5543

Можно составить обратную задачу, т.е. по известной диаграмме (рисунок 2.9) находить отвечающее ей компактное аналитическое выражение. Для этого заштрихованные области представим в виде конституент:

С1 a b c, C2 a b c.

Искомое выражение получается при объединении этих конституент: x C1 C2 b ((a c) (a c)) b (a c).

а

C2

c C1

b

Рисунок 2.9 – Обратная задача

Позиция конструктивистов состоит в том, что в математической логике каждое тождество должно получить своё убедительное обоснование, т.е. не должно быть никаких аксиом – утверждений без доказательств.

Задача 2.1. Представьте в явном виде булеву функцию, заданную таблицей:

Задача 2.2. Используя СДНФ, найдите булеву функцию, принимающую значение 1 на следующих наборах переменных, и только на них:

f(1, 0, 1) = f(0, 1, 0) = f(1, 1, 1) = 1.

41

Задача 2.3. Ниже приведены логические функции. Максимально упростите функции, воспользовавшись законами логики Буля. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощённое выражение с исходным.

а) (a c) (a b) (b c) (a b) (c b);

б) (a c) (a b) (b c) (a b) (b c).

Задача 2.4. Аналитическим способом докажите справедливость нижеприведённых тождеств. Затем с помощью диаграмм Эйлера – Вена и с помощью таблицы истинности подтвердите справедливость этого доказательства.

Задача 2.5. Ниже приведены диаграммы Эйлера – Вена. Представьте заштрихованные и отдельно не заштрихованные области максимально компактными аналитическими выражениями, в которых бы использовалось минимальное количество логических операций и букв. С этой целью сначала выразите все заштрихованные области через конституенты – конъюнкты, а незаштрихованные – через конституенты – дизъюнкты, и только после этого приступайте к упрощению совершенных форм (результаты проверьте на таблицах истинности).

42

Глава 3. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

3.1 Классическая логика

Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, планировании народного хозяйства и военном деле. Но, хотя это умение исходит к древнейшим временам, логика, т. е. наука о том, какие формы рассуждений правильны, возникла лишь немногим более двух тысяч лет тому назад. Она была развита в IV веке до н.э. в работах великого древнегреческого философа Аристотеля, его учеников и последователей. Аристотель исследовал различные формы суждений и их комбинации, ввёл понятие силлогизма, т.е. рассуждения, в котором из заданных двух суждений выводится третье. Примером силлогизма может служить такое рассуждение: «Все млекопитающие имеют скелет. Все киты – млекопитающие. Следовательно, все киты имеют скелет». Ту же форму имеет силлогизм «Все квадраты ромбы, все ромбы – параллелограммы. Следовательно, все квадраты – параллелограммы». В общем виде этот силлогизм имеет форму: «Все a есть b; все b есть с. Следовательно, все а есть с». А вот пример силлогизма неправильной формы: «Все квадраты – ромбы. Некоторые ромбы имеют острый угол. Некоторые квадраты имеют острый угол». Хотя оба утверждения, из которых был сделан вывод, истинны, сам вывод о существовании квадратов с острым углом ложен. Значит, силлогизм, имеющий форму: «Все а есть b, некоторые b есть с. Значит, некоторые а есть с», может привести и к ложным выводам. Аристотель выделил четыре типа суждений:

общеутвердительные – «Все а есть b»;

частноутвердительные – «Некоторые а есть b»;

общеотрицательные – «Все а не есть b»;

часноотрицательные – «Некоторые а не есть b».

Для проверки правильности силлогизмов можно использовать метод, основанный на теории множеств. Суждения, из которых строятся силлогизмы, являются на самом деле высказываниями о множествах.

43

Например, утверждая, что «Все а есть b», мы говорим, что множество А всех а – подмножество множества В всех b, А В. Утверждая, что «Некоторые а есть b», мы говорим, что пересечение множеств А и В непусто (предполагаем,

фигур, логические рассуждения тоже изображаются геометрически. Например, рисунок 3.1 поясняет, что «Если все а есть b, а все b есть с, то все а есть с» (если А В и В С, то А С). Рисунок 3.2 служит для пояснения силлогизма «Если все а есть b и ни одно b не является с, то ни одно а не является с» (если А В и В С = Ø, то А С = Ø). А рисунок 3.3 а) поясняет, почему не годится силлогизм «Все а есть b, некоторые b есть с. Значит, некоторые а есть с», хотя А В и В С Ø, но А С может быть и пустым множеством. Впрочем, на рисунке 3.3 б) показан случай, когда А В и В С Ø, и А С Ø, т.е. некоторые а есть с. Это показывает, что неправильно построенное рассуждение не обязательно приводит к ложному выводу: случайно может оказаться так, что вывод будет истинным. Но логика считает допустимым только такие формы рассуждений, которые гарантируют истинный результат во всех случаях, когда исходные утверждения истинны.

44

Пример 3.1. Для следующего рассуждения постройте его буквенную форму и проверьте с помощью диаграмм Эйлера – Вена, правильна ли эта форма: «Если всех хищников можно приручить и всех львов можно приручить, то все львы хищники».

Решение. Обозначим через а – хищника, через b – животное, которое можно приручить, через с – льва. Буквенная форма рассуждения имеет вид: «Если все а являются b и все с являются b, то все с являются а».

Обозначим через А, В и С множества, элементами которых, соответственно, являются а, b и с. Тогда условие примера имеет вид: А В,

СВ. На диаграмме Эйлера – Венна (рисунок 3.4) это выглядит так:

В

С

А

Рисунок 3.4 – Диаграмма Эйлера – Венна

Из диаграммы видно, что могут быть такие элементы с из множества С, которые не принадлежат множеству А. Значит рассуждение неправильное.

Задача 3.1. Нарисуйте диаграммы Эйлера – Венна, иллюстрирующие суждения:

а) все а являются b;

б) некоторые а являются b; в) ни одно а не является b;

г) некоторые а не являются b.

45

Задача 3.2. Проанализируйте рассуждения, приведённые ниже. Какие из этих рассуждений имеют правильную форму? В каких из них истинны посылки? В каких из них истинны заключения? Можно ли из ложных посылок путём правильных рассуждений получить истинное заключение?

1.Все писатели – деятели искусства. Некоторые деятели искусства – талантливые люди. Значит, некоторые писатели талантливы.

2.Все люди смертны. Все люди – живые существа. Значит, все живые существа смертны.

3.Все кошки являются рыбами, у всех рыб – четыре ноги. Значит, у кошки четыре ноги.

4.Некоторые позвоночные являются млекопитающими, и некоторые позвоночные являются лягушками. 3начит, некоторые лягушки – позвоночные.

Однако использование диаграмм Эйлера – Венна затруднительно в сложных случаях. Чтобы облегчить проверку и преобразование сложных цепочек рассуждений, было создано особое буквенное исчисление. Оно получило название алгебры логики или математической логики. Основы математической логики были заложены в XVII веке великим немецким математиком Г. Лейбницем (1646 – 1716 гг.). В середине ХIХ века ирландский математик и логик Джордж Буль (1815 – 1864 гг.) своими трудами положил начало формированию математической (символической) логики как научной дисциплины. Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений строит особые логические системы; одна из них называется логикой высказываний, другая – логикой предикатов. Рассмотрим принципы построения логики высказываний. Логика высказываний – это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

3.2 Высказывания

В логике высказыванием называют любое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно либо истинно, либо ложно.

46

Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а также математических, химических и прочих знаков. Например:

–«Все люди смертны» (истинное высказывание);

–«2 + 6 > 8» (ложное высказывание).

Не каждый набор слов и даже не каждое утверждение являются высказыванием. Например, восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются. Не являются высказываниями пословицы и поговорки, а также определения. Определения не могут быть истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов. Не являются высказываниями и предложения «Он сероглаз» или «х2 – 4х + 3 = 0» – в них не указано, о каком человеке идёт речь или для какого числа х верно равенство х2 – 4х + 3 = 0.

Утверждения должны быть чёткими и однозначно понимаемыми. Эта цель достигается использованием высказываний и логических связок, позволяющих из существующих высказываний формировать другие высказывания. Существует пять логических связок: частица не и союзы

…и…; …или…; если…, то…; … тогда и только тогда, когда… .

Высказывания, сформированные без использования логических связок, называются элементарными (простыми) высказываниями.

Высказывания, сформированные с использованием логических связок, называются сложными (составными) высказываниями.

Высказывания обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, … или строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, … .

Каждая логическая связка имеет для обозначения свой собственный символ и производит логическую операцию над высказываниями: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию. Естественно, они определяются на основе введённых ранее соответствующих булевых функций с учётом чисто логической специфики.

1. A (читается не A) обозначает высказывание, противоположное высказыванию A и называется отрицанием высказывания A. Данное высказывание истинно, когда A ложно и ложно, когда A истинно.

47

Вопрос: как выглядит отрицание высказывания «число 6 делится на 2»?

2. A B (читается A и B) обозначает высказывание, истинное только тогда, когда A и B оба истинны и называется конъюнкцией высказываний A и B.

Например, пусть А – высказывание «Число 5 больше 2», и В – высказывание «Число 5 меньше 10». Каждое из них истинно.

ложны, и называется эквиваленцией высказываний A и B.

Например, пусть А – высказывание «Число 28 делится на 2», и В – высказывание «Число 28 чётное». Тогда А ↔ В есть высказывание «Число 28 делится на 2 тогда и только тогда, когда, оно чётное». Это высказывание истинное.

В обыденной речи союз «или» имеет два различных значения – разделительное и неразделительное. Например, если сказать: «Завтра в 12 часов дня я буду в клубе или на катке», то не может быть, чтобы оба обещания оказались выполнены: человек не может быть одновременно в двух местах. Здесь союз «или» разделительный. Но если сказать: «Я буду в клубе завтра в 12 часов дня или в 6 часов вечера», то отнюдь не исключено, что сбудется и то, и другое – человек может посетить клуб дважды в один и тот же день. Здесь тоже союз понимается в

48

неразделительном смысле. Чтобы устранить эту неопределённость, условились в логике использовать лишь неразделительное «или».

Логический союз «и» не обязательно должен представляться через грамматический союз «и». Союзы «а» и «но» по смыслу часто совпадают с союзом «и», поэтому они используются в сложных конъюнктивных предложениях.

Однако языковая ситуация может стать такой, что союз «и» перестаёт играть роль конъюнкции:

«Ему стало страшно и он убил человека», «Он убил человека и ему стало страшно».

Здесь некоммутативность двух простых предложений очевидна, поскольку мы имеем дело со скрытой импликацией, когда одно простое предложение обусловливает другое.

Наглядное представление о сочетаниях истинности или ложности первоначальных высказываний и высказываний, полученных из них в результате проведения логических операций, позволяют получить таблицы истинности. В них в строках даются все возможные сочетания значений истинности первоначальных высказываний, и для каждого из этих сочетаний даётся значение истинности для высказывания, полученного в результате логических операций над первоначальными высказываниями. Истинность высказывания обозначается цифрой 1 (или буквой И), ложность – цифрой 0 (или буквой Л).

В случае если высказывание образовано логическими операциями из

n первоначальных высказываний, таблица истинности будет иметь 2n строк.

Приведём сводную таблицу истинности для рассмотрения логических операций (таблица 3.1). Поскольку отрицание содержит одно первоначальное высказывание А, то его таблица истинности содержит

21 2 строки (в сводной таблице в лишних строках прочерки). Остальные операции содержат два первоначальных высказывания A и B,

следовательно, их таблицы истинности содержат 22 4 строки.

49

Таблица 3.1 – Сводная таблица истинности

Указание: несмотря на то что всем логическим связкам соответствуют слова русского языка, логический смысл истинности логических операций отличается от смыслового значения этих слов в русском языке. Нахождение значения истинности каждой логической операции возможно только согласно её определению и соответствующей таблице истинности по значениям истинности первоначальных высказываний, входящих в эту логическую операцию.

Например, дано высказывание: если 9 чётное число, то 2 делитель 9. A B ; A = 0 (ложно) B = 0 (ложно). По определению импликации

A B = 1 (истинно).

Пример показывает, как ошибочные (ложные) предпосылки при правильно проведённых логических рассуждениях приводят к ошибочным (ложным) выводам.

В общем случае элементарные высказывания, входящие в логическую операцию, могут не иметь между собой смысловой связи с точки зрения грамматики. Полученное сложное высказывание также не будет иметь грамматического смысла. Нас интересует исключительно логический смысл полученного сложного высказывания.

С точки зрения математической логики каждое ложное высказывание отождествляется не с ошибочным отождествлением действительности, а с пустым множеством. Соответственно, каждое истинное высказывание отождествляется с непустым множеством элементов, чья физическая природа не принимается во внимание.

Например, дано высказывание: Если погода жаркая, то уголь белый.

50