39

ТЕМА 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Вероятностный смысл математического ожидания. Постоянная величина, произведение постоянной на случайную, сумма случайных величин. Отклонение случайной величины от ее центра. Независимые и взаимно независимые случайные величины. Произведение случайных величин. Квадрат случайной величины, целая положительная степень случайной величины. Свойства математического ожидания. Мода и медиана. Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства дисперсии. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах распределения. Коэффициент корреляции и его свойства.

Л и т е р а т у р а

[2], гл.4, § 1, 3, 5, 6; [3], гл.5, 5.5-5.7, гл.10, 10.2; [5], гл.7, § 1-4, гл.8, § 1-5, 7-10, гл.12, § 1; [6], гл.5; [7], гл.8, § 20, гл.9, § 21, 22, гл.10, § 23-25; [8], гл.3, § 2-4, гл.4, § 4, 6; [9], гл.2, § 7-9, гл.3, § 8; [10], гл.4, § 1, 2; [11], гл.29, § 201, 202, 204; [12], гл.3, § 10, 11; [13], гл.20, § 9, 10, 14; [14], § 2; [15], гл.6, § 1-4; [16], гл.2, 2.2.4.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины с конечным числом значений определяется равенством

при этом предполагается, что ряд абсолютно сходится. Для непрерывной случайной величины М(Х) определяется формулой

Интегралы в равенстве (5.3) берутся по соответствующему множеству значений случайной величины, при этом предполагается, что несобственные интегралы сходятся абсолютно.

Пусть С – постоянная величина. Тогда

М(С)=С, М(СХ)=СМ(Х). (5.4)

40

Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных

независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Случайная величина Х-М(Х) называется отклонением случайной величины от ее центра. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Дисперсией (рассеянием) Д(Х) случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее

момент называется начальным. Само математическое ожидание есть начальный момент первого порядка. Если С=М(Х), то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.

Коэффициентом корреляции r(Х, Y) между случайными величинами Х

41

Часто приходится находить закон распределения случайной величины Y=y(Х) при известном законе распределения Х. Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения хi с вероятностями рi, полагают, что Y=y(Х) принимает значения yi=y(xi) с теми же вероятностями рi. При этом, если некоторым хi будут соответствовать равные между собой значения yi, то в ряде распределения случайной величины Y эти yi записываются только один раз с вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей.

Пусть Х и Y – дискретные случайные величины, при этом Х принимает значения хi с вероятностями Р(Х=хi), а Y – значения yj с вероятностями Р(Y=yj). Тогда их сумма Х+Y, разность Х-Y, произведение XY соответственно принимают всевозможные значения хi + yj, хi – yj , хi yj с вероятностями рij, определяемыми формулой

равные значения, то соответствующая вероятность есть сумма вероятностей по этим индексам i, j.

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Урожайность пшеницы в некотором районе определяется

где Х – урожайность в ц/га. Найти математическое ожидание урожайности, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Так как данная случайная величина дискретна, то согласно формуле (5.1) получим:

М(Х) = 27 0,3 + 32 0,5 + 40 0,2 = 32,1.

Таким образом, математическое ожидание урожайности пшеницы в этом районе составило 32,1 ц/га. Дисперсию найдем по формуле (5.9). М(Х) найдено, для нахождения М(Х2) запишем закон распределения Х2:

Задача 2. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: х1 с известной

42

вероятностью р1=0,4 и х2, при этом х1<х2. Известны также математическое ожидание и дисперсия: М(Х)=3,2; Д(Х)=0,96.

Решение. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

Х х1 х2

Р0,4 0,6

Значения х1 и х2 подлежат определению. По определению математического ожидания М(Х) =х1 0,4+х2 0,6, а по условию задачи М(Х)=3,2. Следовательно, 0,4х1+0,6х2=3,2 или 2х1+3х2=16. По условию Д(Х)=0,96. Поэтому, применяя формулу (5.9), получим: х12 0,4+х22 0,6-(3,2)2=0,96 или 2х12+3х22=56. Значения х1 и х2 найдем как решение системы уравнений

второе уравнение, получим после упрощения уравнение 5х22 – 32х2+48=0. Корнями этого квадратного уравнения будут числа х2=4 и х2=2,4. Для х2=4

х1<х2, поэтому остается принять, что х1=2, х2=4. Таким образом, ряд распределения случайной величины Х имеет вид

Составить закон распределения случайной величины Z=Х-Y. Проверить на этом примере свойства математического ожидания и дисперсии разности случайных величин.

Решение. Для составления закона распределения разности случайных величин найдем все возможные значения величины Z=X-Y, для чего от каждого значения величины Х вычтем каждое значение величины Y. Вероятность каждого из полученных значений определяется как произведение вероятностей слагаемых (см. формулу (5.16)). Например,

Р(Z=1-0)=Р(Z=1)=Р(Х=1) Р(Y=0)=0,15 0,1=0,015. В результате получим

43

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Тогда закон распределения Z запишется так:

М(Y) = 0 0,1+2 0,35+4 0,15+6 0,4=3,7, М(Z) = -5 0,06+(-4) 0,22+…+ 5 0,03 = -0,95.

Отсюда М(Х)-М(Y) = -0,95. Таким образом, для разности случайных величин Х и Y выполняется свойство (5.5) математического ожидания:

М(Х-Y) = М(Х) - М(Y).

Дисперсии случайных величин Х, Y, Z найдем по формуле (5.9). Для этого

Тогда

М(Х2) = 1 0,15+4 0,55+25 0,3 = 9,85, Д(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 9,85 – 7,5 625 = 2,2 875,

М(Y2) = 0,1 0+4 0,35+16 0,15+36 0,4 = 18,2,

Д(Y) = М(Y2) – [М(Y)]2 = 18,2 – 13,69 = 4,51,

М(Z2) = 25 0,09+16 0,22+…+0 0,1925 = 7,7,

Д(Z) = М(Z2) – [М(Z)]2 = 7,7 – 0,9 025 = 6,7 975.

Отсюда Д(Х) + Д(Y) = 6,7975. Совпадение значений Д(Х) + Д(Y) и Д(Z) иллюстрирует выполнение свойства (5.11) дисперсии разности двух случайных величин: Д(Х-Y) = Д(Х) + Д(Y).

Задача 4. Две независимые случайные величины заданы следующими

Составить закон распределения произведения этих случайных величин. Проверить на этом примере свойство математического ожидания произведения случайных величин.

45

Получили, что случайные величины Z=Х Х и Y=Х2 имеют разные законы распределения. Следовательно, случайные величины Z=Х Х и Y=Х2 различные.

Тогда математическое ожидание М(Х) найдется по формуле (5.3):

Дисперсию будем находить не по определению (5.8), а по формуле (5.9). Тогда

Задача 7. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, дифференциальная функция которой определяется равенством

вычисления интеграла надо применить формулу интегрирования по частям в определенном интеграле:

величины, т.е. 2Х Х+Х; 2) вычислить математические ожидания величин Y и Z; 3) определить дисперсии случайных величин Y и Z. Можно ли утверждать, что Д(Х+Х)=Д(Х)+Д(Х)?

6.Независмые случайные величины имеют следующие законы распределения:

Составить ряд распределения случайной величины Z=XY. Проверить на этом примере свойство математического ожидания произведения случайных величин.

7. Потребление электроэнергии цехами №1 и №2 завода в течение суток

где Х – количество потребляемой энергии цехом №1 в кВт-час, Y- количество потребляемой энергии цехом №2 в кВт-час. Требуется: 1) составить закон распределения количества электроэнергии, потребляемой в течение суток обоими цехами вместе; 2) найти математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины и на этом примере проверить справедливость свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин.

8.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной дифференциальной функцией

9. Найти центральные моменты второго и третьего порядков (см.(5.13)), если случайная величина задана функцией распределения

48

ТЕМА 6. ОСНОВНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Равномерное дискретное распределение. Гипергеометрическое распределение. Биномиальное распределение. Геометрическое распределение. Распределение Пуассона. Относительная частота события как случайная величина.

Л и т е р а т у р а

[2], гл.3, § 1, 2, гл.4, § 1,5; [3], гл.5, 5.9, гл.10, 10.3; [5], гл.6, § 4-6, гл.7, § 5, гл.8, § 6; [6], гл.4, § 18, гл.5, § 23; [8], гл.3, § 1,5; [9], гл.2, § 2, 3, 7; [11], гл.29, § 203, 206; [12], ч.2, гл.3, § 11; [13], гл.20, § 8, [14], § 3, 3.1-3.6; [15], гл.6, § 1-3; [16], гл.2, 2.3-2.5.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Пусть {х1, …, х2} – множество значений случайной величины Х, принимающей n значений. Распределение такой дискретной случайной величины называется равномерным, если вероятности появления значений

График функции представляет собой ступенчатую линию со скачками в точках х=хi (i=1,…,n). Величина скачка в каждой точке равна 1/n. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной дискретной случайной величины могут быть найдены по формулам

Пусть n – число различных элементов некоторого множества, из которых s элементов обладают определенным свойством. Из всего множества производится выборка без возвращения объема k. Пусть m – число элементов, обладающих этим же свойством и оказавшихся в

49

выборке, причем m может принимать значения m=0, 1, …, s, если s k. Случайная величина Х называется гипергеометрически распределенной, если вероятности появления ее значений находятся по формуле

Значения m определяются смыслом формулы (6.5) для каждой конкретной задачи. Для математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения справедливы соотношения

Пусть Х – случайная величина, значениями которой являются возможные значения числа m появления события А при проведении n повторных независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления А постоянна и равна р. В зависимости от случая m может принимать все целочисленные значения от 0 до n включительно. Вероятности принятия этих значений находятся по формуле Бернулли

Р(Х=m) Рn(m)= Cnm pm (1 p)n m . (6.7)

Такое дискретное распределение называется биномиальным. Функция F(х) этого распределения имеет следующий вид:

0, если х 0;

Суммирование здесь ведется по всем целым числам m, меньшим х. График функции распределения представляет собой ступенчатую линию со скачками в точках х=0, 1, …, n. Величина скачка в точке х=m равна Рn(m). Для биномиально распределенной случайной величины числовые

Пусть Х – случайная величина, значениями которой являются возможные значения числа m проведенных испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, причем опыт прекращается после первого же испытания, в котором рассматриваемое событие появилось. Геометрическое