Алексеев Нейтронные методы в физике конденсированного состояния 2012

атомной энергии. В результате этих работ ученые Курчатовского института внесли серьезный вклад в становление техники времени пролета и в физику термализации нейтронов. Первые ориентированные на твердотельные задачи спектрометры по времени пролета в стране были созданы курчатовцами на реакторах МР и ИРТ (ИАЭ), ВВР-М в ИЯИ АН УССР.

Основными участниками пионерских работ были: Певзнер М.И., Мостовой В.И., Землянов М.Г., Черноплеков Н.А., Садиков И.П., Чернышов А.А., Адамчук Ю.В., Еремеев И.П., Герасимов В.Ф., Ишмаев С.Н., Мурадян Г.В., Тарабанько В.А., Хмызов В.В., Цитович А.П.

В 1960-х годах был разработан и в 1970-х уже активно использовался первый в стране трехосный спектрометр (АТОС, пучковый реактор ИРТ-М в ИАЭ), его создатели: М.Г. Землянов, И.В. Наумов, А.Е. Головин, В.А. Соменков, Н.А. Черноплеков, П.П. Паршин, А.Ю. Румянцев. В эти же годы методы нейтронной спектроскопии по времени пролета активно развивались учеными Лаборатории нейтронной физики (в последствии ЛНФ им И.М. Франка) в ОИЯИ (г. Дубна) на импульсных реакторах (см. разд. 6) под руководством И.М. Франка, Ф.Л. Шапиро, Ю.М. Останевича.

1.3. Основные понятия физики конденсированного состояния

Физика конденсированного состояния изучает твердые тела и жидкости. Самое очевидное различие между ними – для первых фиксированы и объем, и форма, для вторых – только объем.

Твердые тела классифицируют по

строению:

структура (кристаллическая, квазикристаллическая, аморфная,

наноматериалы);

симметрия решетки (для кристаллов); типы связей;

типу связей между атомами (для любых структур): выделяют ионные кристаллы, ковалентные кристаллы, материалы с меаллической и водородной связью;

11

физическим свойствам:

электропроводность: металл, диэлектрик, полупроводник; магнитные свойства: диамагнетик, парамагнетик, ферромагне-

тик, антиферромагнетик и т.д.

К некристаллическим материалам относят аморфные твердые тела и квазикристаллы. В аморфных твердых телах нет дальнего порядка, в квазикристаллах нет трансляционной инвариантности, но, что важно, имеются оси симметрии 5-го, 10-го порядков (в кристаллах с трансляционной симметрией существуют только 2-го, 3- го, 4-го, 6-го). Интересно, что структурные блоки с осью симметрии пятого порядка присутствуют в фуллеренах – гигантских молекулах С60, которые могут образовывать, в свою очередь, трехмерные периодические структуры.

Вбольшинстве случаев аморфное и квазикристаллическое состояние метастабильны. Пример аморфных материалов – стекло на основе SiO2, пример квазикристалла – сплавы на основе Al-Fe-Cu.

Вклассификации объектов исследования в физике конденсированного состояния выделяют наноматериалы: нанотрубки, фуллерены, нанопленки, нанопорошки, макроструктуры на основе наномолекул (например, высшие бориды), графен, нанокомпозиты,

втом числе на основе пористых матриц. Наноматериалы имеют специфические свойства, часто они важны для приложений. В настоящее время рыночная ниша наноматериалов быстро расширяется. Следует отметить, что понятие наноматериалов обычно связывают с представлением о шкале геометрических размеров в одном или всех измерениях порядка 1-100 нм. Очевидно, что с точки зрения физики важны не только геометрические размеры, но и масштаб взаимодействий или неоднородностей, пусть и невидимых, таких как распределение заряда или спина. Эти неоднородности также могут приводить к необычным и практически важным особенностям свойств материалов.

12

2.КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

2.1.Типы кристаллических структур

Главный признак кристаллической структуры – периодичность (трансляционная инвариантность) (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Пример трехмерной кристаллической структуры для «молекулы» из пяти элементов с базисными векторами трансляции а1, а2, а3

Трансляционо инвариантными являются структуры, не изменяющиеся при трансляции на заданный вектор r – линейную комбинацию базисных векторов ai (n – простые числа):

r = n1a1+n2a2+n3a3 . (2.1)

На базисных векторах можно построить параллелепипед (параллелограмм в двумерном случае), трансляции которого заполняют все пространство, в котором существует кристаллическая структура. Такой параллелепипед (параллелограмм) называется элементарной ячейкой. Элементарная ячейка минимально возможного объема называется примитивной ячейкой (рис. 2.2). Существование обоих понятий связано с их функциональностью, выбор примитивной и элементарной ячейки в принципе неоднозначен. Примитивная ячейка несет информацию о числе степеней свободы коллективных движений атомов (количество различных типов нормальных колебаний и т.п.). Элементарная ячейка выбирается таким образом, чтобы она в максимальной степени отражала симметрию кристалла.

13

ки, в каждом узле которой находится один атом (рис. 2.4). Эти решетки представляют собой соответствующие (ОЦК и ГЦК) кристаллические структуры. В первой два атома в элементарной ячейке, во второй – четыре атома. При этом, как видно из рисунка, в примитивных ячейках для обеих структур – всего один атом. Это означает, что несмотря на различие в числе атомов, входящих в состав элементарной ячейки, число степеней свободы для связанных атомных движений, а следовательно, нормальных колебательных мод у этих типов кристаллических структур одинаково.

Рис. 2.4. Общепринятые представления примитивных ячеек в виде параллелепипедов и ячеек Вигнера–Зейтца для ОЦК и ГЦК элементарных ячеек

Для однозначного представления структуры кристалла в общем случае, когда в примитивной ячейке больше одного атома, недостаточно задать только базисные векторы трансляций. Ниже показаны три различные структуры, но с абсолютно одинаковой решеткой. Для того чтобы задать кристаллическую структуру, в дополнение к основным векторам трансляции нужно ввести векторы, задающие положение всех атомов (в случае, если их больше одного) внутри примитивной ячейки относительно узла решетки. Эти векторы на-

15

зываются базисом структуры. Совокупность узлов решетки и базиса – это и есть кристаллическая структура (рис.2.5).

Рис.2.5. Иллюстрация формирования кристаллической структуры на основе различных вариантов базиса: а) и b) отличаются видом базисов, для с) базиса нет

Таблица 2.1

Четырнадцать классов решеток Бравэ

Помимо трансляций, кристаллическая решетка может быть инвариантна относительно некоторых локальных операций симметрии (и их комбинации):

-поворотов вокруг оси,

-зеркальных отражений,

-инверсии относительно точки.

16

Анализ всех возможных операций симметрии (трансляция + локальные операции) для трехмерного пространства дает 230 различных пространственных групп симметрии (федоровские группы). Они разбиваются на 14 классов Бравэ (табл. 2.1).

Для решеток Бравэ (структур, которым соответствуют одноатомные примитивные кристаллические ячейки) существует симметрийная иерархия, понижение симметрии соответствует следующим последовательностям:

кубическая — тетрагональная — орторомбическая — моноклинная — триклинная;

гексагональная — тригональная — моноклинная — триклинная. Каждая система характеризуется своим набором параметров, приведенных ниже для 14 классов (табл. 2.2), или пространствен-

ных решеток Бравэ, смысл параметров ясен из рис. 2.6.

Таблица 2.2 Элементарные ячейки четырнадцати классов решеток Бравэ

Прямое пространство (т.е., пространство геометрических координат) хорошо подходит для визуализации расположения атомов в пространстве, визуализации их колебаний, смещений при фазовых переходах, оценок длины связей. Но для представления и осмысления результатов большинства исследований свойств кристаллов, в том числе и структурных, намного удобнее использовать так назы-

17

ваемое обратное пространство, или пространство импульсных координат.

Рис. 2.6. Кристаллографические оси и углы между ними

2.2. Прямая и обратная решетки. Зона Бриллюэна

Прямое и обратное пространство являются фурье-образами друг друга, т.е. связаны преобразованием Фурье:

Прямое пространство

c

преобразование Фурье

c

Обратное (импульсное) пространство Рассмотрение многих явлений в физике твердого тела сущест-

венно упрощается при переходе в импульсное пространство. Прямое пространство задается трансляцией на вектора прямой

Обратное пространство задается подобным образом, базисные векторы в импульсном пространстве определяются через базисные векторы прямого следующим образом:

18

По аналогии с ячейкой Вигнера-Зейтца в прямом пространстве, для обратного пространства можно построить зону Бриллюэна (Brillouin). Зона Бриллюэна для ГЦК решетки показана на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Зона Бриллюэна для ГЦК кристаллической решетки

Зоны Бриллюэна имеют первостепенное значение при расчете и анализе электронных состояний в кристаллах, спектров элементарных возбуждений (квазичастиц). В пределах зоны Бриллюэна находятся все физически различные волновые векторы. Ключевую роль играет обратное пространство в исследовании структуры кристаллов. Это основано на следующем важном обстоятельстве.

Для всякого семейства атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстояние d, существуют такие векторы обратной решетки, которые перпендикулярны к этим атомным плоскостям, причем наименьший из них имеет длину 2π/d. Для всякого вектора К обратной решетки существует семейство атомных плоскостей, которые перпендикулярны к вектору К и отстоят друг от друга на расстояние d:

Здесь h, k, l — индексы Миллера, с помощью которых определяется соответствующая (атомная) плоскость, проходящая через уз-

19

лы (кристаллической) пространственной решетки. Индексы Миллера – набор не имеющих общего множителя целых чисел, которые обратно пропорциональны длинам отрезков, отсекаемых кристаллической плоскостью на главных осях кристалла, измеряемых в единицах длин базисных векторов. Именно эти числа задают плоскость в прямом пространстве и вектор обратной решетки, соответствующий этой плоскости (направленный по нормали к ней).

R и K связаны выражением eiKR = 1, которое представляет соотношение между прямым и обратным (геометрическим и импульсным) пространствами.

Чем выше индексы, тем ниже плотность узлов (атомов или их групп в решетках с базисом) в плоскости. Примеры плоскостей для кубической решетки и соответствующие им индексы Миллера показаны на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Различные плоскости в кубической структуре и их индексы Миллера

(hkl)

Вопросы и задания

1.В чем сходство и различие элементарных ячеек и зон Бриллюэна для кубических структур (простая кубическая, ОЦК, ГЦК)?

2.В чем смысл понятий элементарной и примитивной ячеек, как они связаны со спектром возбуждений системы?

3.Построение зоны Бриллюэна, связь состава вещества и структуры спектра его элементарных возбуждений?

20