5543

конъюнкциях применяя закон:

F F F ;

F F F ;

F F 0;

FF 1.

4.Удалить константы с помощью правил операций с константами:

F1 F ;

F 1 1;

F 0 0 ;

F 0 F .

Пример 3.9. Приведите к ДНФ формулу:

(А В) (А В) (А (В С)) В С (А В) (А В) (А В С) (В С)

(А В) (А В) ((А В) (А С) (В В С) (В С С)) (А В) (А В) ((А В) (А С) (В С))

(А В) (А В) ((А В) (В С)) (А В) (А В С)

В (А (А С)) В (А С) (А В) (В С).

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более одного раза.

КНФ формулы есть формула, имеющая вид конъюнкции элементарных дизъюнкций, т.е.

элементарных дизъюнкций содержит пропозициональную переменную и её отрицание F F , то следует удалить всю элементарную дизъюнкцию,

71

так как F F 1.

Процедура приведения ДНФ к КНФ:

1. Примените к F правило снятия двойного отрицания

2. С помощью закона де Моргана освободитесь от второго отрицания и преобразуйте отрицания элементарных конъюнкций в элементарные дизъюнкции.

Пример 3.10. Приведите к КНФ формулу:

А В А В А С .

Решение. А В А В А С

(А В) (А В) (А С) А В А В А С (А В) ( А В) (А С)

3.8 Логическое следствие

Задача логики дать принцип рассуждения, то есть теорию вывода. Практически это сводится к получению критериев для решения механическим путём вопроса о том, можно ли некоторую цепь рассуждений, основываясь на её форме, считать правильной.

72

Мы знаем, например, что если истинно А, то, независимо от истинности

последовательность высказываний, проводимых в обоснование утверждения, при этом последнее высказывание в этой последовательности (заключение) может быть выведено из некоторых начальных высказываний (посылок).

Высказывание В (заключение) есть логическое следствие высказываний А1 , А2 ,..., Аm (посылок):

А1, А2 ,..., Аm B ,

если из конъюнкции посылок следует заключение, то есть всегда, когда

виде цепочки (т.е. конечной последовательности) формул, последней из которых является В, и притом такой цепочки, что наличие в ней каждой из формул Е обосновывается применением одного из следующих правил.

Правило р: формула Е есть посылка.

Правило t: формуле Е в цепочке предшествуют такие формулы А, …,

посылка (правило р) или же в этой цепочке есть предшествующие формулы такие, что если С – их конъюнкция, то С Е (правило t).

Приведём перечень некоторых тавтологических импликаций. То, что каждая из приведённых формул – тавтология, можно доказать, составив для неё таблицу истинности. Каждая из тавтологических импликаций порождает

73

некоторое правило вывода, а именно частный случай применения правила t, который обосновывается ссылкой только на одну эту тавтологию.

74

Задача 3.17. Постройте формальное доказательство логичности рассуждения.

Если человек занимается спортом, то он хочет быть здоровым. Хорошее здоровье ведёт к счастливой жизни. Кроме того, если человек занимается спортом, то он, как правило, стремится достичь высоких спортивных результатов. Наличие высоких результатов позволяет одержать победы на соревнованиях. Победы на соревнованиях влекут за собой всеобщее признание. Однако человек не хочет жить счастливо и иметь всеобщее признание. Значит, он не станет заниматься и спортом.

Пример 3.13. Докажите, что А (В С), D A, B D C . Решение.

С изложенным выше связан, но отличается от него вопрос о непротиворечивости множества высказываний, которое предлагается рассматривать как систему посылок для вывода. Множество

75

высказываний непротиворечиво, если существует по меньшей мере одно такое распределение истинностных значений простым компонентам, что все А одновременно получают значение 1. Противоречивость множества высказываний есть отрицание его непротиворечивости. Так, {А1 , А2 ,..., Аm } есть противоречивое множество, если при всяком распределении истинностных значений простым компонентам по меньшей мере одно из А получает значение 0.

Противоречие есть формула, которая всегда принимает

высказываний:

АВ, В С, С D, А D, D .

Решение. Примем их как систему посылок и исследуем, какие выводы можно из них сделать.

Мы заключаем, что множество противоречиво.

Задача 3.18. Исследуйте противоречивость систем посылок:

а) А (В С), D Е G, G (H I ), C E H .

б) А B С D, D E G, A G .

76

Противоречия играют важную роль в методе косвенного доказательства (доказательства от противного). Основой такого

77

Глава 4. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

4.1 Основные понятия

Логика предикатов представляет собой развитие логики высказываний. С помощью формул логики высказываний можно описать и исследовать структуру сложных высказываний, установить их истинность или ложность в зависимости от истинности или ложности входящих в неё простых высказываний. Для описания внутренней логической структуры простых высказываний используется понятие предиката (лат. praedicatum – логическое сказуемое).

Пусть имеется ряд простых высказываний: Р1 : «Иван читает Достоевского», Р2 : «Пётр читает Достоевского»,

. . .

Рn : «Степан читает Достоевского».

Вместо высказываний Р1, Р2, ..., Рn мы могли бы ввести одноместный предикат Р(х), для которого переменная х принимала бы значения из предметной области М = {Иван, Пётр, ..., Степан}, а сама предикатная функция переводилась бы словами Р(х): «х читает Достоевского».

Вводя в предикате переменную, заменяющую нужный предмет, мы получаем высказывательную функцию в том смысле, что для каждого значения переменной х (из соответствующей области определения) результат есть высказывание.

Сразу же напишем обобщение, а именно распространение сказанного на высказывательные функции со многими переменными. Вот несколько примеров:

R(x, y) : " x2 y2 0";

Q(x, y, z) : "x2 y2 z2".

n-местный предикат – это функция Р(х1, х2, ..., хn) от n переменных, принимающих значения из некоторых заданных предметных областей, так

78

что x1 M1 , x2 M 2 , ..., xn M n , а функция Р принимает два логических значения – «истинно» или «ложно»:

переменные, которые обозначают строчными буквами латинского алфавита х, у, z. Эта функция приобретет значение 1 или 0 только при подстановке в высказывательную функцию вместо предметных переменных их конкретных значений. Конкретные значения аргументов высказывательной функции называют предметными постоянными, которые обозначают строчными буквами латинского алфавита а, в, с, .

Если высказывательная функция содержит один аргумент, то задан одноместный предикат, если она содержит n аргументов, то – n-местный предикат. Одноместный предикат, как правило, описывает наличие какого-либо признака у предмета, а n-местный предикат наличие отношений между n предметами. Следует еще раз обратить внимание, что когда все предметные переменные замещены предметными постоянными, тогда предикат превращается в высказывание.

Для удобства в число значений n включаем и 0, понимая под 0- местным предикатом высказывание, т.е. предикат, в котором нет переменных для замены.

Пример 4.1. В следующих высказываниях выделите входящие в них предикаты и запишите эти высказывания с помощью символики исчисления предикатов.

1. Снег белый.

Решение. Φ(снег), где Φ(х) обозначает предикат: «х – белый». 2. Два меньше трёх.

Решение. Φ(2, 3), где Φ(х, у): «х < y».

Предикат Р(х1, х2, ..., хn), заданный на множествах М1, М2, ..., Мn, называется:

а) тождественно истинным, если при любой подстановке вместо переменных х1, х2, ..., хn любых конкретных предметов а1, а2, ... , аn из

79

множеств М1, М2, ..., Мn соответственно он превращается в истинное высказывание Р(а1, а2, ... , аn);

б) тождественно ложным, если при любой подстановке конкретных предметов из множеств М1, М2, ... , Мn соответственно он превращается в ложное высказывание;

в) выполнимым (опровержимым), если существует по меньшей мере один набор конкретных предметов а1, а2, ... , аn из множеств М1, М2, ... , Мn соответственно при подстановке которых вместо соответствующих предметных переменных в предикат Р(х1, х2, ... , хn) последний превратится в истинное (ложное) высказывание Р(а1, а2, ... , аn).

Отметим некоторые достаточно очевидные закономерности взаимосвязей между предикатами различных типов:

1)каждый тождественно истинный предикат является выполнимым, но обратное неверно;

2)каждый тождественно ложный предикат является опровержимым, но обратное неверно;

3)каждый нетождественно истинный предикат будет опровержимым, но, вообще говоря, не будет тождественно ложным;

4)каждый нетождественно ложный предикат будет выполнимым, но, вообще говоря, не будет тождественно истинным.

Два n-местных предиката Р(х1, х2, ... , хn) и Q(х1, х2, ... , хn), заданных над одними и теми же множествами М1, М2, ... , Мn, называются

высказывание Р(а1, а2, ... , аn) в том и только в том случае, когда этот набор предметов превращает второй предикат в истинное высказывание

Q(а1, а2, ... , аn).

Утверждение о равносильности (эквивалентности) двух предикатов Р и Q символически будем записывать так: Р Q.

Задача 4.1. Заданы предикаты:

P(x, y, z) : "x2 y2 z2";

Q(x, y) : " y (x 4) /( x 4)";

80