вероятность того, что случайная вели
чина г будет находиться в пре |
<р(р)> |
|
|
|
|
||||||||
делах заданных значений. Пусть, |
|
|
|
|
|||||||||
например, |
в большой выборке |
|
|
|
|
|
|
||||||
из партии |
втулок |
среднее |
зна |
|
|
|
|
|
|
||||
чение |
овальности |
равно |
г = |
|
|
|
|
|
|
||||
= 0,06 мм, |
а среднее квадратич |
|
|
|
|
|
|
||||||
ное |
отклонение |
аг — 0,04 |
мм. |
|
|
|
|
|
|
||||
Допускаемое значение овально |
|
|
|
|
|
|
|||||||
сти г = |
0,1 мм. Требуется опре |
|
|
|
|
|
|
||||||
делить вероятный процент брака |
|
|
|
|
|
|
|||||||
во всей партии, если распреде |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ление значений |
г,- |
подчиняется |
|
|
|
|
|
|
|||||
закону |
модуля |
разности. |
|
|
|
Рис. 20. В и д кривых |
распределения |
||||||
Определим по формуле (66) |
|
||||||||||||
|
ФР при р0 = 0 и р0 = 3 |
|
|||||||||||
1 |
0.06 |
, |
с |
|
|
|
|
|
|||||
Л° = |
0 |
д4 |
= 1,5. Этому значе- |
|
|
|
|
|
|
||||
нию А,0 по таблице приложения 7 соответствует р0 = |
1,12, а по |
||||||||||||
таблице приложения 8 для р0 = |
|
1,12 путем интерполяции имеем |
|||||||||||
ор = |
0,829. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле (67) определяем сг0: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
_ |
|
0,04 |
|
0,485. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ° ~ |
0,829 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так |
как в формуле (65) |
р = |
— , а допускаемое г = 0,1, |
то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<7о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
0,1 |
2,05. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,485 |
|
|
|
|
||||
Подставляя значение р и р0 в формулу (65), получим |
|
||||||||||||
F (р) = Ф (2,05 - |
1 ,12) + Ф (2,05 + 1,12) = |
Ф (0,93) + |
Ф (3,17). |
||||||||||
По |
таблице |
приложения |
1 |
Ф (0,93) = |
0,3238 |
и |
Ф (3,17) = |
||||||
= 0,4992. |
Следовательно, |
F (р) = |
0,3238 + |
0,4992 = |
0,8230. |
Это |
|||||||
означает, что вероятный процент годных деталей в партии составит 82,3%, а вероятный процент брака: 100 — 82,3 = 17,7%.
в. КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если случайная величина представляет собой сумму независи мых случайных величин, каждая из которых подчиняется своему закону распределения, то закон распределения суммы может быть найден по законам распределения слагаемых.
Нахождение закона распределения суммы по законам распре деления независимых слагаемых называется композицией законов распределения слагаемых.
Пусть, например, случайная величина г представляет собой сумму двух независимых случайных слагаемых .г и у:
|
г = х + у, |
где (0 < |
JC ^ оо, 0 < г/ < оо). |
Если |
известно, что плотность распределения х равна ср (х), |
а плотность распределения у равна ф (у), то плотность распреде
ления суммы ф (z) находится решением |
следующего |
интеграла: |
||
ОО |
00 |
|
|
|
<p(z) = j 4>{x)y(z — x)dx = j |
(p(y)y(z — y)dy, |
(69) |
||
О |
о |
|
|
|
где z = х + у, откуда у = |
г — х и х |
= |
z — у . |
|
Рассмотрим в качестве примера случай, когда случайная вели чина у распределена по закону равной вероятности в интервале
от а до b с плотностью, равной |
|
|
|
|
|
||
|
ф(*/) = |
9(2 —X) = J |
^ |
, |
|
|
|
а случайная величина х |
распределена |
по |
нормальному закону |
||||
с плотностью |
|
(■х-х)2 |
|
. |
|
Сг-у-Х)2 |
|
|
1 |
|
е |
|
|||
ф (*) = |
2а2 |
__ 1__ |
2а2 |
|
|||
о У2л |
|
о У2л |
|
|
|
||
где в показателе при е величина х заменена |
на х = |
г — у. |
|||||
Согласно уравнению (69) плотность вероятности композиции |
|||||||
рассматриваемых |
законов |
распределения будет равна |
|
||||
f |
|
I |
l |
f |
- (г-У-х')2 |
||
9 (z)= J ф(у)ф(г — |
|
|
|
j e |
2о' |
dy. (70) |
|
а |
|
|
|
|
а |
|
|
Здесь интеграл берется в пределах от а до 6 , так как отличается от нуля только в этом интервале: а < у << Ь.
Введем подстановки:
у = z — X + ta\ dy = odl\
z — у — X |
4 a — z-\- X _ 4 b — z-\-X 4 |
^ |
^ |
~ |
— h\ ----- ^ |
h- |