Эти неравенства называют теоремой Чебышева в непредельной форме. В предельной форме теорема Чебышева дает следующие утверждения:

Будем рассматривать повторные независимые испытания, в каждом из которых событие А имеет одну и ту же вероятность Р(А)=р (вероятность противоположного события A равна q=1-р). Пусть n – число независимых

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Средний вес яблока 200 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого яблока не превысит 600 г.

Решение. Применяя неравенство Маркова (8.1), находим Р(Х<600) 1-

можно утверждать, что вес наудачу взятого яблока не будет превышать

600 г.

Задача 2. Средний урожай сои в совхозе составил 12 ц с гектара. Определите вероятность того, что урожай сои с наудачу взятого гектара будет больше 15 ц.

Следовательно, вероятность того, что урожай сои с наудачу выбранного гектара превысит 15 ц не больше чем 0,8.

Задача 3. Бригада маляров в количестве 10 человек взялась выполнить некоторую работу по сдельной оплате. Вероятность того, что заработок наудачу взятого маляра не превысит 100 руб больше чем 0,7. Определить

68

Окончательно получаем n 727,5. Следовательно, нужно опустить не менее 728 монет.

За д а ч и

1.Средний расход воды для некоторого многоквартирного дома составляет 450 000 л в день. Оценить вероятность того, что для этого дома расход воды не будет превышать 1 125 000 л в день.

2.Средняя заработная плата водителя автобуса городского маршрута составляет 1 400 рублей. Определить вероятность того, что заработная плата случайно выбранного водителя автобуса городского маршрута будет превышать 1 525 рублей.

3.Вероятность того, что у отдельного вкладчика некоторого сберегательного банка сумма вклада меньше 5 000 рублей, превышает 0,8. Банк обслуживает 1 240 вкладчиков. Какова общая сумма вкладов этого сберегательного банка?

4.Средняя длина болта, изготовляемого на станке-автомате, равна 8 см, а дисперсия равна 0,15. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по длине не меньше 7,5 см и не более 8,5 см.

5.Вероятность того, что студент учебного заведения в период работы читального зала посетит его, равна 0,3. Оценить вероятность того, что среди 900 студентов читальный зал посетят от 240 до 300 человек.

6.Среднее квадратическое отклонение каждой из 3 000 независимых случайных величин не превосходит 2,5. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет по абсолютной величине числа =0,2.

7.Для определения среднего веса детали в партии, размещенной в 100 ящиках, было взято по одной детали из каждого ящика. Дисперсия по каждому ящику не превышает 5. С какой вероятностью можно утверждать, что отклонение среднего веса деталей во всей партии будет по абсолютному значению больше чем 0,4?

8.Дисперсия каждой из 900 независимых случайных величин не превышает пяти. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,95?

9.Вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками равна 0,75. Оценить вероятность того, что среди 4 000 стеблей опытного участка отклонение частости стебля с тремя початками от вероятности его созревания по абсолютной величине не превзойдет числа =0,05.

69

10.Вероятность срабатывания телефона-автомата равна 0,98. Каков наиболее возможный предел отклонения частости правильной работы телефона от вероятности в каждом отдельном вызове можно гарантировать при 2 000 вызовах с вероятностью, не меньшей чем 0,99? Определить границы, в которых будет находиться число сбоев работы автомата при этих условиях.

11.Сколько должно быть произведено независимых измерений диаметров колец, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96, можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной величине меньше чем на 0,02, если дисперсия отдельного результата измерения не превосходит 1?

70

ТЕМА 9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения выборки и ее свойства. Полигоны и гистограммы. Генеральная и выборочная средние. Генеральная дисперсия и генеральное среднее квадратическое отклонение. Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение. Формула для вычисления дисперсии. Начальные и центральные эмпирические моменты порядка k, их связь с выборочной средней и выборочной дисперсией. Условные варианты. Условные эмпирические моменты. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии. Другие характеристики вариационного ряда: мода, медиана, размах варьирования, среднее абсолютное отклонение, коэффициент вариации. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения.

Л и т е р а т у р а

[1], раздел 2, гл.5, 5.4 -5.6; [4], §1; [5], гл.15, § 1-8, гл.16, § 3, 4, 8-10, 20, гл.17, § 1-4, 8; [8], гл.6, § 1-5, гл.7, § 1; [9], гл.10, § 1; [11], гл.31, § 214, 215, гл.32, § 216, 217; [12], ч.2, гл.5, § 15; [16], гл.4.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Изучаемый признак Х генеральной совокупности представляет собой дискретную или непрерывную случайную величину. Извлечем из генеральной совокупности выборку объема n. Наблюдаемые значения хi (i=1,…, r) этого признака в выборке называют вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом. Число ni объектов выборки, которые имеют значение хi, называют частотой варианты хi. Сумма всех частот

Полученные статистические данные (результаты выборки) заносят в таблицу

71

Эту таблицу называют дискретным статистическим распределением выборки. Иногда заполняют только первую и вторую строки этой таблицы.

Ломаная линия, соединяющая отрезками точки с координатами (хi, ni) в системе координат Охini называется полигоном частот. Соединив ломаной линией точки (хi, wi) в системе координат Охiwi , получим полигон относительных частот. По виду полигонов можно предположить, какому теоретическому закону подчинен рассматриваемый признак Х генеральной совокупности.

В случае непрерывных случайных величин (иногда в случае дискретных, если r велико) рассматривают интервальное статистическое распределение выборки. Оно оформляется в виде следующей таблицы:

Иногда третью строку этой таблицы не заполняют.

Обычно значения вариант, принадлежащие границам, относят к тому промежутку, у которого эта граница является левой. В случае четной частоты можно такое значение распределить поровну на два соседних промежутка.

От интервального распределения можно перейти к дискретному, взяв на каждом интервале (хi, хi+1) за отдельное значение хi* величину

являющуюся серединой этого интервала.

Эмпирическим (опытным) аналогом графика плотности распределения вероятностей служат гистограммы. Различают гистограмму частот и гистограмму относительных частот.

Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из r прямоугольников. Основанием каждого прямоугольника с номером i является отрезок [xi, хi+1]. Высота hi этого прямоугольника в случае гистограммы частот определяется равенством

а в случае гистограммы относительных частот – равенством

Удобными на практике являются интервальные выборки, все промежутки которых имеют одну и ту же длину h:

h = xi+1 – xi (i=1,…, r).

Тогда высоты прямоугольников соответствующих гистограмм определяются следующими равенствами:

xmax xmin , где хmax и хmin соответственно максимальное и минимальное r

выборочные значения. За начало х1 первого интервала принимают значение х1= хmin - h2 .

По виду гистограмм можно предположить, какому теоретическому закону подчинен изучаемый признак Х генеральной совокупности. Форма гистограммы относительных частот дает представление о форме графика дифференциальной функции f(х) случайной величины Х.

Эмпирическая функция распределения выборки определяется равенством

где nх – сумма частот вариант, меньших х, n – объем выборки. Функция F*(х) определяет для каждого значения х относительную частоту события Х<х (Х – количественный признак выборки).

Эмпирическая функция F*(х) является хорошей оценкой для теоретической функции распределения F(х), так как для любого х из (- , + ) и любого >0 справедливо равенство

Пусть все значения х1,…, хn признака выборки объема n различны. Тогда выборочная средняя xВ определяется равенством

Выборочная дисперсия ДВ определяется одним из следующих равенств:

n

(xi xB )2

n