Тема 2. Показатели вариации и выборочное наблюдение

Вариация – это многообразие, изменение изучаемого признака в совокупности. К показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации:

,

где х_max – максимальное значение признака;

х _min – минимальное значение признака;

Среднее линейное отклонение:

или

где – значение признака (варианта);

– средняя величина;

– частота.

Дисперсия:

или

Среднее квадратическое отклонение:

;

Коэффициент вариации:

.

Коэффициент вариации показывает степень однородности совокупности. Если V < 33% – совокупность однородна, а средняя величина типична и надёжна.

Суть выборочного наблюдения заключается в том, что из генеральной совокупности в определённом порядке отбирается часть единиц (выборочная совокупность) и по данным выборки рассчитываются обобщённые характеристики (средние или относительные показатели – доля единиц, обладающих данным признаком), а затем результаты распространяются на всю генеральную совокупность.

Методы отбора – повторный и бесповторный.

Способы отбора – собственно-случайный, механический, типический, серийный и комбинированный.

Границы генеральной средней:

,

где – генеральная средняя,

– выборочная средняя,

Δ – предельная ошибка выборочной средней.

При собственно-случайном повторном отборе:

,

где n – объём выборочной совокупности;

– дисперсия признака в выборочной совокупности;

– коэффициент доверия, зависящий от вероятности утверждения и имеющий табличные значения:

Вероятность утверждения	Значение коэффициента доверия,
0,997 0,954 0,683	3 2 1

При собственно-случайном и механическом бесповторном отборе:

,

где N – объём генеральной совокупности;

– доля выборки в генеральной совокупности.

Границы генеральной доли:

,

где р – генеральная доля,

– выборочная доля:

,

где – число единиц, обладающих изучаемым признаком;

n – объём выборочной совокупности;

– предельная ошибка доли.

При собственно-случайном повторном отборе:

.

При собственно-случайном и механическом бесповторном отборе:

,

где N – объём генеральной совокупности;

– доля выборки в генеральной совокупности.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Распределение студентов двух групп третьего курса очной и заочной форм обучений факультета характеризуется следующими данными:

Возраст, лет	Число студентов, в % к итогу
	очная	заочная
18	14	-
19	68	1
20	15	3
21	3	9
22	-	32
23	-	42
24	-	13
Итого	100,0	100,0

Определите для возраста студентов по каждой из форм обучения: 1) размах вариации; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение; 4) коэффициент вариации.

Задача 2. Распределение предприятий отрасли по объёму произведённой продукции за истекший год характеризуется следующими данными:

Группы предприятий по объёму выпуска продукции (работ, услуг), млн руб.	Число предприятий, в % к итогу
до 50	3,6
50 − 100	16,2
100 − 150	37,3
150 и более	42,9
Итого	100,0

Определите абсолютные и относительные показатели вариации.

Задача 3. Хронометраж затрат времени на выполнение технологической операции рабочими двух бригад производственного участка показал следующие результаты (мин):

Первая бригада	42	40	47	38	45	48
Вторая бригада	39	44	46	37	49	45

Определите, в какой бригаде различия в затратах времени на выполнение технологической операции меньше.

Задача 4. Имеются следующие данные выборочного обследования студентов одного из вузов:

Затраты времени на дорогу до института, мин	Число ответивших студентов, чел.
До 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 Свыше 50	70 85 115 150 80
Итого	500

Определите 1) дисперсию и среднее квадратическое отклонение затрат времени на дорогу.

Задача 5. Обьём оборота магазинов фирмы составляет в среднем 350 тыс. руб. ежедневно. Средний квадрат отклонения этого показателя равен 125 000.

Определите среднее квадратическое отклонение оборота магазинов фирмы.

Задача 6. В туристических агентствах города с общим числом сотрудников 1 000 человек было проведено 5 %-ное выборочное обследование возраста сотрудников методом собственно-случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены следующие данные:

Возраст, лет	До 30	30 − 40	40 − 50	50 − 60	Свыше 60
Число сотрудников	8	22	10	6	4

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний возраст сотрудников туристических агентств города; 2) с вероятностью 0, 683 пределы, в которых находится доля сотрудников в возрасте старше 50 лет в генеральной совокупности; 3) необходимую численность выборки при определении среднего возраста сотрудников туристических агентствах города, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 2,5 года; 4) необходимую численность выборки при определении доли сотрудников в возрасте старше 50 лет в турагентствах города, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка не превышала 6 %.

Задача 7. В городе было проведено собственно-случайное выборочное обследование семей с целью изучения. В результате было получено следующее распределение по числу детей:

Число детей в семье, чел.	0	1	2	3	4	5 и более
Количество семей, в % к итогу	10	32	42	8	5	3

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится среднее число детей в семьях города; 2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится доля семей с тремя и более детьми; 3) необходимую численность

выборки при определении среднего числа детей в семьях города, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки не превышала 1 ребёнка; 4) необходимую численность выборки при определении доли семей с тремя и более детьми, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки не превышала 2,5 %.

Задача 8. Выборочное обследование антропометрических показателей 200 новорождённых показало, что средний вес новорождённого составлял 3300 граммов, а среднее квадратическое отклонение 600 граммов. С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку выборки при определении среднего веса новорождённых.

Задача 9. Из партии импортируемой продукции на посту таможни было взято в порядке собственно-случайной повторной выборки 20 проб продукта. В результате проверки установлена средняя влажность продукта «А» в выборке, которая оказалась равной 6 % при среднем квадратическом отклонении 1 %. С вероятностью 0,683 определите пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.

Задача 10. В процессе технического контроля из партии готовой продукции методом собственно-случайного бесповторного отбора было проверено 70 изделий, из которых 4 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7 %, если процент отбора равен 10?