61

Р X 5 0,1= 1- Р X 5 0,1 1- 0,9 544 = 0,0 456.

Таким образом, при данном технологическом процессе около 4,6% шариков будут отбраковываться.

Задача 8. Средний процент выполнения плана определенной группой предприятий составляет 106%, среднее квадратическое отклонение =8%. Полагая, что процент выполнения плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить, в каких границах следует ожидать процент выполнения плана этими предприятиями с вероятностью

как решение трансцендентного уравнения

Ф= 0,475.

Спомощью таблицы (приложение 2 из [5]) определяем =1,96, откуда

=8 1,96=15,68. Итак, с вероятностью Р=0,95 можно ожидать, что процент выполнения плана данной группой предприятий будет находиться в границах от 90,32% до 121,68%.

За д а ч и

1.Ошибка указания времени часами со скачущей минутной стрелкой имеет равномерное распределение. Определить вероятность того, что при определении времени ошибка не будет превышать 20 секунд.

2.Служащий при поездке на работу тратит от 25 до 35 минут. Любое затраченное время на дорогу в этих пределах равновероятно. Определите теоретический вид случайной величины Х – требуемого служащему на дорогу времени. Запишите плотность и функцию распределения этой случайной величины и постройте их графики. Найдите математическое ожидание и дисперсию Х. Вычислите вероятность того, что дорога на работу займет у служащего от 28 до 32 минут.

3.Автобусы некоторого городского маршрута идут по расписанию с интервалом движения 20 минут. Пассажир подходит к остановке случайно в некоторый момент времени. Случайная величина Х – время ожидания пассажиром автобуса. Требуется определить вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 5 минут.

62

4.Функция распределения времени работы ЭВМ до первой неисправности имеет вид

При возникновении неисправности она мгновенно обнаруживается, и ЭВМ поступает в ремонт. Ремонт продолжается время Т0, после чего ЭВМ снова включается в работу. Найти плотность f(t) распределения промежутка времени Т между двумя соседними неисправностями. Найти его математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что Т будет больше 3Т0.

5.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром =2. Требуется: 1) записать плотность распределения этой случайной величины; 2) найти вероятность того, что случайная величина примет значение большее ее среднего квадратического отклонения.

6.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(Х) = -2 и (Х)=4. Найти плотность распределения случайной

величины Х и построить ее график.

7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с

математическое ожидание и дисперсию; 2) вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение в интервале (-7; 5).

8.Известно, что длина деталей, изготовляемых автоматом, представляет собой величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 30 см и среднее квадратическое отклонение 0,3 см. Найти вероятность того, что длина наугад взятой детали будет заключена между 29,8 и 30,2 см.

9.Известно, что вес вылавливаемых в прудах совхоза сазанов подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, равным 600 г, и средним квадратическим отклонением 70 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого сазана будет:

1)не менее 400 г., 2) не более 800 г, 3) заключен в пределах от 500 до

700 г.

10.Распределение продавцов по выработке подчинено закону нормального распределения с математическим ожиданием 110% и средним квадратическим отклонением 5%. Определить вероятность того, что выполнение нормы выработки у наудачу выбранного продавца отклонится от ее математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 8%.

11.Известны следующие характеристики непрерывной случайной величины: М(Х)=170, Д(Х)=25. При этом выполняется равенство

63

Р X 170 15 =0,99 994. К какому закону распределения относится эта случайная величина?

64

ТЕМА 8. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Неравенства Маркова и Чебышева. Теорема Чебышева. Сущность теоремы Чебышева и ее значение для практики. Теорема Бернулли, устойчивость относительной частоты и статистическое определение вероятности события. Понятие сходимости по вероятности. Понятие о центральных предельных теоремах теории вероятностей. Центральная предельная теорема в форме Ляпунова.

Л и т е р а т у р а

[2], гл.4, §7, гл.5, § 1-5; [3], гл.13, 13.1-13.9; [5], гл.9, § 1-6, гл.12, § 8; [6], гл.6; [7], гл.11, § 26-28; [8], гл.5, § 1-4; [9], гл.4, § 4,5, гл.7; [10], гл.4, § 3, гл.6, § 1-5; [11], гл.30, § 209-213; [12], ч.2, гл.4, § 13, 14; [13], гл.20, § 30; [14], § 4; [15], гл.6, § 5, гл.7, § 1-4.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Приведем несколько неравенств А.А.Маркова и П.Л.Чебышева, имеющих важное теоретическое значение.

Пусть случайная величина Х принимает неотрицательные значения. Тогда для любого >0 имеют место неравенства Маркова (в двух формах записи)

Р(Х ) М ( Х ) , Р(Х < ) 1- М ( Х ) . (8.1)

Для любого >0 имеют место следующие неравенства Чебышева для произвольной случайной величины Х с конечной дисперсией:

Эти неравенства дают, соответственно, оценки сверху для вероятностей

противоположных им событий Х< , X М ( Х ) .

Приведем некоторые из законов больших чисел в простейшей форме. Пусть Х1,…, Хn ,… - последовательность независимых случайных

величин, имеющих конечные математические ожидания, а дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной С (равномерно