ТЕМА 12. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

т.е. ее плотность вероятности имеет вид (12.1). При этом число степеней свободы k=s-1-r, где r – число параметров предполагаемого теоретического распределения.

Если предполагают, что генеральная совокупность распределена по закону

Если предположить распределение нормальным (оно имеет два параметра a и

Приведем правило проверки нулевой гипотезы (о предполагаемом законе теоретического распределения) с помощью критерия согласия Пирсона. Сначала

степеней свободы (по формуле (12.3) для распределения Пуассона и по формуле

>2кр, то нулевую гипотезу отвергают.

При применении критерия объем выборки должен быть значительным (обычно n>50). Малочисленные группы выборки объединяют с соседними, суммируя эмпирические частоты.

Теперь опишем способы нахождения теоретических частот.

В случае дискретного распределения признака Х генеральной совокупности

предполагаемое распределение. Формула (12.5) следует из теоремы о математическом ожидании частоты появления события в независимых испытаниях.

Очень важным является дискретное распределение Пуассона. Тогда хi принимает значения m: 0, 1, 2,… Вероятности P(X=xi) из равенства (12.5) вычисляются по формуле Пуассона

Так как математическое ожидание этого распределения М(Х)= , а выборочная средняя xB является оценкой математического ожидания, то в формуле (12.6) за принимают xB .

В случае непрерывного распределения вероятности отдельных возможных значений равны нулю: Р(Х=хi)=0. Поэтому весь промежуток возможных значений такой случайной величины разбивается на непересекающиеся интервалы (хi, xi+1)

111

(обычно одинаковой длины h) и, естественно, вместо формулы (12.5) для вычисления теоретических частот применяют формулу

где xi - некоторая фиксированная точка интервала (хi, xi+1). Обычно в качестве xi

Теперь рассмотрим важнейшее непрерывное распределение – нормальное.

имеются таблицы. Конечно, предварительно находятся xB и s.

Если же исходить из равенства (12.9), то в случае частичных интервалов

Множитель 1/s в формуле (12.11) естественным образом получается на основании

При достаточно большом объеме выборки значение s в формулах (12.10) и (12.11) заменяется значением В (см. тему 10).

Критерий согласия Романовского состоит в следующем. По формуле (12.2)

k – число степеней свободы. Если R>3, то выдвинутую гипотезу отвергают. Если R<3, то опытные данные согласуются с предполагаемыми теоретическими. Критерий удобен тем, что не нужно обращаться к таблицам критических точек.

114

гипотеза о нормальном распределении женщин по возрасту вступления в

Предполагая, что число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, подчиняется закону Пуассона, найти теоретические частоты. Определить с помощью критерия Пирсона, существенно ли расхождение между эмпирическими и теоретическими численностями при уровне значимости

=0,05.

Решение. Так как в законе Пуассона параметр равен математическому ожиданию, а его оценкой является выборочная средняя,

соответствующие вычисления. Результаты сведем в таблицу (характер вычислений указан в первой строке таблицы).

115

Получили 2набл.=3,143611.

По формуле (12.3) находим, что число степеней свободы k=8-2=6. Используя таблицу критических точек распределения критерия Пирсона,

полученных данных с законом распределения Пуассона не опровергается.

З а д а ч и

1. Проверены 200 приборов на срок безотказной службы. По результатам проверки получен следующий статистический ряд:

Предполагая, что срок безотказной службы приборов подчиняется нормальному закону, найти теоретические частоты. Оценить с помощью критерия Пирсона, существенно ли расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами при уровне значимости =0,01.

2. Дано эмпирическое распределение 100 рабочих по заработной плате:

Проверить гипотезу о нормальном распределении зарплаты рабочих с помощью критерия Романовского.

3. На продукции, выпущенной токарным станком, изготавливающим валики, отобрано для анализа распределения 250 валиков. Получены следующие данные:

Определить с помощью критерия Пирсона, при уровне значимости =0,05, существенно ли расхождение между эмпирическими и

теоретическими численностями.

4. Дано распределение числа мужских курток, проданных магазином в течение одного рабочего дня:

116

Предполагая, что закон распределения нормальный, найти теоретические частоты и, применяя критерий Пирсона, определить, согласуются ли они с данными опыта ( =0,01).

5.Радиоактивное вещество наблюдалось в течение равных промежутков времени. Для каждого из этих интервалов регистрировалось число

частиц, попавших в счетчик. В таблице приведены числа ni промежутков времени, в течение которых в счетчик попало ровно m

частиц:

6.Отсчет по шкале измерительного прибора оценивается приблизительно в долях деления шкалы. Приведено 200 результатов отсчета последней цифры между соседними делениями шкалы:

Вероятность появления любой цифры рi=0,1. С помощью критерия Пирсона, при уровне значимости =0,05, установить, согласуются ли данные с законом равномерного распределения.

117

Ли т е р а т у р а

1.Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных.- М.: Финансы и статистика, 1983.- 471 с.

2.Боровков А.А. Курс теории вероятностей.- М.: Наука, 1972. – 288 с.

3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969.- 576 с.

4.Власюк Н.А. Краткий курс математической статистики: Тексты лекций.- Хабаровск: Хабаровская государственная академия экономики

иправа, 1997. – 56 с.

5.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1978. – 368 с.

6.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. – 448 с.

7.Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. – М.: Наука, 1982.- 160 с.

8.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.2.- М.: Высшая школа, 1983.-320 с.

9.Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1982. – 256 с.

10.Колмогоров А.Н. Основные понятия теории веротяностей. – М.: Наука,

1974. – 120 с.

11.Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. – Минск: «Вышэйшая школа», 1976. – 720с.

12.Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики.- М.: Высшая школа, 1972.-

480 с.

13.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т.2.-М.:

Наука, 1970. – 576 с.

14.Тиунчик М.Ф. Случайные величины. – Хабаровск, ХИНХ, 1993. – 116 с. 15.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей.-М.:Наука, 1982. – 255 с. 16.Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. – М.: Аудит,

ЮНИТИ, 1997.-590 с.