Плотность нормального распределения имеет вид

Плотность нормального распределения имеет вид

Дисперсия нормального распределения

Правило трех сигм записывается в виде равенства

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5520.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

М(Х) =	a b	;	Д(Х) =	(b a)2	.	(7.3)
	2			12

Вероятность попадания этой случайной величины на отрезок [c,d] [a, b] находится по формуле

Р(с<Х<d) =			d	c	.	(7.4)

			b	a
Дифференциальная функция		показательного				распределения
выражается аналитически равенством
f(х) =	0,	если х		0;		(7.5)
	e x , если х			0.

Положительная постоянная	называется			параметром		показательного
распределения. Интегральная функция F(х) имеет вид
F(х) =	0,	если х		0;		(7.6)
	1 e	x , если		х 0.

Числовые характеристики показательного распределения находятся по следующим формулам:

М(Х) =	1	;	Д(Х) =	1	;	(Х) =	1	.	(7.7)
				2

Вероятность попадания на промежуток <а, b> непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, находится по формуле

Р(с<Х<d) = е а- е b.

(7.8)

f(х) =	1	e


	2
	2

( x a)2
2	2	,	> 0.	(7.9)
2

Числа а и называются параметрами нормального распределения. При а=0 и =1 нормальное распределение называется нормированным. Функция нормированного распределения табулирована. Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид

	1	x		(t a) 2
F(х) =		x	e 2		2 dt .	(7.10)


	2
	2

Математическое ожидание нормального распределения равно

параметру а:
М(Х) = а.	(7.11)
Дисперсия нормального распределения
Д(Х) = 2.	(7.12)

Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно второму

параметру :
(Х) = .	(7.13)

Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение, принадлежащее промежутку < , >, находится по формуле

Р( <Х< ) = Ф	a	Ф	a	,	(7.14)

где Ф(х) – функция Лапласа, для которой имеется таблица ее значений. Вероятность того, что отклонение такой случайной величины по абсолютной величине будет меньше заданного числа >0, находится из равенства

	Р		X	a	= 2Ф	.	(7.15)


Правило трех сигм записывается в виде равенства
				= 2Ф (3) 0,9973.			(7.16)
Р	X a	3

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Определить вероятность того, что случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [2, 7], примет значение в промежутке [5, 6].

Решение. С помощью формулы (7.4) получаем

Р (5 Х 6) =	6	5	= 0,2.
	7	2

Задача 2. Троллейбусы некоторого городского маршрута идут с интервалом в 6 минут. Пассажир подходит к остановке в некоторый момент времени. Требуется: 1) определить плотность вероятности и функцию распределения случайной величины Х – времени, в течение которого пассажир будет ожидать троллейбус; 2) вычислить ее математическое ожидание и дисперсию; 3) найти вероятность появления пассажира на остановке не ранее, чем через две минуты после ухода предыдущего троллейбуса, но не позднее, чем за минуту до отхода следующего.

Решение. 1. Время, в течение которого пассажир будет ожидать троллейбус, представляет собой случайную величину, имеющую равномерное распределение. Следовательно, по формуле (7.1) определим плотность распределения случайной величины Х:

		0 при х		0,
f(х) =	1		при 0	х 6,
	6

	0		при х	6.

По формуле (7.2) получаем выражение для функции распределения:

	0	при	х	0,
F(х) =	x	при 0		х 6,
	6

	1	при	х	6.

2. Для нахождения математического ожидания и дисперсии применим формулы (7.3). Получим следующие значения:

М(Х) =	0 6	3 ;	Д(Х) =	(6 0)2	= 3.
	2			12

3. Если пассажир подойдет к остановке не ранее чем через две минуты после ухода предыдущего троллейбуса, но не позднее чем за минуту до отхода следующего, то он будет ожидать троллейбус не менее минуты и не более четырех минут. По формуле (7.4) определяем вероятность того, что случайная величина Х примет значение в промежутке [1, 4]:

Р (1 Х 4) =	4 1	=	1	.
	6		2

Задача 3. Случайная величина подчинена показательному закону распределения с параметром . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее ее математического ожидания.

Решение. Для показательного распределения, согласно (7.7), М(Х)= 1 .

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале 0, 1 , определяем по формуле (7.8):

	1		0	1	1

Р (0 < Х <		) = e		-e = 1-		0,6 321.
Р (0 < Х <		) = e		-e = 1-	e	0,6 321.
					e

Задача 4. Функция распределения случайного времени безотказной

работы радиоаппаратуры имеет вид: для t<0 F(t)=0 и для t 0 F(t) = 1-е T . Найти: 1) плотность вероятности f(t); 2) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т.

Решение. 1. Для отыскания f(t) можно воспользоваться равенством

f(t)=F (t) или формулами (7.6) и (7.5) с		=	1	. Тогда
f(t)=F (t) или формулами (7.6) и (7.5) с		=	T	. Тогда
			T
0	при t			0,
f(t) = 1 е	T	при t 0.
	t

2. Вероятность безотказной работы аппаратуры за время Т вычислим по формуле

Р (t T) = 1- Р (0			t < T).
Значение Р (0 t < T) находим по формуле (7.8)
1		0	1		T		1
Р (0 t < T) = e	T		e	T		1		.

							e
Следовательно, Р (t T) = 1-(1-е -1) = е –1			0,367 879.

Задача 5. Найти плотность распределения нормально распределенной случайной величины, если известны ее числовые характеристики: М(Х) = 4, (Х)= 3 . Построить график этого распределения.

Решение. Согласно (7.11)-(7.13) и условию задачи имеем, что а=4, = 3 . Плотность вероятности нормально распределенной случайной

величины имеет вид (7.9). Подставляя данные значения а и									в (7.9),
получим искомую плотность вероятности
		1			( x 4) 2
	f(х)=	1		e	6	.
	f(х)=	6		e	6	.
							1
Функция f(х) имеет максимум			при х=4,			равный f(4)=	1	0,23 033.

							6
							6
Абсциссы точек перегиба: х1= а-		и х2=а+ . В данном случае
							1
х1=4- 3 2,268 и х2=4+ 3 5,732; их ординаты: f(х1)=f(х2)=							1		0,1 397.


							6 e

График функции симметричен относительно прямой х=4, ось абсцисс является асимптотой.

1 6

6 e


4- 3 4 4+ 3				x

Задача 6. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, которая распределена по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 176 см, а дисперсия – 25. Найти плотность распределения

вероятностей и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что рост наугад выбранного мужчины будет находиться в пределах от 173 до 180 см.

Решение. По условию задачи а=176, = 25 =5. Поэтому согласно (7.9) плотность распределения вероятностей данной случайной величины такова:

																1					( x		176) 2
											f(х) =					1				e			50		.
											f(х) =					5 2				e			50		.

Найдем функцию распределения по формуле (7.10):
																1		x				(t	176) 2
									F(х) = 5							1		x		e			50			dt .
									F(х) = 5							2				e			50			dt .
									t	176
Введем подстановку z=									t	176			, тогда dt=5dz. При t															-	переменная z - ,
Введем подстановку z=										5			, тогда dt=5dz. При t															-	переменная z - ,
										5
при t=х переменная z=								x		176			. Получим
при t=х переменная z=													. Получим
							5
			x 176																	x 176
					z 2					0				z 2										z 2
	1	5			z 2		1			0				z 2			1		5					z 2			1			x 176
F(х)=	1			e 2		dz	1					e		2 dz			1						e 2 dz				1	Ф		x 176	.
F(х)=				e 2		dz						e		2 dz									e 2 dz				2	Ф	5		.
2							2									2			0								2		5
																			0
						0	z 2								z 2
						0	z 2			1					z 2				2
Здесь учтено, что						e	2 dz			1				e 2 dz					2				(интеграл Пуассона). Вычислим

										2									2
										2									2

по формуле (7.14) вероятность того, что выбранный наугад мужчина будет иметь рост от 173 до 180 см:

Задача 7. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d0=5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр – случайная величина, описываемая нормальным законом распределения со средним значением d0 и средним квадратическим отклонением =0,05. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков будет отбраковываться.

Решение. Пусть Х – случайная величина, выражающая диаметр шарика. По условию задачи требуется определить в процентах Р X d0 0,1 .

Определим вероятность противоположного события, т.е. Р X d0 0,1 . Применяя формулу (7.15), получим

0,1

Р X 5 0,1 = 2Ф 0,05 = 2Ф(2).

По таблице (приложение 2 из [5]) находим Ф(2) 0,4 772. Тогда искомая вероятность равна

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.68 Mб205515.pdf
#
13.11.20221.7 Mб25516.pdf
#
13.11.20221.71 Mб15517.pdf
#
13.11.20221.71 Mб35518.pdf
#
13.11.20221.71 Mб45519.pdf
#
13.11.20221.72 Mб05520.pdf
#
13.11.20221.72 Mб05521.pdf
#
13.11.20221.73 Mб15522.pdf
#
13.11.20221.73 Mб25523.pdf
#
13.11.20221.73 Mб15524.pdf
#
13.11.20221.73 Mб15525.pdf

Р(173<Х<180)=Ф

= Ф(0,8) – Ф(-0,6) =Ф(0,8) +Ф(0,6).

Из приложения 2 ([5]) находим Ф(0,8)

0,2 881, Ф(0,6) 0,2 257.

Окончательно имеем: Р(173<Х<180)