5543

Н-граф называется неориентированным деревом (или просто деревом), если он связан и не содержит циклов, а значит, петель и кратных рёбер. Дерево – это минимальный связный граф в том смысле, что при удалении хотя бы одного ребра он теряет связность. Наличие этих двух свойств (связности и отсутствия циклов) позволяет жестко связать число вершин и число рёбер: в дереве с n вершинами всегда n – 1 ребро.

Лес – несвязный н-граф без циклов; связные компоненты леса являются деревьями. Любая часть леса или дерева также не имеет циклов, т.е. является лесом или деревом. Любая цепь в таком графе – простая, иначе она содержала бы цикл.

В неориентированном дереве между любыми двумя вершинами существует цепь и притом только одна. Верно и обратное: ели любые две вершины графа связаны единственной цепью, то граф является деревом.

Вершина v графа G называется концевой, или висячей, если её степень ρ(v) = 1. Ребро, инцидентное концевой вершине, называется концевым. Если конечное дерево состоит более чем из одной вершины, оно имеет хотя бы две концевые вершины и хотя бы одно концевое ребро.

Ориентация неориентированного дерева осуществляется следующим образом. В дереве G отмечается (выбирается) вершина v0 – так называемый корень дерева G, и все рёбра такого дерева с корнем ориентируются от этой вершины-корня. Вершину vi ребра (vi, vj) можно соединить единственной цепью L с корнем v0. Если эта цепь не содержит ребра (vi, vj), в это ребро вводится ориентация от vi к vj, в противном случае

– от vj к vi. Такая ориентация согласована с ориентацией того же ребра,

111

определённой через вершину vj. Данная ориентация дерева с корнем v0 единственна. Ориентированное таким образом дерево с корнем называется ориентированным деревом. В нём все рёбра имеют направление от корня. При выборе другой вершины-корня получаем другой орграф-дерево.

Пусть v – вершина дерева G с корнем v0; В(v) – множество всех вершин, связанных с корнем цепями, проходящими через вершину v. Это множество порождает подграф G(v), называемый ветвью вершины v в дереве с корнем v0. Если дерево имеет более двух вершин, то среди них есть неконцевые вершины.

Пусть дано конечное дерево G. Вершинами типа 1 называют его концевые вершины. Если из дерева G удалить все вершины типа 1 и инцидентные им концевые рёбра, то в оставшемся дереве G′ концевые вершины называют вершинами типа 2 в дереве G. Аналогично определяются вершины типов 3, 4, и т.д. Конечное дерево имеет вершины лишь конечного числа типов, причём число вершин максимального типа равно единице или двум.

Цикломатическим числом конечного н-графа G называется v(G) = vc + ve – vv,

где vc – число связных компонент графа, ve – число его рёбер,

vv – число вершин.

Цикломатическое число любого конечного н-графа неотрицательно. Пример 5.6. Пусть граф типа дерева – G7 на рисунке 5.7. Сколько

вершин максимального типа имеется в данном графе? Каково цикломатическое число графа? Чему равно цикломатическое число графа G′, являющегося лесом и представленного двумя одинаковыми деревьями G7? Построить ориентированное дерево с корнем v0, являющимся вершиной максимального типа.

Решение. Типы вершин графа G7 отмечены на рисунке 5.8 (а) граф содержит две вершины максимального (4-го) типа.

112

Рисунок 5.8 – Типы вершин графа G7

Цикломатическое число любого дерева v(G)=vc + ve – vv=0. Действительно, число вершин vv в дереве на единицу больше числа рёбер ve, т.е. ve– vv= –1, а число связных компонент графа типа дерева vc = 1. Таким образом, цикломатическое число любого дерева, в том числе графа G7, v(G) = 0.

Цикломатическое число леса равно сумме цикломатических чисел своих связных компонент – деревьев, т.е. также равно нулю; таким образом, v(G′) = v(G) + v(G) = 0, где G′ - граф, представленный двумя одинаковыми деревьями G.

Построенное из н-графа G ориентированное дерево с корнем, являющимся вершиной максимального типа 4 (левая вершина на рисунке 5.8 (а)), изображено на рисунке 5.8 (б).

Задача 5.4. Выполнить задание примера 5.6 для графов, изображённых на рисунке 5.9.

Задача 5.5. Пусть орграф задан матрицей смежности. Постройте изображение этого графа, укажите степени вершин графа. По матрице смежности постройте матрицу инцидентности этого графа:

113

Задача 5.6. Граф G задан диаграммой (рисунок 5.10).

114

Рисунок 5.10 – Задание графа G (1 – 6 – варианты)

1.Составьте для графа G матрицу смежности.

2.Постройте матрицу инцидентности.

3.Укажите степени вершин графа.

4.Найдите длину пути из вершины v2 в вершину v5, составьте маршруты длины 5, цепь и простую цепь, соединяющие вершину v2 и вершину v5.

5.Постройте простой цикл, содержащий вершину v4.

6.Найдите цикломатическое число графа G.

7.Определите вид заданного графа.

Задача 5.7. Найдите объединение и пересечение графов G1 и G2, дополнение для графа G1 (рисунок 5.11).

115

Рисунок 5.11 – Задание графов G1 и G2 (1 – 6 – варианты)

Задача 5.8. Постройте матрицу смежности и матрицу инцидентности для отношений, заданных графом G. Найдите число степеней входа и выхода этого графа, дайте ему характеристику (рисунок 5.12).

Рисунок 5.12 – Задание графа G (1 – 6 – варианты)

Задача 5.9. Орграф задан матрицей смежности. Постройте его рисунок (схему, диаграмму), определите степени вершин графа и найдите маршрут длины 5.

116

Задача 5.10. Составьте все возможные планы маршрута путешествия по историческим местам, если автотуристам надо проехать из пункта М в пункт N, осмотрев все памятники архитектуры не более одного раза. Как называется такой маршрут (рисунок 5.13)?

117

А

С

В

M

N

E

F

D

K

Рисунок 5.13 – Граф путешествия по историческим местам

Задача 5.11. Ориентированный граф G с множеством вершин V =

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} задан списком дуг Е.

1.Постройте граф G.

2.Постройте матрицу инцидентности графа G.

3.Постройте матрицу смежности G.

4.Задайте соответствующий неориентированный граф матрицей смежности.

5. Укажите степени вершин полученных графов, найдите цикломатическое число графа G:

а) Е = {(1, 2), (2, 3), (4, 3), (4, 5), (6, 5), (7, 6), (7, 1), (7, 7), (7, 2), (6, 4), (4, 4), (2, 7), (6, 4), (5, 3)};

б) Е = {(1, 4), (2, 1), (4, 3), (4, 5), (2, 6), (2, 6), (7, 1), (7, 6), (3, 2), (5, 4), (3, 4), (2, 2), (6, 2), (5, 5)};

в) Е = {(1, 5), (2, 3), (2, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 6), (5, 1), (6, 6), (3, 2), (5, 4), (6, 4), (7, 2), (6, 7), (7, 5)};

г) Е = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6), (4, 6), (5, 1), (5, 6), (5, 2), (6, 4), (7, 4), (7, 2), (7, 2), (7, 5)};

д) Е = {(1, 1), (1, 3), (1, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 6), (3, 1), (3, 6), (3, 7), (4, 4), (4, 6), (5, 2), (6, 3), (6, 5)};

е) Е = {(1, 3), (2, 3), (2, 3), (3, 5), (3, 6), (2, 7), (4, 1), (4, 6), (4, 2), (6, 4), (6, 4), (7, 2), (6, 6), (7, 6)}.

118

А. И. Саханенко, Д. М. Смирнов. – Новосибирск : Изд-во ИДМИ, 2000.

12.Пономарёв В. Ф. Основы дискретной математики : учеб. пособие / В. Ф. Пономарёв. – Калининград : КГТУ, 1997.

13.Пономарёв В. Ф. Дискретная математика для информатиковэкономистов : учеб. пособие / В. Ф. Пономарёв. – Калининград :

КГТУ, 2002.

14.Спирина М. С. Дискретная математика : учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования / М. С. Спирина. – М. : Академия, 2004.

15.Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории / Р. Столл. – М. : Просвещение, 1968.

16.Чалых Е. В. Математическая логика. Часть 1. Алгебра высказываний : учеб. пособие. – Биробиджан : БГПИ, 2003.

120